1、,1. 線性方程的疊加原理,3 三類方程的比較,其中 為任意常數(shù)。,稱為線性微分方程,*線性算子,*線性微分算子：,特別,稱為齊次的。,類似可定義線性定解條件及齊次定解條件。,三類方程代表：,*疊加原理I 設(shè),為任意常數(shù)）必滿足方程（或定解條件）,滿足線性方程（或線性定解條件）,則它們的線性組合,特別 滿足齊次方程（或齊次定解條件）時， 也滿足齊次方程（或齊次定解條件）,（其中 為任,*疊加原理II 可把上述情況推廣無限個相加情況（算子需要求與無限個相加可交換）。,*疊加原理III 設(shè),再設(shè),滿足線性方程（或線性定解,其中 為參數(shù)。,特別 滿足齊次方程（或齊次定解條件）時， 也滿足齊次方程（或

2、齊次定解條件）,條件）,滿足一定的條件，,那么 滿足方程（或定解條件）,應(yīng)用：把復(fù)雜線性問題拆解成簡單的問題，如分離變量法，非齊次問題齊次化處理（泛定方程與定解條件混合疊加）。,2.解的性質(zhì)的比較,（1）解的光滑性,對于弦振動方程來說，如果初始條件中高階的導(dǎo)數(shù)不存在，那么解的高階導(dǎo)數(shù)也就不存在；對于熱傳導(dǎo)方程，只要初始條件是有界的，那么其解是無窮可微的；對于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定義域內(nèi)都是解析函數(shù)。,三類典型方程在數(shù)學(xué)性質(zhì)上的差異往往是相應(yīng)的物理現(xiàn)象的本質(zhì)差異在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)。下面我們以三類典型方程（波動方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程）為例來敘述其差別。對于一般的變系數(shù)方程，

3、情況更復(fù)雜一些，但類似結(jié)論仍然成立。,（） 解的極值性質(zhì),熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程都存在極值原理，但它們所采取的形式是有區(qū)別的。拉普拉斯方程解的極值只可能存在于邊界。至于熱傳導(dǎo)方程，區(qū)域內(nèi)部的最大值不能超過區(qū)域初始時刻和邊界面上的最大值。雙曲型方程通常不存在極值原理，這是因為波在疊加時可以出現(xiàn)擾動增大的情況。,（）影響區(qū)和依賴區(qū),從影響區(qū)和依賴區(qū)來看，三類方程也有很大區(qū)別。波動方程的擾動是以有限速度傳播的，因而其影響區(qū)和依賴區(qū)是錐體狀的。對熱傳導(dǎo)方程而言，其擾動傳播進行的十分迅速，某個點的其影響區(qū)是該點以上的整個上半平面，依賴區(qū)是整個初始值區(qū)間。拉普拉斯方程表示定常狀態(tài)或平衡狀態(tài)，因此不存在擾動傳播的問題。,（）關(guān)于時間的反演,一物理狀態(tài)的變化是否可逆，在數(shù)學(xué)上反映為所歸結(jié)出來的方程關(guān)于時間變量是否是對稱的，即以t代替t后方程是否不變化。 拉普拉斯方程不存在此問題，雙曲型方程是可逆的，熱傳導(dǎo)方程是不可逆的,定解問題的提法比較,橢圓型方程：定解問題中只有邊界條件而沒有初始條件。故一般不提初邊值問題和柯西問題。 拋物型方程：可以提初邊值問題和柯西問題，其初始條件只需給出一個。 雙曲型方程：可以提初邊值問題和柯西問題，其初始條件需要給出兩個。 定解問題適定性：存在性、唯一性、穩(wěn)定性 課本給出了不穩(wěn)定的定解問題的例子。 對于弦振動方程