1、可拆項計算的行列式的結(jié)構(gòu)特征與計算方法王文龍 指導(dǎo)教師：張德燕（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅張掖 ）摘 要 在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了行列式的性質(zhì)與計算的問題,而本文對利用拆項法求行列式的問題進行了進一步地討論,并給出了具體例子加以說明. 關(guān)鍵詞 行列式; 拆項法; 結(jié)構(gòu)特征; 計算方法.中圖分類號 O151.22 Demolition of the calculation of the determinant of structure and calculation methodWang Wenlong Instructor Zhang Deyan(School of Mathem

2、atics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, )Abstract:In the higher algebra study, we have studied the determinant of the nature and the calculation of the problem, and in this paper a method using open for the determinant of further discussion, and gives the specific examples to illustra

3、te.字典Keywords:The determinant; Demolition term method; Structure characteristic; Calculation methods .1 引言高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)必修的基礎(chǔ)課程,而行列式知識是其中的重要內(nèi)容之一,在高等代數(shù)教材中給出了求行列式值的具體方法,例如文獻1,并且探討了行列式的相關(guān)性質(zhì).能夠熟練掌握和運用行列式的相關(guān)性質(zhì)有著非常重要的作用和意義.本文主要研究了可拆項的行列式的結(jié)構(gòu)特征,指明了什么樣的行列式可采用拆項法來計算的問題,并且對這些問題進行了歸納和總結(jié),給出了具體的方法和例子.2預(yù)備知識性質(zhì)2.1 =,這就是說

4、,如果某一行是兩組數(shù)的和,那么這個行列式就等于兩個行列式的和,而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的對應(yīng)的行一樣.性質(zhì)2.2 如果行列式中有兩行（列）相同,那么行列式為零.所謂兩行相同就是說兩行的對應(yīng)元素都相等.性質(zhì)2.3 如果行列式中兩行（列）成比例,那么行列式為零.性質(zhì)2.4 對換行列式中兩行（列）的位置,行列式反號.性質(zhì)2.5 行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等.定義2.6 由行列式拆項性質(zhì)知,將已知行列式拆成若干個行列式之和,計算其值,再得原行列式值,此法稱為拆行（列）法.定義2.7 設(shè)是數(shù)域上的階方陣.的行列式是項的代數(shù)和；其中每一項是的位于不同行、不同列的個元素的乘積,當(dāng)把這個元素的行指

5、標(biāo)排成自然排列后,若相應(yīng)列指標(biāo)的排列為偶排列,則該項代正號,反之該項代負號,即 ,其中是的任一元排列,表示對所有元排列求和,即.3 拆項計算的行列式的結(jié)構(gòu)特征與計算方法3.1 每個元素都寫成的形式的行列式計算方法 將此行列式中的這兩個數(shù)拆項,利用行列式的性質(zhì),使得行列式計算簡化.例1 計算階行列式.解 .3.2 主對角線元素為0,對角線上方以及下方的元素分別相同的行列式 計算方法 如果主對角線元素為0,對角線上方元素全部相同（記為）,對角線下方元素全部相同（記為）,那么,可以運用拆項法.將第列前行的所有元素拆分為的形式,第行第列的0元素拆分為的形式,之后再利用行列式性質(zhì),將行列式寫成兩個行列式

6、的差,使問題簡化以利于計算.例2 計算階行列式. 思路 觀察此行列式的特點是主對角線上元素全為0,主對角線兩旁元素只是,且每一側(cè)元素相同,可用拆項法. 解 = -,對上面的第一個行列式,將第列乘加到其余各列上,對第二個行列式按第列展開,最后可得- =,即.如果將按下面的方式拆項,又可得到 =.類似于前面的方法得到另一個遞推關(guān)系式 ,聯(lián)立上述兩個遞推關(guān)系式 .當(dāng)時,解得 ；當(dāng)時,解得.3.3 次對角線元素為0,對角線上方以及下方的元素分別相同的行列式計算方法 如果次對角線元素為0,對角線上方元素全部相同（記為）,對角線下方元素全部相同（記為）,那么,可以先利用行列式性質(zhì),將行列式化為主對角線元素

7、為0,之后行列式結(jié)構(gòu)與計算方法與3.2相同.例3 計算階行列式. 解 ,以下計算與例2相同.3.4 主對角線元素不為0,對角線上方以及下方元素分別相同的行列式計算方法 如果主對角線元素不為0（記為）,對角線上方元素全部相同（記為）,對角線下方元素全部相同（記為）,那么,可以把第行列的元素看成,運用拆項法.即將第列前行的所有元素拆分為的形式,第行第列的元素拆分為的形式,之后再利用行列式性質(zhì),將行列式寫成兩個行列式的和,使問題簡化以利于計算. 例4 計算階行列式 解 . 由于 ,所以 . 式,式聯(lián)立,消去得 .3.5 每一行(列)只有一個元素和其他元素不一樣的行列式計算方法 如果階行列式中每一列只

8、有一個元素和其他元素不一樣,就可以將這一列的每個元素都分解成兩個數(shù)的和,使得其中一個是一樣的,從而創(chuàng)造了利用性質(zhì)的條件.例5 計算階行列式.思路 這個行列式第1列第1個元素是,其他元素都是1,可以將其他元素都改為,就滿足性質(zhì)2.3的條件,可以拆成兩個行列式的和,其中1個只有第1個元素為 ,其他元素全為0.按第1列展開,降為低1級行列式,另一個行列式第1列全為1,各行減第1行,也可降階.其實,這道題每一列都有這個規(guī)律,為了書寫方便,對最后1列拆項,拆成兩個行列式,然后對第1個行列式,每一行減最后一行.解 .4 結(jié)束語 通過討論可拆項計算的行列式,使我們進一步學(xué)習(xí)了階行列式的一種計算方法.在解答題時,我們要針對具體問題,把握行列式的特點,靈活運用計算方法,著重培養(yǎng)解決問題的能力和技巧,形成良好的數(shù)學(xué)思維.致謝 衷心感謝張德燕老師的悉心指導(dǎo)!參 考 文 獻1王蕚芳,石生明. 高等代數(shù)M. 北京:高等教育出版社,2003.2劉洪星. 高等代數(shù)選講M. 北京:機械工業(yè)出版社,2009. 3錢吉林. 高等代數(shù)題解精粹M. 北京：中央民族大學(xué)出版社,2002.4楊奇,田代軍,韓維信. 線性代數(shù)與解析幾何M. 天津:天津大學(xué)出版社,2002.5張禾瑞,郝新. 高