1、第七章,空間解析幾何,一、 空間直角坐標系,二、 向量及其應(yīng)用,數(shù)量積、向量積,一、空間直角坐標系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 O ,坐標面,卦限(八個),1. 空間直角坐標系的基本概念,zOx面,在直角坐標系下,向徑,坐標軸上的點 P, Q , R ;,坐標面上的點 A , B , C,點 M,特殊點的坐標 :,有序數(shù)組,(稱為點 M 的坐標),原點 O(0,0,0) ;,坐標軸 :,坐標面 :,表示法:,向量的模 :,向量的大小,二、向量及其應(yīng)用,向量:,(又稱矢量).,既有大小, 又

2、有方向的量稱為向量,自由向量:,與起點無關(guān)的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,零向量:,模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,或 a .,(一). 向量的概念,零向量的方向是任意的.,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k,個向量共面 .,(二). 向量的線性運算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,運算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,2. 向量的減法,三角不等式,可見,3. 向量與數(shù)的乘法, 是一個數(shù) ,規(guī)定

3、:,總之:,運算律 :,結(jié)合律,分配律,因此,設(shè),( 為唯一實數(shù)),注：,為非零向量 , 則,(三). 向量的坐標表示,在空間直角坐標系下,設(shè)點 M,則,沿三個坐標軸方向的分向量,的坐標為,記,利用坐標作向量的線性運算,則,平行向量對應(yīng)坐標成比例:,向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,則有,由勾股定理得,因,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,2. 方向角與方向余弦,設(shè)有兩非零向量,任取空間一點 O ,稱 =AOB (0 ) 為向量,的夾角.,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標軸的夾角 , , ,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,方向余弦的性質(zhì):,3

4、. 向量在軸上的投影,例如,在坐標軸上的投影分別為, 即,投影的性質(zhì),(為實數(shù)),定理1.,的充要條件是,證:,那么由,如果,設(shè)A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z3)為兩點，均非原點O,則,x1x2+y1y2+z1z2=0.,為鄰邊所確定的,平行四邊形,所以對角向量,和,長度相同。,即,而,于是有,x1x2+y1y2+z1z2=0.,（充分性倒推即可）,為矩形。,(四) 兩向量的數(shù)量積,1. 定義,設(shè)向量,的夾角為 ,稱,數(shù)量積,(點積) .,故,2. 性質(zhì),為兩個非零向量,則有,3. 運算律,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,事實上, 當,時, 顯然成立 ;,4. 數(shù)量

5、積的坐標表示,設(shè),則,當,為非零向量時,由于,兩向量的夾角公式, 得,于是方向余弦為,設(shè),顯然,=x,y,z.,(五) 兩向量的向量積,二、三階行列式,1. 定義,定義,向量,方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,思考: 右圖三角形面積,S,兩個向量的向量積,2. 性質(zhì),為非零向量, 則,(4) 分配律,(5) 結(jié)合律,(6),3. 向量積的坐標表示式,設(shè),則,向量積的行列式計算法,例,設(shè)A(1,-1,3), B(3, 1,5), C(2, 1,7), 求ABC的面積。,SABC,解：,(六) 向量的混合積,1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,底面積,高,故平行六面體體積為,則其,2. 混合積的坐標表示,設(shè),3. 性質(zhì),(1) 三個非零向量,共面的