1、長春市普通高中2016屆高三質量監(jiān)測（一）數(shù)學試題卷(文科)考生須知：1. 本試卷分試題卷和答題卡，滿分150分，考試時間120分鐘.2. 答題前，在答題卡指定位置上填寫學校、班級、姓名和準考證號.3. 所有答案必須寫在答題卡上，寫在試卷上無效. 4. 考試結束，只需上交答題卡.第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項涂在答題卡上）1. 已知集合，則A. B. C. D. 2. 復數(shù)（是虛數(shù)單位）等于A. 1B. 2C. D. 3. 拋物線的準線方程為A. B. C. D. 4. 已知向量滿足，

2、則 A. B. C. D. 5. 下列說法中正確的是A. “”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的充要條件；B. 若：，則：，；C. 若為假命題，則均為假命題； D. “若，則”的否命題是“若，則”.6. 若實數(shù)滿足，則的最小值為A. B. C. D. 7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的為A. B. C. D. 8. 在中，則的面積為A. B. C. D. 9. 已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A. B. C. D. 10. 已知函數(shù)，則其圖像為A. B.C. D.11. 函數(shù)，下列判斷正確的是A. 的最小正周期為B. 是奇函數(shù)C. 的一個對稱中心為D. 的一條對稱軸為12. 設是定義在上的

3、偶函數(shù)，對，都有，且當時，若在區(qū)間內關于的方程恰有3個不同實根，則的取值范圍是A. B. C. D. 第卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 利用分層抽樣的方式在學生總數(shù)為1200人的年級中抽出20名同學，其中有女生8人，則該年級男生的人數(shù)約為_. 14. 已知，則_. 15. 設橢圓的左右焦點分別為. 若橢圓上存在點使. 則橢圓的離心率的取值范圍是_. 16. 已知一個四面體的所有棱長都為2，則

4、該四面體的外接球表面積為_. 三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17. （本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前項和為，. 求數(shù)列的通項公式； 設，求數(shù)列的前項和. 18. （本小題滿分12分）為了調查某高中學生每天的睡眠時間，現(xiàn)隨機對20名男生和20名女生進行問卷調查，結果如下：睡眠時間（小時）人數(shù)24842女生：睡眠時間（小時）人數(shù)15653男生： 現(xiàn)把睡眠時間不足5小時的定義為“嚴重睡眠不足”，從睡眠時間不足6小時的女生中隨機抽取3人，求此3人中恰有一人為“嚴重睡眠不足”的概率； 完成下面列聯(lián)表，并回答是否有的把握認為“睡眠時間與性別有關”？睡

5、眠少于7小時睡眠不少于7小時合計男生女生合計P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 （，其中）19. （本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，平面，. 過的截面交于點，若為等邊三角形，求出點的位置； 在條件下，求四棱錐與三棱柱的體積比. 20. （本小題滿分12分）已知橢圓的方程為，離心率，過焦點且與長軸垂直的直線被橢圓所截得線段長為1. 求橢圓的方程； 為曲線上的三個動點，在第一象限，關于原點對稱，且，問的面積是否存在最小值？若存在，求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由.21. （

6、本小題滿分12分）已知函數(shù). 判斷函數(shù)的單調性； 設，若函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍. 請考生在22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講.已知中，以點為圓心，以為半徑的圓分別交于兩點，且為該圓的直徑. 求證：； 若，求的長. 23. （本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程選講.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的極坐標方程為. 寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程； 設點為曲線上的動點，求點到直線距離的最大值. 24. （本小題滿分10分）選修45：不等式選講.已知函數(shù). 若不等式恒成立，求的取值范圍；

7、 當時，求不等式的解集. 長春市普通高中2016屆高三質量監(jiān)測（一）數(shù)學（文科）試題參考答案及評分標準一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1. A2. C3. D4. D5. D6. B7. A 8. C9. B10. A11. B12. A簡答與提示：1. 【命題意圖】本題考查集合中元素的計算與集合的性質. 【試題解析】A題意可知，集合，故選A.2. 【命題意圖】本題考查復數(shù)的除法運算. 【試題解析】C ，故選C. 3. 【命題意圖】本題考查拋物線的準線的概念，是對學生的基礎知識的直接考查.【試題解析】D由題意，拋物線的準線為，故選D.4. 【命題意圖】本題主要對向量的基本運

8、算進行考查.【試題解析】D ，則，故選D.5. 【命題意圖】本題是對邏輯問題的綜合考查，全面考查考生對各種邏輯問題的理解. 【試題解析】D選項A中，由奇函數(shù)定義可知，“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的既不充分也不必要條件；選項B中，若：，則：，；選項C中，若為假命題，只能判定中至少有一個為假命題；選項D的說法正確，故選D. 6. 【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃以及目標函數(shù)的幾何意義等知識.【試題解析】B圖為可行域，而目標函數(shù)可化為，即為該直線在軸上的截距，當直線過時，截距取得最大值，此時取得最小值為，故選B.7. 【命題意圖】本題考查程序框圖的基本運作過程，同時通過程序框圖也對數(shù)列中的裂項求和做出考查.

9、【試題解析】A由程序框圖，當時，還應該進入循環(huán)，而當時，不再進入循環(huán)，故輸出結果為，故選A. 8. 【命題意圖】本題主要考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三角形中邊與角的關系式. 【試題解析】C由題意，根據(jù)余弦定理可得，故，故選C. 9. 【命題意圖】本題主要考查考生對三視圖的理解，以及簡單幾何體表面積的計算. 【試題解析】B由三視圖可知，該幾何體是底面為等腰直角三角形，高為的三棱錐，且頂點在底面上的投影為斜邊的中點，據(jù)此可求得該幾何體的表面積為.故選B. 10. 【命題意圖】本題考查考生對圖像特征的理解，以及利用求導等手段發(fā)現(xiàn)函數(shù)特點的方法. 【試題解析】A函數(shù)為奇函數(shù)，且，可推出在原點處切

10、線斜率為0，故選A. 11. 【命題意圖】本題考查三角變換公式，以及中各個量對函數(shù)圖像的影響. 【試題解析】B由題可知，故選B. 12. 【命題意圖】本題主要考查函數(shù)圖像、函數(shù)零點，通過指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)以及函數(shù)周期的表達式，來構建函數(shù)與函數(shù)關系. 【試題解析】A由題意可知，的圖像如右圖所示，若要保證有三個交點，只需，即，. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 720 14. 615. 16. 簡答與提示：13. 【命題意圖】本題考查分層抽樣的主要知識. 【試題解析】由于樣本容量為20，所以其中的男生人數(shù)為12，從而年級男生人數(shù)為（人）. 14. 【命題意圖】本題考查對數(shù)

11、運算的基本性質. 【試題解析】由條件可知，故. 15. 【命題意圖】本題通過平面幾何的性質考查橢圓離心率的求取，對學生的運算求解能力提出很高要求，是一道中檔題. 【試題解析】以線段為直徑的圓與橢圓有公共點，所以，即，所以.16. 【命題意圖】本題考查了球的內接幾何體問題，特別涉及到了正方體的局部幾何體的外接球問題.【試題解析】已知四面體棱長為2，可知其外接球的半徑為，從而其表面積為. 三、解答題17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本題考查數(shù)列通項公式及其前項和公式的求法，其中涉及錯位相減法在數(shù)列求和問題中的應用.【試題解析】 (1) 設公差為，有，解得，所以. （6分）(2) 由(1)知，

12、所以. （12分）18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查學生對概率知識的理解，以及統(tǒng)計案例的相關知識，同時考查學生的數(shù)據(jù)處理能力.【試題解析】解：(1) 選取的20名女生中，“睡眠嚴重不足”的有2人，設為，睡眠時間在的有4人，設為. 從中選取3人的情況有 ，其中恰有1人“睡眠嚴重不足”的有12種，因此3人中恰有一個為“嚴重睡眠不足”的概率為 （6分）(2) 睡眠少于7小時睡眠不少于7小時合計男生12820女生14620合計261440所以沒有的把握認為“睡眠時間與性別有關”（12分）19. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題以三棱柱為載體，考查立體幾何的基礎知識. 本題通過

13、分層設計，考查了體積運算等知識，考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【試題解析】解：(1) 由題意，在三棱柱中，由平面且可得，故點的位置為的三等分點，且靠近處. （6分）(2) 由(1)可知，所以，所以所求兩個幾何體的體積比為. （12分）20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題考查橢圓的標準方程的求取，直線和橢圓的位置關系及函數(shù)最值的求法，考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力.【試題解析】(1) 由題意，又，可解得，因此橢圓的標準方程為. （5分）(2) 由題意知，設，設由，消去得，所以同理可得，所以當，即時，取最小值，此時. （12分）21. (本小題滿分12分)【命

14、題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的知識，具體涉及到導數(shù)的運算，用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性等，以及函數(shù)圖像的判定，考查學生解決問題的綜合能力.【試題解析】解：(1) ，當時，則在上單調遞增；當時，令，得，則在上單調遞減，在上單調遞增. （4分） (2) 令，則，令，當無限靠近于0時，趨近于. ，令可得，可知時，單調遞減，時，單調遞增. 因此的值域為，即為，因此函數(shù)存在零點時，實數(shù)的取值范圍是. （12分）22. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到三角形相似等內容. 本小題重點考查考生對平面幾何推理能力.【試題解析】 (1) 因為，所以，又因為，所以，所以，所以. （5分）(2) 由(1)可知，從而，由，得. （10分）23. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、利用曲線的參數(shù)方程的幾何意義求解曲線上點到直線的距離等內容. 本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結