1、第八章 微分方程與差分方程簡介,8.1 微分方程的基本概念,8.2 可分離變量的一階微分方程,8.3 一階線性微分方程,8.4 可降階的高階微分方程,8.5 二階常系數(shù)線性微分方程,8.6 微分方程應用實例,退 出,第八章 微分方程與差分方程簡介 我們知道，函數(shù)是研究客觀事物運動規(guī)律的重要工具，找出函數(shù)關系，在實踐中具有重要意義?？稍谠S多實際問題中，我們常常不能直接給出所需要的函數(shù)關系，但我們能給出含有所求函數(shù)的導數(shù)（或微分）或差分（即增量）的方程，這樣的方程稱為微分方程或差分方程，我們需要從這些方程中求出所要的函數(shù)。本章主要介紹微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函數(shù)的幾種常見的解析方法；

2、并對差分方程的有關內容做一簡單介紹。,8.1 微分方程的基本概念 一.引例 例1 一曲線通過（1，2），且在改曲線上任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程。,解 設所求曲線方程為y=y(x)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，y(x)應滿足：,例2一汽車在公路上以10m/s的速度行駛，司機突然發(fā)現(xiàn)汽車前放20米處有一小孩在路上玩耍，司機立即剎車，已知汽車剎車后獲得加速度為4,問汽車是否會撞到小孩？,解 設汽車剎車后t秒內行駛了s米，根據(jù)題意，反映剎車 階段汽車運動規(guī)律的函數(shù)S=S(t),應滿足方程：,在（9）式中令v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要,的時間t=2.5秒，因此剎車后汽車行使

3、距離為：,二.微分方程的基本概念 凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程，稱為微分方程（differential equation）.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程（ordinary differential equation ）.未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，叫做偏微分方程（partial differential equation）.這里我們只討論常微分方程，簡稱為微分方程，例如,等都是常微分方程。 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導數(shù)或微分的最高階數(shù)，稱為該微分方程的階（order），例如（1）和（12）為一階微分方程，（5）和（11）為二階微分方程，而（13）是n階微分方程。,如果將一

4、個 函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個函數(shù)為該微分方程的解（solution）.將（3）。（4）為微分方程（1）的解，而（8）和（10）則是微分方程（5）的解。 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解（general solution）.如（3）和（8）分別是微分方程（1）與（5）的通解。由于通解中含有任一常數(shù)，所以它還不能確切的反應某客觀事物的特定規(guī)律。為此，要根據(jù)問題的實際情況，提出確定這些常數(shù)的條件，這種條件稱為定解條件。確定了通解中的任意常數(shù)后所得。,的解，稱為微分方程的特解（particular sol

5、ution）.如 （10）是微分方程（5）的滿足條件（6）的特解,時刻的狀態(tài)得到的定解條件，,稱為初值條件（initial value condition）.初值條件的 個數(shù)通常等于微分方程的階數(shù)， 一階微分方程的初值條件一般為,從幾何上看，微分方程的通解對應著平面上的一族曲線，稱其為微分方程的積分曲線族，而特解則對應著積分曲線族中的某一條曲線，稱其為積分曲線(integral curve).如,是方程（1）的積分曲線族,而,8.2 可分離變量的一階微分方程 一階微分方程（differential equation of first order）,(differential equation

6、of separated variables).,例1 求微分方程,解 首先分離變量 ，得,以后為了方便起見，我們可把,記住結果中的常數(shù)C可正可負。 顯然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取 C=0即可。,例2 求微分方程,的通解即在條件,解 分離變量，得,例3 種群的自然生長受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù) 的最大容量為b， 則種群生長速度不僅與t時刻種群數(shù)量 N成正比，且與密度制約因子,成正比，試確定種群,生長規(guī)律。,8.3 一階線性微分方程,（linear differential equation of first,Order),它的特點為左端是關于未知函數(shù)y及一階導數(shù),二.一階線

7、性非其次微分方程 由于其次方程（2）是非其次方程（1）當,它們的解之間也必有某種關系。現(xiàn)在，我們把 對應的其齊次方程的通解（3）中的任意常數(shù)C換成 X的待定函數(shù)C（x）,即令,情形，可以設想,上述將對應的齊次方程通解中的任意常數(shù)C替換成 x的待定函數(shù)，并將其代入非齊次方程中以確定C(x)， 從而求得非齊此方程的通解的方法叫做常數(shù)變易法（method of constant）. 將（5）式改寫成兩項之和的形式,上式右端第一項是方程（1）對應的齊次方程（2）的通解，令C=0，則得到第二項，它是非齊次方程（1）的一個特解。由此可知，一階線性非齊次微分方程的通解等于它對應的齊次方程的通解與非齊次方程的

8、一個特解之和。,對于高階線性微分方程，其通解結構也有類似的結論。,方法二 直接利用非齊次方程的通解公式（5），得,(Bernoulli differential equation).,8.4 可降階的高階微分方程 二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程（differential equation of higher order ）.對于有些高階微分方程?？赏ㄟ^適當?shù)淖兞看鷵Q將它轉化為較低階的方程來求解。下面介紹三種常見的可降階的微分方程的求解方法。,例2 一物體由靜止狀態(tài)開始做直線運動，其加速度,試求其位移s與時間t的關系式。,解 由題意知,則需要n個初值條件。,8.5 二階常系數(shù)線性微分

9、方程,的微分方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程（linear second order differential equation with constant coefficients），其中f(x)叫做自由項，當,時，方程（1）叫做二階線性齊次微分方程，當,時，方程（1）叫做二階線性非齊次微分,方程。,下面先來討論這類方程的性質及通解結構。 一.通解的結構 定理1 如果 是二階線性齊次方程,綜上所述，有如下關于二階線性齊次微分方程的,通解結構的定理。,知道，一結線性非齊次方程的通解等于它所對應的齊次方程的通解和它的一個特解之和。實際上，二階及更高階的線性非齊次方程的通解的結構也由類似的結論。,二

10、.二階常系數(shù)線性齊次微分方程 由定理2 可知，求二階線性齊次微分方程的通解，可歸結為求方程的兩個線性無關的特解。二階線性齊次方程的特點是,各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找,到一個函數(shù)y，使它和它的導數(shù),間只差一個常數(shù)因,我們把代數(shù)方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程， 特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就歸結為 求特征方程的根：,三.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 由定理3可知，求二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解，可歸結為求它對應的齊次方程的通解和它本身的一個特解。在解決了齊次方程的通解問題之后，這里只需討論求非齊次方程（3）的一個特解 的方法 我們只介紹當方程（3）中的 取兩種

11、常見形式時求 的方法，這種方法的特點是不用積分就可 求出來，把它叫做待定系數(shù)法。,8.6 微分方程應用實例 許多實際問題的解決歸結為尋找變量間的函數(shù)關系。但在很多情況下，函數(shù)關系不能直接找到，而只能間接的得到這些量及其導數(shù)之間的關系，從而使得微分方程在眾多領域都有非常重要的應用。本節(jié)只舉幾個實例來說明微分方程的應用。進一步的介紹見第十章。 一。嫌疑犯問題 受害者的尸體于晚上7：30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上 8：20趕到兇案現(xiàn)場，測得尸體體溫為 ，一小時后，當尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為,室溫在幾小時內始終保持 ，此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時打了一個電話，打完電話后就離開了辦公室?！睆膹埬车霓k公室到受害者家（兇案現(xiàn)場）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問題：是張某不在兇案現(xiàn)場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？,人體體溫受大腦神經中樞調節(jié)，人死后體溫調節(jié)功能消失，尸體的溫度受外界溫度的影響。假定尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫