1、, 一元微積分學(xué),高 等 數(shù) 學(xué) A（1）,第十一講 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),授課教師：彭亞新,第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性,本章學(xué)習(xí)要求： 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點(diǎn)的類型。 了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù) 的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。,第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性,第三節(jié) 閉區(qū)間上 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),一.最大值和最小值定理,二.介值定理,最大值和最小值定理,設(shè) f (x) C ( a, b ), 則,(i) f (x) 在 a, b 上為以下四種單調(diào)函數(shù)時(shí),y = f (x) a, b ,y = f (x) a, b ,則,則,(ii)

2、 y = f (x) 為一般的連續(xù)函數(shù)時(shí),x,y,a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,ma,mb,y = f (x),O,(最大值和最小值定理),若 f (x) C ( a, b ) , 則它在該閉區(qū)間,上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .,定理,若 f (x)C( a, b ), 則 f (x) 在 a, b 上有界.,看圖就知道如何證明了.,推論,二.介值定理,a,x,y,y = f (x),f (a),b,f (b),O,f (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0,f ( )0.,先看一個(gè)圖,描述一下這個(gè)現(xiàn)象,(根存在定理或零點(diǎn)定理),則至少存在一點(diǎn) (a,

3、 b), 使得 f ( )0.,設(shè) f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,如何證明？,定理1,證明的思想方法 區(qū)間套法,將區(qū)間 a, b 等分為 a, a1 和 a1, b ,在這兩個(gè)區(qū)間中, 選擇與 a, b 性質(zhì)相同的,一個(gè), 例如, 若 f (a1) f (b) 0 , 則選取區(qū)間,如此下去, 小區(qū)間的長度趨于零, 并且,a1, b, 然后, 對 a1, b 進(jìn)行等分, 并進(jìn)行選,擇, 又得一個(gè)新的小區(qū)間.,總保持函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)值反號的性質(zhì), 由函數(shù),的連續(xù)性, 這些小區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn)構(gòu),成的數(shù)列的極限值, 就是要求的 (a, b).,(介值定理),設(shè) f

4、 (x)C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 則對于 A, B 之間的任意一個(gè)數(shù) C,至少存在一點(diǎn) (a, b), 使得 f () = C.,定理2,令 (x) = f (x) C,故由根存在定理, 至少存在一點(diǎn) (a, b) 使,則 (x)C ( a, b ), C 在 A, B 之間, (a) (b) = ( f (a) C )( f (b) C ),= ( A C ) ( B C ) 0,證, ( )= 0, 即 f ( ) = C .,最大、最小值定理,介值定理,？,引入,設(shè) f (x)C ( a, b ),證明: 至少存在一點(diǎn) x1 , xn , 使得,

5、a x1 x2 xn b,證,由介值定理, 至少存在一點(diǎn) x1 , xn , 使,證明方程 x5 3x =1在 x =1 與 x =2 之間,令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,則 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0,即 方程在 x =1 與 x =2 之間至少有一根.,故 至少存在一個(gè) (1, 2), 使得 f ( ) = 0,至少有一根.,證,至少有一個(gè)不超過 a + b 的正根.,證明方程 x = a sin x + b ( a 0, b 0 ),設(shè) f (x) = x a sin x b , x 0, a + b ,則 f (x)C( 0, a + b ),而 f (0) = 0 a sin 0 b = b 0,f (a + b) = (a + b) a sin (a + b) b,= a ( 1 sin (a + b) ) 0,證,1) 如果 f (a + b)0, 則 = a + b 就是方程的根.,即方程至少有一個(gè)不超過 a + b 的正根.,定理, 至少存在一個(gè) ( 0, a + b ),