1、第三節(jié) 條件分布,離散型隨機(jī)變量的條件分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布,事件的條件概率:,推廣到隨機(jī)變量,設(shè)有兩個隨機(jī)變量 X, Y, 在給定Y 取某個或某些值的條件下, 求 X 的概率分布.,例如, 考慮某大學(xué)的全體學(xué)生, 從其中隨機(jī)抽取一個學(xué)生, 分別以 X 和 Y 表示其體重和身高. 則 X 和 Y 都是隨機(jī)變量, 它們都有一定的概率分布.,體重X,身高Y,體重X 的分布,身高Y 的分布,現(xiàn)在若限制 1.7Y1.8(米), 在這個條件下去求 X的條件分布, 這就要從該校學(xué)生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來, 然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.,容易想象, 這個分布與不加這個

2、條件時的分布會很不一樣.,一、離散型隨機(jī)變量的條件分布,定義: 設(shè) (X, Y) 是二維離散型隨機(jī)變量, 對于固定的 j, 若 PY = yj 0, 則稱:,為在 Y = yj 條件下隨機(jī)變量 X 的條件分布律., i=1,2, ,類似定義在 X=xi 條件下 隨機(jī)變量Y 的條件分布律.,對于固定的 i, 若 PX = xi 0, 則稱:,為在 X = xi 條件下隨機(jī)變量 Y 的條件分布律., j=1,2, ,條件分布是一種概率分布, 它具有概率分布的一切性質(zhì).,例如：,i=1,2, ,例1: 把一枚均勻硬幣拋擲三次,設(shè) X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù),而 Y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差

3、的絕對值,在 Y=1的條件下，X 的條件分布律為:,解: 依題意, Y=n 表示在第n次射擊時擊中目標(biāo), 且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo).,X=m 表示首次擊中目標(biāo)時射擊了m次 .,例2: 一射手進(jìn)行射擊, 擊中目標(biāo)的概率 p(0p1), 射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止. 以 X 表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)， 以 Y 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù) . 試求 X 和 Y 的聯(lián)合分布及條件分布.,( n=2,3, ; m=1,2, , n-1),由此得X和Y的聯(lián)合分布律為:,不論m(mn)是多少, PX=m,Y=n都應(yīng)等于:,每次擊中目標(biāo)的概率為 p,PX=m,Y=n=？,X的邊緣分布律是：,(

4、m=1,2, ),Y 的邊緣分布律是：,( n = 2,3, ),于是可得：,當(dāng)n=2,3, 時，,m=1,2, ,n-1,聯(lián)合分布,邊緣分布,當(dāng)m=1,2, 時，,n=m+1,m+2, ,1. 定義: 設(shè) X和 Y 的聯(lián)合概率密度為 f (x, y),(X, Y)關(guān)于 Y 的邊緣概率密度為 fY(y),則稱 為在 Y=y 的條件下 X 的條件概率密度.,記為:,稱:,為在 Y=y 的條件下, X 的條件分布函數(shù).,記為:,若對于固定的 y, fY(y)0,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布,即:,類似地,可以定義:,求:,例3: 設(shè)(X,Y)的概率密度是:,解:,因此, 我們需先求出：,于是對 y0,故對y 0,PX1|Y=y,當(dāng)|x|1時, 有:,例4: 設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布, 概率密度為:,求,解: X的邊緣密度為:,即: 當(dāng) |x|1 時,有,X作為已知變量,這里是y的取值范圍,X已知的條件下 Y 的條件密度,例5: 設(shè)數(shù) X 在區(qū)間 (0,1) 均勻分布, 當(dāng)觀察到 X=x (0x1)時, 數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)地取值 . 求 Y 的概率密度.,解: 依題意，X具有概率密度,對于任意給定的值 x(0x1), 在X=x 的條