1、第十二章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量 及其分布 第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì) 數(shù)原理(全國卷5年4考),【知識梳理】 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,m+n,mn,【常用結(jié)論】 應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本原則 (1)分類要做到“不重不漏”,正確把握分類標(biāo)準(zhǔn). (2)分步要做到“步驟完整”,步步相連.,【基礎(chǔ)自測】 題組一:走出誤區(qū) 1.判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(),(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.() (3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.() (4)在計(jì)

2、算完成一件事的所有方法時(shí),分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理不能同時(shí)使用.(),提示:(1).在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法是不同的. (2).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念可知此結(jié)論正確. (3).在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,任何一步都不能單獨(dú)完成這件事.,(4).分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理可能單獨(dú)使用,也可能交叉使用.,2.十字路口來往的車輛,如果不允許回頭,則行車路線共有() A.24種B.16種C.12種D.10種,【解析】選C.根據(jù)題意,車的行駛路線起點(diǎn)有4種,行駛方向有3種,所以行車路線共有43=12種.,3.滿足a,b-1,0,1,2,且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0

3、有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個(gè)數(shù)為() A.14B.13C.12D.10,【解析】選B.當(dāng)a=0時(shí),方程變?yōu)?x+b=0,b任取方程均 有解,故有4種有序數(shù)對. 當(dāng)a0時(shí),方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解=22-4ab= 4(1-ab)0,即ab1,此時(shí)a=-1,1,2,可能的實(shí)數(shù)對有 (-1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(-1,2)共9個(gè). 綜上知,滿足條件的(a,b)共有4+9=13個(gè).,題組二:走進(jìn)教材 1.(選修2-3P12T5(1)改編)已知集合M=1,-2,3,N= -4,5,6,-7,從兩個(gè)集合中各選一個(gè)數(shù)

4、作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第三、四象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是() A.18個(gè)B.10個(gè)C.16個(gè)D.14個(gè),【解析】選B.可分兩種情況討論,一個(gè)是取M中的點(diǎn)作橫坐標(biāo),取N中的點(diǎn)作縱坐標(biāo),有6個(gè)不同點(diǎn);另一個(gè)情況是取N中的點(diǎn)作橫坐標(biāo),取M中的點(diǎn)作縱坐標(biāo),有4個(gè)不同點(diǎn);共有6+4=10個(gè)不同點(diǎn).,2.(選修2-3P12T2改編)如圖,從A城到B城有3條路;從B城到D城有4條路;從A城到C城有4條路,從C城到D城有5條路,則某旅客從A城到D城共有_條不同的路線.,【解析】不同路線共有34+45=32(條). 答案:32,考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理 【題組練透】 1.某同學(xué)有同樣的畫冊2本,

5、同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有() A.4種B.10種C.18種D.20種,【解析】選B.贈送一本畫冊,3本集郵冊,需從4人中選取一人贈送畫冊,其余送集郵冊,有4種方法.贈送2本畫冊,2本集郵冊,只需從4人中選出2人送畫冊,其余2人送集郵冊,有6種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,得不同的贈送方法有4+6=10(種).,2.甲、乙、丙三個(gè)人踢毽,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽又被踢回給甲,則不同的傳遞方法共有() A.4種B.6種C.10種D.16種,【解析】選B.分兩類:甲第一次踢給乙時(shí), 滿足條件有3種方法(如圖),同

6、理,甲先傳給丙時(shí),滿足條件有3種方法. 由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有3+3=6種傳遞方法.,3.“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1 458),若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列,則第30個(gè)“漸升數(shù)”是_.,【解析】漸升數(shù)由小到大排列,形如 的漸升數(shù)共有6+5+4+3+2+1=21(個(gè)). 形如 的漸升數(shù)共有5個(gè). 形如 的漸升數(shù)共有4個(gè). 故此時(shí)共有21+5+4=30(個(gè)).,因此從小到大的四位漸升數(shù)的第30個(gè)必為1 359. 答案:1 359,4.設(shè)a,b,c1,2,3,4,5,6,若以a,b,c為三條邊的長可以構(gòu)成一個(gè)等腰(含等邊)三角形,則這樣的三角形有_個(gè).,【解析

7、】由題意知以a,b,c為三條邊的長可以構(gòu)成一個(gè) 等腰(含等邊)三角形, 先考慮等邊三角形情況,則 a=b=c=1,2,3,4,5,6,此時(shí)三角形有6個(gè).再考慮等腰三 角形情況,若a,b是腰,則a=b當(dāng)a=b=1時(shí),ca+b=2,則c=1, 與等邊三角形情況重復(fù);,當(dāng)a=b=2時(shí),c4,則c=1,3(c=2的情況為等邊三角形,已 經(jīng)討論了),此時(shí)三角形有2個(gè); 當(dāng)a=b=3時(shí),c6,則c=1,2,4,5,此時(shí)三角形有4個(gè);當(dāng) a=b=4時(shí),c8,則c=1,2,3,5,6,有5個(gè);當(dāng)a=b=5時(shí),c10, 則c=1,2,3,4,6,有5個(gè);當(dāng)a=b=6時(shí),c12,則c=1,2,3,4,5,有5個(gè);

8、由分類加法計(jì)數(shù)原理知這樣的三角形有2+4+5+5+5+6=27(個(gè)). 答案:27,5.(2018重慶模擬)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足ab,且a,b都是集合1,2,3,4,5,6中的元素.又點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離|OP|5,則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_.,【解析】依題意可知: 當(dāng)a=1時(shí),b=5,6,兩種情況; 當(dāng)a=2時(shí),b=5,6,兩種情況; 當(dāng)a=3時(shí),b=4,5,6,三種情況; 當(dāng)a=4時(shí),b=3,5,6,三種情況;,當(dāng)a=5或6時(shí),b各有五種情況. 所以共有2+2+3+3+5+5=20種情況. 答案:20,【規(guī)律方法】應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問題的三個(gè)步驟,考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原

9、理 【典例】(1)對33 000分解質(zhì)因數(shù)得33 000=233 5311,則33 000的正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是() A.48B.72C.64D.96,(2)從-1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的系數(shù),則可組成_個(gè)不同的二次函數(shù),其中偶函數(shù)有_個(gè)(用數(shù)字作答).,【解析】(1)選A.33 000的因數(shù)有若干個(gè)2(共有23, 22,21,20四種情況),若干個(gè)3(共有3,30兩種情況),若干個(gè)5(共有53,52,51,50四種情況),若干個(gè)11(共有111,110兩種情況),由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得33 000的因數(shù)共有4242=64(個(gè)),不含2的共有242

10、=16,所以正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有64-16=48個(gè).,(2)一個(gè)二次函數(shù)對應(yīng)著a,b,c(a0)的一組取值,a的取法有3種,b的取法有3種,c的取法有2種,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有332=18(個(gè))二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函數(shù),則b=0,同上可知共有32=6(個(gè))偶函數(shù). 答案:186,【互動探究】把本例(2)條件改為:函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,其中a,b,c0,1,2,3,4,其他條件不變,應(yīng)如何解答?,【解析】一個(gè)二次函數(shù)對應(yīng)著a,b,c(a0)的一組取值,a的取法有4種,b的取法有4種,c的取法有3種,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有443=48(個(gè))二次函數(shù). 二次函數(shù)為偶函數(shù),則b=0,

11、同上可知共有43=12(個(gè))偶函數(shù).,把本例(2)中的“-1,0,1,2”改為“-2,-1,0,1, 2,3”,其他條件不變,可以組成多少個(gè)不同的二次函數(shù)?其中函數(shù)圖象頂點(diǎn)在第一象限且過原點(diǎn)的有多少個(gè)?,【解析】一個(gè)二次函數(shù)對應(yīng)著a,b,c(a0)的一組取 值,a的取法有5種,b的取法有5種,c的取法有4種,由分 步乘法計(jì)數(shù)原理知共有554=100(個(gè))二次函數(shù). 若函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第一象限且過原點(diǎn),則c=0, 0,即a與b異號且只能是a0,分三步,第一步c=0,只有1種方法; 第二步,確定a,a從-2,-1中選一個(gè),有2種不同的方法; 第三步,確定b,b從1,2,3中選一個(gè),有3種不同的方法

12、,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有123=6種不同方法. 故函數(shù)圖象頂點(diǎn)在第一象限且過原點(diǎn)的有6個(gè).,【規(guī)律方法】用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題的三個(gè)步驟,【對點(diǎn)訓(xùn)練】 1.從班委會5名成員中選出3名,分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員,其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員,則不同的選法共有_種(用數(shù)字作答).,【解析】第一步,先選出文娛委員,因?yàn)榧?、乙不能?dān)任,所以從剩下的3人中選1人當(dāng)文娛委員,有3種選法. 第二步,從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員和體育委員,又可分兩步進(jìn)行:先選學(xué)習(xí)委員有4種選法,再選體育委員有3種選法.,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,不同的選法共有343=36(種). 答案:36,2.將字母a

13、,a,b,b,c,c排成三行兩列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,則不同的排列方法共有_種.,【解析】先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有321=6種不同排法.再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1種排法.因此共有621=12(種)不同的排列方法. 答案:12,考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 【明考點(diǎn)知考法】 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理作為考查解決實(shí)際問題的重要載體,在高考題中經(jīng)常出現(xiàn),試題常以選擇題、填空題形式出現(xiàn),考查綜合應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題.解題過程中常滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想.,命題角度1組數(shù)問題 【典例】用

14、0到9這10個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_.,【解析】由題意,末尾是0或5, 末尾是0時(shí),沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)有89=72(個(gè)), 末尾是5時(shí),沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)有88=64(個(gè)),根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得,用0到9這10個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)有72+64=136(個(gè)). 答案:136,【狀元筆記】 應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決組數(shù)問題的策略,(1)先分類再分步,在分步時(shí)可能又要分類,復(fù)雜問題;(2)可以畫示意圖或列出表格,使問題形象化、直觀化.,命題角度2與幾何有關(guān)的問題 【典例】(2018濟(jì)南模擬)如圖所示,在連接正八邊形的三

15、個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有_個(gè).,【解析】分兩類:有一條公共邊的三角形共有84=32個(gè);有兩條公共邊的三角形共有8個(gè).故共有32+8=40個(gè). 答案:40,【誤區(qū)警示】解答本題易誤填8,出錯(cuò)的原因是題意理解不清,不能按有公共邊的條數(shù)分類.,【狀元筆記】 應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決幾何問題的兩個(gè)基本步驟 (1)要弄清楚幾何圖形的性質(zhì). (2)合理分類將問題簡化.,命題角度3涂色、種植問題 【典例】如圖所示,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,求不同的染色方法總數(shù).,【解析】可分為兩大步進(jìn)行,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再

16、分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論.由題設(shè),四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有543=60(種)染色方法.,當(dāng)S,A,B染好時(shí),不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3,若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法;若C染4,則D可染3或5,有2種染法;若C染5,則D可染3或4,有2種染法.可見,當(dāng)S,A,B已染好時(shí),C,D還有7種染法,故不同的染色方法有607=420(種).,【一題多解1】以S,A,B,C,D順序分步染色. 第一步,S點(diǎn)染色,有5種方法; 第二步,A點(diǎn)染色,與S在同一條棱上,有4種方法; 第三步,B點(diǎn)染色,與S,A分別在同一條棱上,有3種

17、方法;,第四步,C點(diǎn)染色,考慮到D點(diǎn)與S,A,C相鄰,需要針對A與C是否同色進(jìn)行分類,當(dāng)A與C同色時(shí),D點(diǎn)有3種染色方法;當(dāng)A與C不同色時(shí),因?yàn)镃與S,B也不同色,所以C點(diǎn)有2種染色方法,D點(diǎn)也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有543(13 +22)=420(種).,【一題多解2】按所用顏色種數(shù)分類. 第一類,5種顏色全用,共有54321=120種不同的方法; 第二類,只用4種顏色, 則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(A與C,或B與D),共有254 32=240種不同的方法;,第三類,只用3種顏色,則A與C,B與D必定同色,共有543=60種不同的方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,得

18、不同的染色方法總數(shù)為 120+240+60=420(種).,【狀元筆記】 解決涂色問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)要分清所給的顏色是否用完,并選擇恰當(dāng)?shù)耐可樞? (2)切實(shí)選擇好分類標(biāo)準(zhǔn),分清哪些可以同色,哪些不同色.,【對點(diǎn)練找規(guī)律】 1.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有() A.144個(gè)B.120個(gè)C.96個(gè)D.72個(gè),【解析】選B.由題意可得,比40 000大的五位數(shù)萬位只能是4或5, 當(dāng)萬位是4時(shí),由于該五位數(shù)是偶數(shù),個(gè)位只能從0或2中任選一個(gè),其余三位數(shù)字從剩下的四個(gè)數(shù)中任選三個(gè),有2432=48種情況;,當(dāng)萬位是5時(shí),由于該五位數(shù)是偶數(shù)

19、,個(gè)位只能從0,2或4中任選一個(gè),其余三位數(shù)字從剩下的四個(gè)數(shù)中任選三個(gè),有3432=72種情況; 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,滿足題意的數(shù)共有48+72=120個(gè).,2.如圖,用4種不同的顏色對圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用),要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色,則不同的涂色方法有_種.(用數(shù)字作答),【解析】由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題,第一步: 涂區(qū)域1,有4種方法;第二步:涂區(qū)域2,有3種方法;第三 步:涂區(qū)域4,有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色); 第四步:涂區(qū)域3,分兩類:第一類,3與1同色,則區(qū)域5涂 第四種顏色;第二類,區(qū)域3與1不同色,即涂第四種顏色,此時(shí)

20、區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色,有3種方法.所以,不同的涂色種數(shù)有432(11+13)=96種. 答案:96,3.如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)是_.,【解析】分兩種情況討論:(1)對于每一條棱,都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有212=24個(gè);,(2)對于每一條面對角線,都可以與一個(gè)對角面構(gòu)成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有12個(gè); 所以正方體中“正交線面對”共有36個(gè). 答案:36,思想方法系列24兩個(gè)計(jì)數(shù)原理中的分類與整合思想 【思想詮釋】分類與整合思想:當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),需要