1、2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),【思考】觀察橢圓 =1(ab0)的形狀(如圖),你能從圖中看出它的范圍嗎?它具有怎樣的對(duì)稱性?橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊? 答案(1)范圍:-axa,-byb; (2)對(duì)稱性:橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱; (3)特殊點(diǎn):頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).,1.橢圓的幾何性質(zhì),名師點(diǎn)撥1.橢圓的范圍給出了橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍,在求解一些存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用,也可用于求最值、求軌跡等問題時(shí)的檢驗(yàn)等. 2.利用方程研究曲線對(duì)稱性的方法如下: (1)若把曲線方程中的x換成-x,方程不變,則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱;

2、 (2)若把曲線方程中的y換成-y,方程不變,則曲線關(guān)于x軸對(duì)稱; (3)若同時(shí)把曲線方程中的x換成-x,y換成-y,方程不變,則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,【做一做1】 橢圓x2+4y2=1的離心率等于(),答案A,【做一做2】 若點(diǎn)P(m,n)是橢圓 =1上任意一點(diǎn),則m的取值范圍是,n的取值范圍是.,【做一做3】 已知橢圓 =1,則其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于,短軸長(zhǎng)等于,焦距等于.,【做一做4】 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)橢圓 =1(ab)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a,短軸長(zhǎng)為b.() (2)橢圓的離心率越大,則橢圓越接近于圓.() (3)若一個(gè)矩形

3、的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上,則這四個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于橢圓的中心對(duì)稱.() 答案(1)(2)(3),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì) 例1 求橢圓9x2+16y2=144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),延伸探究本例中若把橢圓方程改為“9x2+16y2=1”,求其長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟確定橢圓幾何性質(zhì)的基本步驟 (1)化標(biāo)準(zhǔn),把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式; (2)定位置,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程中x2,y2對(duì)應(yīng)分母的大小來確定焦點(diǎn)位置; (3)求參數(shù),寫出a,b的值,并求出c的值;

4、(4)寫性質(zhì),按要求寫出橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練1已知橢圓C1: =1,設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等,且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上. (1)求橢圓C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率; (2)寫出橢圓C2的方程,并研究其性質(zhì).,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究二根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)橢圓過點(diǎn)(3,0),離心率e= ; (2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn),與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直,且焦距為8. 思路分析(1)焦點(diǎn)位置不確定,應(yīng)分類討論;(2)結(jié)合圖形求出a,b,c的值代入即可.,探究一

5、,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1(ab0). 如圖所示,A1FA2為等腰直角三角形, OF為斜邊A1A2的中線(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, c=b=4,a2=b2+c2=32. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟根據(jù)橢圓的性質(zhì)求方程 1.已知橢圓的幾何性質(zhì),求其標(biāo)準(zhǔn)方程主要采用待定系數(shù)法,解題步驟為: (1)確定焦點(diǎn)所在的位置,以確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式; (2)確立關(guān)于a,b,c的方程(組),求出參數(shù)a,b,c; (3)寫出標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.在求橢圓方程時(shí),要注意根據(jù)題目條件判斷

6、焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,從而確定方程的形式,若不能確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸,則應(yīng)進(jìn)行討論.一般地,已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可以確定焦點(diǎn)位置,而已知離心率、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距時(shí),則不能確定焦點(diǎn)位置.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練2已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,且經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究三橢圓的離心率問題 例3 (1)已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng),求橢圓的離心率的取值范圍. (2)橢圓 =1(ab0)的半焦距為c,若直線y=2x與橢圓一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為c,求橢圓的離心率.,思路分析(1)依題意先建立c與b的不等式,再轉(zhuǎn)化為a,c的不等式,即

7、可求得離心率的取值范圍;(2)根據(jù)題意,建立參數(shù)a,b,c的方程求解,注意橢圓定義的靈活運(yùn)用.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟離心率的求法 (3)若已知a,b,c的關(guān)系,則可轉(zhuǎn)化為a,c的方程或不等式,進(jìn)而得到關(guān)于e的方程或不等式進(jìn)行求解.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練3若直線l:x-2y+2=0過橢圓的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B,則橢圓離心率為(),答案D,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),思維辨析 一題多變求橢圓的離心率,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),答案D,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練1(變條件)若將本例中“PF2

8、F1F2,PF1F2=30”改為“PF2F1=75,PF1F2=45”,求橢圓C的離心率.,解在PF1F2中, PF1F2=45,PF2F1=75, F1PF2=60, 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練2(變條件,變?cè)O(shè)問)若將本例中“PF2F1F2,PF1F2=30”改為“橢圓C上存在點(diǎn)P,使F1PF2為鈍角”,求橢圓C的離心率的取值范圍.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),1.橢圓6x2+y2=6的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是(),答案D,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為