1、第一節(jié) 定積分的概念和性質(zhì),一、定積分問題舉例 二、定積分的定義 三、定積分的性質(zhì) 四、小結(jié),實例1 （求曲邊梯形的面積）,一、定積分問題舉例,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個小矩形）,（九個小矩形）,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,播放,曲邊梯形如圖所示，,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,實例2 （求變速直線運動的路程）,思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值,（1）分割,（2）求和,（3）

2、取極限,路程的精確值,二、定積分的定義,定義,記為,積分上限,積分下限,積分和,注意：,定理1,定理2,存在定理,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負值,定積分的幾何意義,幾何意義：,例1 利用定義計算定積分,解,對定積分的補充規(guī)定:,說明,在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小,三、定積分的性質(zhì),證,（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）,性質(zhì)1,證,性質(zhì)2,補充：不論 的相對位置如何, 上式總成立.,例 若,（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）,則,性質(zhì)3,證,性質(zhì)4,性質(zhì)5,解,令,于是,性質(zhì)5的推論：,證,（1）,證,說明： 可積性是顯然的.,性質(zhì)5的推論：,（2）,

3、證,（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）,性質(zhì)6,解,解,證,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質(zhì)7（定積分中值定理）,積分中值公式,使,即,積分中值公式的幾何解釋：,解,由積分中值定理知有,使,五、小結(jié),定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限,定積分的思想和方法：,求近似以直（不變）代曲（變）,取極限,定積分的性質(zhì),（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）,典型問題,（）估計積分值；,（）不計算定積分比較積分大小,思考題1,將和式極限：,表示成定積分.,思考題1解答,原式,思考題2,思考題2解答,例,練 習 題 1,練習題1答案,練 習 題 2,練習題2答案,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積

4、和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,