1、1,第二節(jié) 二重積分的計算法,計算二重積分的方法:,二重積分,累次積分(即兩次定積分).,2,在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，,故二重積分可寫為,則面積元素為,一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分,3,(2)如果積分區(qū)域?yàn)椋?其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,X型,4,回憶：平行截面面積為已知的立體的體積,立體體積,5,計算截面面積,( 紅色部分即A(x0) ),以D為底,以曲面,為頂?shù)那斨w的體積.,應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法.,用二重積分的幾何意義說明其計算法:,是區(qū)間,為曲邊的曲邊梯形.,為底,曲線,6,先對y后對x的二次積分(累次積分),7,(2) 積

2、分區(qū)域?yàn)椋?先對x后對y的二次積分,也即,Y型,8,1.當(dāng)D既不是X-型區(qū)域也不是Y-型區(qū)域時,將D分成幾部分，使每部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域.,注意：,2.當(dāng)D既是X-型區(qū)域也是Y-型區(qū)域時,可以用兩個公式進(jìn)行計算.,9,特殊地,即等于兩個定積分的乘積.,D為矩形域:,則,則,axb,cyd,10,二重積分是化為兩次定積分來計算的，關(guān)鍵是確定積分限.,定限要注意的問題：,1.上限下限.,2.內(nèi)層積分的上，下限應(yīng)為外層積分變量的函數(shù).,3.外層積分上，下限應(yīng)為常數(shù)(后積先定限).,4.二重積分的結(jié)果應(yīng)為常數(shù).,11,例 計算,其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域.,解法1：,

3、先y后x,12,解法2：,先x后y,13,解,例 計算,(1,1),14,選取積分次序,不僅要看區(qū)域的特點(diǎn),而且要看被積函數(shù)的特點(diǎn).,凡遇如下形式積分:,后面積分.,15,解,積分區(qū)域如圖,例 改變積分,的次序.,16,例,交換積分次序：,解,原式=,17,例,交換積分次序：,解,積分區(qū)域:,原式=,18,例 求證,左邊的累次積分中,提示,不能直接計算，,是y的抽象函數(shù),證畢.,要先交換積分次序.,證明,19,例 求兩個底圓半徑為R,且這兩個圓柱面的方程分別為 及,解,求所圍成的,立體的體積.,20,解,曲面圍成的立體如圖.,例 求由下列曲面所圍成的立體體積，,21,22,例,解,23,補(bǔ)充輪換對稱性結(jié)論:,若D關(guān)于x,y滿足輪換對稱性(將D的邊界曲線方程中的x與y交換位置,方程不變),則,24,證,所以,例,25,二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式,（在積分中要正確選擇積分次序）,小結(jié),Y型,X型,（1）化二重積分為二次積分；,（2）交換積分次序；,題型,26,作業(yè),習(xí)題8-2(1),(77頁),3.(1) (3)(4) 4. 5.,6.(1