1、第一節(jié) 不定積分的概念、性質(zhì),不定積分的性質(zhì),原函數(shù)與不定積分的概念,基本積分表,第五章 不定積分,思考題,小結(jié),例:,定義：,即：導(dǎo)數(shù)等于f(x)的函數(shù)F(x)叫做f(x)的原函數(shù)。,一、原函數(shù)與不定積分的概念,原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù).,注,（ 為任意常數(shù)）,不定積分的定義：,解,解,注,一積分曲線族,實(shí)例,啟示,能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？,結(jié)論,既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.,二、基本積分表,二、基本積分表,解：,根據(jù)積分公式（2）,設(shè)函數(shù)f(x)及 g(x)的原函數(shù)存在，則,三、不定積分的性質(zhì),解：,解：,解,解：,說(shuō)明：,以上幾例

2、中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.,思考題,解答,所以都是函數(shù),的原函數(shù),思考題,解答,因?yàn)??,積分變量統(tǒng)一,課堂練習(xí)題,解：,所求曲線方程為:,練習(xí)解答,基本積分表： 13個(gè),不定積分的性質(zhì),原函數(shù)的概念：,不定積分的概念：,求微分與求積分的互逆關(guān)系：,小結(jié),作 業(yè),P183 T1(偶數(shù)), T2,第五章 不定積分,第二節(jié) 換元積分法,第一類換元積分法,第二類換元積分法,第五章 不定積分,思考題,小結(jié),基本積分表： 15個(gè)公式,不定積分的性質(zhì),原函數(shù)的概念：,不定積分的概念：,求微分與求積分的互逆關(guān)系：,內(nèi)容回顧,問(wèn)題:,？,解決方法:,利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.,過(guò)程

3、:,令,一、第一類換元積分法,在一般情況下：,由此可得換元法定理.,第一類換元公式,（湊微分法）,定理1,第一類換元公式,注：,1. 使用此公式的關(guān)鍵在于將需要求的積分：,湊成,2. 基本步驟：,（湊微分法）,定理1,(1)湊微分;(2)換元; (3)最后代回為x的函數(shù),注意定理?xiàng)l件,解（一）,（二）,（三）,（一）基本湊微分法,解：,解：,湊微分形式：,注：熟練掌握湊微分法的基礎(chǔ), 注意積累常用湊微分公式。,（二）多步湊微分法,解：,注：結(jié)果可作為公式，計(jì)算時(shí)直接套用。,解：,解：,分析：,（三）聯(lián)合湊微分法,解：,（四）三角函數(shù)積分技巧法,解：,解決方法：,作適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q.,過(guò)程：,令,

4、（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）,二、第二類換元積分法,則有換元公式,定理2,解,令,三角代換法,解：,令,解：,令,注:,一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有,可令,可令,可令,三角代換目的是化掉根式.,第二類換元的一般步驟,做變換:,計(jì)算被積表達(dá)式:,求不定積分:,還回原變量:,令,解：,例13 求,三角代換很繁瑣,注: 代換的靈活多樣性根式有理化代換,注:,當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用倒代換,令,解：,基本積分表,解法一,三角代換法,令,思考題,解法二,根式有理化代換法,令,思考題,求,課堂練習(xí)題,1.第一換元法（湊微分法）,基本步驟：1、湊微分; 2、換元; 3、回代,關(guān)鍵步驟: 湊微分。,三角

5、代換、倒代換等,2.第二換元法,小結(jié),第一換元法常見(jiàn)類型:,作 業(yè),P197 T1(奇數(shù)), T2,第五章 不定積分,第三節(jié) 分部積分法,分部積分法公式,分部積分法解題技巧,第五章 不定積分,思考題,小結(jié),內(nèi)容回顧,1.第一換元法（湊微分法）,基本步驟：1、湊微分; 2、換元; 3、回代,關(guān)鍵步驟: 湊微分。,三角代換、倒代換等,2.第二換元法,第一換元法常見(jiàn)類型:,問(wèn)題,解決思路,利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.,分部積分公式,關(guān)鍵：,一、分部積分法公式,解（一）,令,顯然， 選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.,（二）,令,冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積,注：,二、分部積分法解題技巧,若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦

6、函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為 ,使其降冪一次.,解,（再次使用分部積分法）,結(jié)論1,冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積,解,令,冪函數(shù)與反三角函數(shù)乘積,若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 .,解,結(jié)論2,冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積,解,注意循環(huán)形式,結(jié)論3 在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)， 注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類型函數(shù).,指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積,解,解,令,兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo), 得,思考題,解,解：,令,課堂練習(xí)題,解：,令,課堂練習(xí)題,分部積分法,1、被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)、三角函數(shù)相乘時(shí),2、被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)、反三角相乘時(shí),3、被積函數(shù)為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘時(shí),通過(guò)尋找恒等式求不定積分時(shí)，注意連續(xù)施行分部積分所選用的u、dv的一致性；,小結(jié),作 業(yè),P203 T1(奇數(shù)), T2,第五章 不定積分,概念,積分法,一、內(nèi)容回顧,原函數(shù),不定積分,直接積分（21個(gè)公式）,換元積分,分部積分,第一換元,第二換元,主要內(nèi)容,1. 第一