1、求不定方程整數(shù)解的方法淺析摘要：第1章 ：引言 所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于獨立方程式的個數(shù)的方程或方程組.因此，要求一個不定方程的全部的解抑或是其全部整數(shù)解都是相當困難的，有時甚至是不可能的或不現(xiàn)實的.然而，在現(xiàn)實生活中，特別是一些具體的生活實例中，它的應(yīng)用又是非常的廣泛的；另外，不定方程的重要性在數(shù)學競賽中也得到了充分體現(xiàn)，每年世界各地的數(shù)學競賽中，不定方程問題都占有一席之地；它也是培養(yǎng)和考查學生數(shù)學思維的好材料，數(shù)學競賽中的不定方程問題，不僅要求選手對初等數(shù)論的一般理論、方法要有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創(chuàng)造性的解決相關(guān)問題.數(shù)千年來，不定方程問題一直是一些數(shù)學家

2、甚至草根階級的數(shù)學愛好者研究的熱點問題，仿佛它是一塊資源豐富的土地，每個人都能有希望在這占有自己的一席之地.也正是由于它具有這樣一個特點，不定方程的類型，以及解各類不定方程的各種方法層出不窮，求解各類不定方程也幾乎毫無固定章法可循，而本文，只針對于不定方程整數(shù)解問題做一個初步的探索，歸納提煉出一些解這類題的常規(guī)方法和技巧，對解不定方程具有一定的指導意義；并且著重針對中學數(shù)學競賽中的不定方程整數(shù)解問題進行分析，研究其方法，思想，具有一定的教學意義；另外，還根據(jù)自己的積累，總結(jié)，發(fā)掘出一些新的方法，技巧，具有創(chuàng)新和學習的意義.第二章：解決某些不規(guī)則類不定方程的常規(guī)思想方法1、 不等式分析法 其一般

3、操作步驟： 想辦法通過構(gòu)造不等式求出其中某個（某些）變量的范圍； 根據(jù)該變量的范圍求出該變量的整數(shù)解； 分情況討論該變量分別取某個整數(shù)解時其他變量的取值. 常見的構(gòu)造不等式的技巧： 注意題中的隱含條件，常見的如： 1）若給出的是對稱形式的不定方程，解題是可增加一個 “不妨設(shè)”的條件. 2）若題目要求是正整數(shù)解，則有“” 若要求是相異的正整數(shù)，則有“” 利用基本不等式求變元范圍，常見的如“” 分離變量：可將某個變量分離出來，并通過該變量的范圍求 其他變量的范圍. 可利用二次方程有整數(shù)解的條件，即“”，或更強點的 “ 為完全平方數(shù)”.常規(guī)應(yīng)用： 一般在某些對稱式中能用到此方法進行放縮估值； 在具體

4、的限制某個（或某些）變量的范圍時，可分離變量利 用此方法對其他變量進行估值； 對于方程“（其中u,v,w是常數(shù)或者是含其他變 量的式子）”可利用關(guān)于x的方程有整數(shù)根的條件，即“”， 或更強點的“ 為完全平方數(shù)”對其他變量進行估值； 具體能通過變形轉(zhuǎn)化為關(guān)于某些整體的表達式，再利用常規(guī) 不等式進行估值，比如”轉(zhuǎn)化為關(guān)于x+y與xy的表達式， 用等“ 例1：求不定方程的正整數(shù)解. 解： 方法1： 由于此不定方程是對稱的，這里不妨設(shè)， 則 1）當x=1時， 經(jīng)檢驗：不滿足方程；2） 當x=2時， 經(jīng)檢驗：滿足方程， 滿足方程；3） 當x=3時， 經(jīng)檢驗：不滿足方程， 不滿足方程， 不滿足方程；綜上所

5、述：取消不妨設(shè)，由對稱性知： 不定方程的正整數(shù)解為 方法2： 已知方程化為 令 ， 則 即 利用不等式： 則： 1） 當t=2時， 此方程無正整數(shù)解；2） 當t=3時， ， 3） 當t=4時， .綜上所述：不定方程的正整數(shù)解為例2：求不定方程的整數(shù)解. 解：方法1： 已知方程可化為:, 則 此方程可看成關(guān)于x的一元二次方程有整數(shù)解的情況 =4（1-5y) 則必是一個完全平方數(shù)，這里不妨設(shè)： 由求根公式： 故方程要有整數(shù)根，當且僅當 經(jīng)檢驗：符合題意 當時， 當時，綜上所述：原方程的整數(shù)解為 方法2： 已知方程化為： 分離y: 事實上當y=0時，x= ,不合題意，則有： ，即 (*) i）若 則

6、有： 無解 ii）若 由x為整數(shù)則有, 則(*)式化為： 當時，y=-3; 當時，y=-7; 當時， 不合題意舍去; 當時， 不合題意舍去; 綜上所述：原方程的整數(shù)解為2、同余分析法其一般操作步驟： 方程兩邊同時取特殊數(shù)的模，消去部分未知數(shù)，將等式化為 同余式； 由同余式來估計剩下未知數(shù)的取值范圍（或特征），從而達 到解不定方程的目的. 注意：實現(xiàn)這一過程的關(guān)鍵在于取什么數(shù)作為模，這需要較強 的觀察力！常規(guī)的取模原則： 能消去某些未知數(shù)時，取它的系數(shù)（或底數(shù)）作模； 由費馬小定理有“” 頻率較高者有模3，模4，模8.常規(guī)應(yīng)用： 事實上，同余理論在證明一個不定方程無整數(shù)解時有廣泛 而方便的應(yīng)用；

7、 一般對于某些指數(shù)不定方程，或某些系數(shù)較大的方程應(yīng)用 同余理論能起到一個很好的簡化作用； 具體的：它能解決“ax+by=c型整數(shù)解問題.例1：求不定方程7x+19y=213的正整數(shù)解. 解：方程兩邊同時得： 兩邊同時乘以3： 代入原方程得： （其中k為整數(shù)） 令x0,y0, 得 ， k=0 ,1. 方程的正整數(shù)解為 例2：證明： 無整數(shù)解. 證明： （*） 設(shè)是方程的整數(shù)解， 1）若，則， 2）若，則，故， 從而， 與（*）式矛盾 該方程無整數(shù)解.例3：求不定方程的全部正整數(shù)解. 解：i）若，則方程兩邊模4得： ，矛盾； ii）若，則方程兩邊模3，得： ， y為奇數(shù) 若x1,方程兩邊模8得：

8、即 ，又 ，這與y為奇數(shù)矛盾 ，從而 綜上所述:原方程有唯一的整數(shù)解.3、 約數(shù)倍數(shù)分析法： 此方法經(jīng)常結(jié)合整除理論，是解決不定方程整數(shù)解十分有效的 方法，在數(shù)學競賽中也是出現(xiàn)頻率高，實用性強的一類方法. 常規(guī)的次方法分為兩類： 因式分解法： 1）將含未知數(shù)的代數(shù)式置于方程一邊作因式分解； 2）將方程另一邊化為常數(shù)，并對其做質(zhì)因數(shù)分解； 3）考慮各因數(shù)的取值，分解成若干方程（組）來求解. 分離未知量法： 1）將方程的某個（或某些）未知量分離出來，目的是 將其他未知量轉(zhuǎn)化到某個常數(shù)的分母位置； 2）將處于分子位置的常數(shù)作質(zhì)因數(shù)分解； 3）考慮分母的取值，分解成若干方程（組）來求解部 分未知量. 常規(guī)應(yīng)用： 多半是解決某些能進行因式分解（或部分因式分解）的整 數(shù)不定方程問題，并且，有時要求學生因式分解功底十分 扎實； 具體的：它能解決“ ”型不定方 程.例1：一隊旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的旅客人數(shù)相等，起初每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下1人未上車；如果有一輛汽車空著開走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各車上，已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少倆汽車？有多少個旅客？解：設(shè)