1、第二章 極限與連續(xù),1. 數(shù)列的極限,1. 數(shù)列,單調(diào)數(shù)列：,有界數(shù)列：,2. 數(shù)列的極限,如果當n 無限增大時, xn 無限地接近于常數(shù) a , 那末稱 a 為數(shù)列xn的極限。,定義：設(shè)一數(shù)列xn和一個常數(shù) a ,如果對于任意給定的正數(shù) （不任多么小）, 總存在正整數(shù) N，使得對于滿足 n N 的一切 xn 都有| xn a| 成立，那末稱數(shù) a 為數(shù)列xn當 n + 時的極限。,這即為數(shù)列極限的“ N ”定義，可簡寫為,例1. 用極限“ N”定義驗證,例2.用“N”語言驗證,表示 n 很大時， xn 幾乎都凝聚在點 a 的近旁。,數(shù)列極限的幾何解釋,有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，反之稱為發(fā)散數(shù)

2、列。,3. 收斂數(shù)列的性質(zhì),定理1（唯一性）若數(shù)列xn收斂，則其極限值唯一。,定理2（有界性）收斂數(shù)列必有界,4. 極限存在準則,準則1.單調(diào)有界數(shù)列必有極限。,有界是數(shù)列收斂的必要條件， 單調(diào)有界是數(shù)列收斂的充分條件。,例9. 判別數(shù)列xn的斂散性,2. 函數(shù)的極限,“X”定義可簡記為：,1. 當x時函數(shù)的極限,定義1. 設(shè)有一函數(shù) f (x)，對于絕對值無任怎樣大的 x 值是有定義的，A為一常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在一個正數(shù) x，使得當| x | X時，恒有 | f (x) A| 成立，則稱A為函數(shù) f (x)當 x 時的極限,例1. 用“X”定義驗證,幾何解釋,作直線 y =

3、A，y =A+ 總存在一個X 0,當 | x |X時，函數(shù)位于這兩條直線之間。,在定義1中，把| x|改為 x，即得 x+時的極限,把| x|改為 - x，即得 x-時的極限,無極限舉例：,2. 當 x x0 時函數(shù)的極限。,“ -”定義可簡記為：,定義2. 設(shè) f (x)在點 x0 的某個鄰域內(nèi)有定義（ x0 本身可除外）且A為一常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在一個正數(shù) ，使得當 0| x- x0| 時,|f (x)-A| , 則稱A為函數(shù) f (x)當 x x0時函數(shù)的極限.,幾何解釋,作直線 y =A - , y = A + 總存在一個 0, 當 0 | x x0 | 時，函數(shù)位于

4、兩直線之間。,定理2 （函數(shù)極限的保號性）,左、右極限,=1?,無極限舉例,在討論分段函數(shù)的分割點的極限時，一定要考慮左、右極限。,“0”是作為無窮小的唯一的常數(shù)。,3. 無窮小和無窮大,1. 無窮小,定義：極限為零的數(shù)列和函數(shù)稱為無窮小。,定理2. 設(shè) 為無窮小，u 有界，則 u 也是無窮小。,推論1. 常數(shù)乘以無窮小仍是無窮小。,推論2. 無窮小乘以無窮小仍是無窮小。,推論：有限個無窮小的和仍為無窮小。,有限個無窮小的乘積仍是無窮小。,定理1. 設(shè) 和 為無窮小，則 也是無窮小,定理3 (極限與無窮小的關(guān)系),定義：絕對值無限增大的數(shù)列或函數(shù)稱為無窮大。,2. 無窮大,注意：無窮大與無界的

5、區(qū)別。,4. 極限運算法則,1. 兩個重要極限,5. 兩個重要極限,定理1（函數(shù)的夾逼定理）,兩個無窮小的商實際反映了在變化過程中趨于零的速度快慢程度。為此引入定義,兩個無窮小的代數(shù)和、積仍為無窮小，那么兩個無窮小的商會是什么樣呢？,2. 無窮小的比較,3. 無窮小的主部,. 等階無窮小的代換定理,當 x 0 時，常見的等價無窮小, 6. 函數(shù)的連續(xù)性,連續(xù)的三個要素：,1. 函數(shù)的連續(xù)性,定義1設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的某個鄰域內(nèi)有定義, 如果當自變量增量 x 趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量 y = f ( x0+ x)f ( x0 )也趨于零，那末稱函數(shù) f (x) 在 x0 處連續(xù)。,

6、f (x) 在 x0 點處有定義、有極限、極限值等于函數(shù)值。,定理1.函數(shù) f (x) 在點 x0 處連續(xù)的充要條件是： 函數(shù) f (x) 在點 x0 處既左連續(xù)又右連續(xù)。,左、右連續(xù),如果 f (x) 在 (a,b) 內(nèi)任意一點連續(xù)，則稱 f (x) 在 (a,b) 上連續(xù)，或稱 f (x) 為 (a,b) 上的連續(xù)函數(shù)。如果 f (x) 在 (a,b) 上連續(xù)，且在 x=a 右連續(xù)，在 x=b 處左連續(xù)， 則稱 f (x) 在 a,b 上連續(xù)。,. 函數(shù)的間斷點,間斷點的常見類型,如果函數(shù)連續(xù)的三個要素中有一個不滿足，那末稱 f (x) 在 x0 處間斷。,無窮間斷點,震蕩間斷點,左、右極

7、限均存在的間斷點,稱為第一類間斷點，其余的間斷點,稱為第二類間斷點。,跳躍間斷點,可去間斷點,2. 連續(xù)函數(shù)的運算及初等函數(shù)的連續(xù)性,定理4. 如果函數(shù) y = f (x) 在某個區(qū)間上嚴格單調(diào)增(或降) 且連續(xù)，那末它的反函數(shù) x = (y) 在對應(yīng)的區(qū)間上也嚴格單調(diào)增(或降) 且連續(xù)。,推論：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界函數(shù)。,定理5. (最大值、最小值定理),. 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。,閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)至少取得最大值，最小值各一次。,定理 6. (介值定理),推論 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必可取得介于最大值 最小值之間的任何值,推論 1(零值定理) 如果 f (x) 在 a,b 上連續(xù)，且 f (a)f (b)0, 那末在開區(qū)間 (a,b)