1、定義 設(shè) ， 令 稱矩陣 為矩陣 與 矩陣的乘積，記為 。,方法如下：,矩陣的乘法,記為,例如,不存在.,主對(duì)角元全為1而其他元素全為零的n階方陣稱為n階單位矩陣，記為 或 ,即,定義,稱為單位矩陣（或單位陣）.,，,一. 仿射坐標(biāo)系,定義:空間中一點(diǎn)O與三個(gè)不共面向量 e1,e2,e3 一起構(gòu)成空間的一個(gè)仿射標(biāo)架,記O, e1,e2,e3. 稱e1,e2,e3為它的坐標(biāo)向量. O稱為它的原點(diǎn). 對(duì)于空間任意一點(diǎn)A, 把向量OA(稱為A的定位向量)對(duì)e1,e2,e3 的分解系數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為點(diǎn)A關(guān)于上述仿射標(biāo)架的仿射坐標(biāo).,仿射坐標(biāo)系O; e1, e2, e3.,任意點(diǎn)P, 存在唯一的有序

2、數(shù)組,(a, b, c)使得OP= ae1 + be2 + ce3.,坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P的定位向量,坐標(biāo)向量或基,P的坐標(biāo),在不同的坐標(biāo)系下，同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是不同的，從而圖形的方程也是不同的。 問題1：對(duì)于給定的圖形，怎樣選坐標(biāo)系？使得它的方程最簡(jiǎn)單。 問題2：在不同的坐標(biāo)系下，同一圖形的不同方程之間有什么關(guān)系？,設(shè)在空間中我們?nèi)《▋蓚€(gè)仿射坐標(biāo)系，它們的標(biāo)架分別為 和,M,設(shè) 在 中的坐標(biāo)依次為,用矩陣表示為,矩陣,稱為從坐標(biāo)系 到 的過渡矩陣，它是以 在 中的坐標(biāo)為各個(gè)列向量的三階矩陣。,設(shè)向量 在 和 中的坐標(biāo)分別為,它們與 和 之間的位置關(guān)系有直接相關(guān)的。,于是由坐標(biāo)的定義，,這說明 在 中

3、的坐標(biāo)為,用矩陣表示為：,向量的坐標(biāo)變換公式：,下面討論點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式。設(shè)點(diǎn)M在 和 中的坐標(biāo)分別為 ，它們分別是向量 在 中的坐標(biāo)和向量 在 中的坐標(biāo)。 由公式得 在 中的坐標(biāo)為,由于 ，如果設(shè)點(diǎn) 在 中的坐標(biāo)為 ，則,這就是點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式的矩陣形式。點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式的一般形式為,曲面的方程的變換公式。 設(shè)S是一張曲面，它在 中的一般方程為 求它在 中的一般方程。 對(duì)于點(diǎn)M，如果它在 中的坐標(biāo)為 ，則在 中的坐標(biāo)為,因此點(diǎn)M在S上充要條件為：,把上式左端的函數(shù)式記作 則 是S在 中的一般方程，稱它為由S在 中的方程 經(jīng)過坐標(biāo)變換化為S在 中的方程。,過渡矩陣的性質(zhì),因?yàn)?中的坐標(biāo)向量 是

4、不共面的，所以過渡矩陣的行列式 ，即 是滿秩矩陣。,命題 設(shè)有三個(gè)仿射坐標(biāo)系 。 到 的過渡矩陣為 ， 到 的過渡矩陣為 ，則 到 的過渡矩陣為,直角坐標(biāo)變換的過渡矩陣，正交矩陣,設(shè) 和 是空間中的兩個(gè)直角坐標(biāo)系， 到 的過渡矩陣為,因?yàn)?是直角坐標(biāo)系，C的各個(gè)列向量依次是 在 中的坐標(biāo)，所以它們之間的內(nèi)積為,又 是直角坐標(biāo)系，所以,于是,實(shí)方矩陣 ，滿足 ，則稱 為正交矩陣。,命題 兩個(gè)直角坐標(biāo)系之間的過渡矩陣是正交矩陣。,對(duì)于平面上兩個(gè)直角坐標(biāo)系，它們的過渡矩陣是正交矩陣。則它是二階正交矩陣，設(shè)為,則,于是,于是二階正交矩陣只有下面兩種形式：,平面直角坐標(biāo)變換公式,一個(gè)是旋轉(zhuǎn), 一個(gè)是旋轉(zhuǎn)加反射.,現(xiàn)考慮在一個(gè)右手直角坐標(biāo)系中，一個(gè)二次方程,做法是通過轉(zhuǎn)軸和移軸，尋找一個(gè)新的右手直角坐標(biāo)系，使得方程最簡(jiǎn)，從而看出其幾何形狀。,下面用轉(zhuǎn)軸消去交叉項(xiàng)。,新方程的二次項(xiàng)部分由原方程的二次項(xiàng)部分得,