1、數(shù)學(xué)思維方法第一節(jié) 數(shù)學(xué)思維和思維過程一、數(shù)學(xué)思維及其類型1.思維概述思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)概括的、間接的反映，是客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律的反映。思維是人類所特有的一種高級(jí)的心理活動(dòng)。2.思維的特征數(shù)學(xué)思維的特征主要是概括性、間接性、目的性、問題性和復(fù)合性。（1）概括性。思維能認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)及其內(nèi)在規(guī)律性，主要來自抽象和概括，即思維是概括的反映，所以思維最顯著的特點(diǎn)是概括性。概括是思維活動(dòng)的速度、靈活遷移程度、廣度和深度等智力品質(zhì)的基礎(chǔ)。（2）間接性。思維是憑借知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)客觀事物進(jìn)行的間接的反映。間接性表現(xiàn)在能對(duì)沒有直接作用于感知的事物的屬性或聯(lián)系加以反映，能對(duì)根本不能直接感知的事物及其屬性或聯(lián)系進(jìn)

2、行反映；能在對(duì)現(xiàn)實(shí)事物認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上假設(shè)、想象等。（3）目的性。思維具有目的性，是指思維具有解決問題或獲得結(jié)果的能動(dòng)性。人只有在客觀實(shí)踐活動(dòng)中面臨新的問題，新的活動(dòng)要求和新的情況下，才可能進(jìn)行思維。思維的特性還包括廣闊性、層次性、邏輯性、產(chǎn)生性等。3.思維的分類根據(jù)思維活動(dòng)的目的性差異，思維有不同形式的分類。（1）根據(jù)思維的抽象程度。思維可分為直觀行動(dòng)思維、直觀形象思維和抽象邏輯思維。（2）根據(jù)思維的目的性。思維分為上升性思維、求解性思維和決策性思維。上升性思維是依靠比較、分析、抽象等方法，從對(duì)事物的個(gè)性向共性的認(rèn)識(shí)過程；求解性思維指解決具體問題的思維；決策性思維是以規(guī)范未來的實(shí)驗(yàn)過程和預(yù)測(cè)其效

3、果為中心內(nèi)容的思維活動(dòng)。三種思維相互聯(lián)系、彼此滲透，同時(shí)又是一個(gè)不斷深化和發(fā)展的過程。（3）根據(jù)思維的智力品質(zhì)。思維可分為再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維。再現(xiàn)性思維是一般的思維活動(dòng)，它是指對(duì)已有知識(shí)的再現(xiàn)，或?qū)⒁延兄R(shí)按照通常的思維形式去解決問題的過程；創(chuàng)造性思維指獨(dú)立思考出有社會(huì)價(jià)值的、具有一定新穎成分的思維，它是人類思維的高級(jí)階段。（4）根據(jù)思維的形式。思維可分為輻合思維和發(fā)散思維。4.數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思維既具有一般思維的共性，又具有自身的特性。數(shù)學(xué)思維是以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象為任務(wù)，以數(shù)和形為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語言和符號(hào)為思維載體，并以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。數(shù)學(xué)思維主要具有概括性、整體性和問題性

4、等特點(diǎn)。（1）概括性。數(shù)學(xué)思維的概括性是指將某種事物已分出來的一般、共同的屬性或特征結(jié)合起來，再把研究對(duì)象的本質(zhì)特征推廣為范圍更廣的包含這個(gè)對(duì)象的同類事物的本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)思維的概括性比一般思維的概括性更強(qiáng)，這是由于數(shù)學(xué)思維揭示的是事物之間內(nèi)在的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系及其規(guī)律，能夠把握一類事物共有的數(shù)學(xué)屬性。（2）整體性。數(shù)學(xué)思維的整體性主要表現(xiàn)在它的統(tǒng)一性和對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象基本屬性的準(zhǔn)確把握。（3）相似性。數(shù)學(xué)思維的相似性是思維相似規(guī)律在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的反映。（4）問題性。數(shù)學(xué)思維的問題性是與數(shù)學(xué)科學(xué)的問題性相關(guān)聯(lián)的。問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)科學(xué)的起源與發(fā)展都是由問題引起的。由于數(shù)學(xué)思維是解決數(shù)學(xué)問題的心

5、智活動(dòng)，它總是指向問題的變換，表現(xiàn)為不斷地提出問題、分析問題和解決問題，使數(shù)學(xué)思維的結(jié)果形成問題的系統(tǒng)和定理的序列，達(dá)到掌握問題對(duì)象的數(shù)學(xué)特征和關(guān)系結(jié)構(gòu)的目的。因此，問題性是數(shù)學(xué)思維目的性的體現(xiàn)，解決問題的活動(dòng)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的中心。（5）復(fù)合性。數(shù)學(xué)思維的復(fù)合性是指數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中表現(xiàn)出的邏輯性和非邏輯性相結(jié)合的特征。二、數(shù)學(xué)思維的類型確定數(shù)學(xué)思維類型應(yīng)該考慮的問題：首先，數(shù)學(xué)思維既要體現(xiàn)一般思維的規(guī)律，又要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，反映出數(shù)學(xué)思維特有的規(guī)律。其次，數(shù)學(xué)思維應(yīng)是指數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中的思維，這種活動(dòng)包括研究數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的活動(dòng)。由上面分析可知，數(shù)學(xué)思維的成分主要包括形象思維、抽象邏輯思維和直

6、覺思維。1.形象思維數(shù)學(xué)形象思維是指借助數(shù)學(xué)形象或表象，反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維。在數(shù)學(xué)形象思維中，表象與想象是兩種主要形式，其中數(shù)學(xué)表象又是數(shù)學(xué)形象思維的基本元素。（1）數(shù)學(xué)表象。數(shù)學(xué)表象是以往感知過的觀念形象的重現(xiàn)。數(shù)學(xué)表象常常以反映事物本質(zhì)聯(lián)系的特定模式結(jié)構(gòu)來表現(xiàn)。如，數(shù)學(xué)中“球”的形象，已是脫離了具體的足球、籃球、排球、乒乓球等形象，而且與定點(diǎn)距離相等的空間內(nèi)點(diǎn)的集合，顯示了集合內(nèi)的點(diǎn)（球面上的點(diǎn)）與定點(diǎn)（球心）之間的本質(zhì)聯(lián)系：距離相等。（2）數(shù)學(xué)想象。數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)形象思維的一種重要形式，通?？煞譃樵僭煨韵胂蠛蛣?chuàng)造性想象兩種類型。再造性想象是根據(jù)數(shù)學(xué)語言、符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式或

7、圖形、圖表、圖解等提示，經(jīng)過加工改造而形成新的數(shù)學(xué)形象的思維過程。創(chuàng)造性想象是一種不依靠現(xiàn)成的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號(hào)的描述，也不依據(jù)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式和數(shù)學(xué)圖形的提示，只依據(jù)思維的目的和任務(wù)在頭腦中獨(dú)立地創(chuàng)造出新的形象的思維過程。2.邏輯思維邏輯思維包括形式邏輯思維和辯證邏輯思維。形式邏輯思維是依據(jù)形式邏輯的規(guī)則來反映數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)及其關(guān)系，達(dá)到對(duì)其本質(zhì)特性和內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)過程。辯證邏輯思維是邏輯思維發(fā)展的高級(jí)階段，它是從運(yùn)動(dòng)過程及矛盾相互轉(zhuǎn)化中去認(rèn)識(shí)客體，遵循質(zhì)量互變、對(duì)立統(tǒng)一及否定之否定等規(guī)律去認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的過程。3.直覺思維數(shù)學(xué)直覺思維是以一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象作總體觀察，在瞬間

8、頓悟到對(duì)象的某方面的本質(zhì)，從而迅速做出估計(jì)判斷的一種思維。數(shù)學(xué)直覺思維是一種非邏輯思維活動(dòng)，是一種由下意識(shí)活動(dòng)參與，不受固定邏輯規(guī)則約束，由思維主體自覺領(lǐng)悟事物本質(zhì)的思維活動(dòng)。因此，非邏輯性是數(shù)學(xué)直覺思維的基本特征，同時(shí)數(shù)學(xué)直覺思維還具有直接性、整體性、或然性、不可解釋性等重要特征。（1）直接性。數(shù)學(xué)直覺思維是直接反映數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)及關(guān)系的思維活動(dòng)，這種思維活動(dòng)表現(xiàn)為對(duì)認(rèn)識(shí)對(duì)象的直接感悟或洞察，是數(shù)學(xué)直覺思維的本質(zhì)特征。（2）整體性。整體性是指數(shù)學(xué)直覺思維的結(jié)果是關(guān)于對(duì)象的整體性認(rèn)識(shí)，盡管這并非是一副毫無遺漏的“圖畫”，它的某些細(xì)節(jié)甚至可能是模糊的，但是卻清楚地表明了事物的本質(zhì)或問題的關(guān)鍵。（

9、3）或然性。數(shù)學(xué)直覺思維是一種跳躍式的思維，是在邏輯依據(jù)不充分的前提下做出的結(jié)論，具有猜測(cè)性。正因?yàn)槿绱?，如何通過直覺思維“俘獲來的戰(zhàn)利品”就需要經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯驗(yàn)證。采用直覺思維的目的在于迅速找到事物的本質(zhì)或內(nèi)在聯(lián)系，提出猜想，而不在于論證這個(gè)猜想。（4）不可解釋性。數(shù)學(xué)直覺思維在客觀上往往給人以不可解釋之感。由于直覺思維是在一剎那間完成的，略去了許多中間環(huán)節(jié)，思維者對(duì)其過程沒有清晰的意識(shí)，所以要想對(duì)它的過程進(jìn)行分析、研究和追憶，往往是十分困難的，這又使直覺思維給人一種“神秘感”。數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)靈感是數(shù)學(xué)直覺思維的兩種形式，它們之間具有深刻的本質(zhì)聯(lián)系，即靈感是直覺的更高發(fā)展，是一種突發(fā)性的直覺

10、。通常靈感的形成是從多次的直覺受阻或產(chǎn)生錯(cuò)誤的情況下得到教益，而使一部分信息不自覺地轉(zhuǎn)入潛意識(shí)加工，最終又在某種意境或偶發(fā)信息的啟發(fā)下，由潛意識(shí)躍入顯意識(shí)而爆發(fā)頓悟的，因此數(shù)學(xué)思維靈感是從多個(gè)數(shù)學(xué)直覺中升華而形成的結(jié)晶。形象思維、邏輯思維、直覺思維是數(shù)學(xué)思維的三種基本類型，形象思維是數(shù)學(xué)思維的先導(dǎo)，邏輯思維是數(shù)學(xué)思維的核心。在進(jìn)行具體的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)時(shí)，往往是這兩種思維交錯(cuò)應(yīng)用的一個(gè)綜合過程。直覺思維則是以上兩種思維的結(jié)合，達(dá)到一定數(shù)量后所引起的一種質(zhì)的飛躍。因此，如果形象思維和邏輯思維發(fā)展得好，就為發(fā)展直覺思維創(chuàng)造了條件。第二節(jié) 數(shù)學(xué)思維的一般方法數(shù)學(xué)思維的一般方法指數(shù)學(xué)思維過程中常運(yùn)用的基本

11、方法。從數(shù)學(xué)活動(dòng)過程來看，數(shù)學(xué)思維方法大體上可分為兩個(gè)層次：經(jīng)驗(yàn)性思維方法，包括觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、不完全歸納和抽象等，這一層次的思維方法在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程中表現(xiàn)得尤為突出；邏輯思維方法，常用在數(shù)學(xué)的推理和論證中，包括化歸、演繹、分析、綜合、形式化和公理化等。因此，從整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的過程來看，可分為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維方法和數(shù)學(xué)論證的思維方法。一、觀察和實(shí)驗(yàn)觀察和實(shí)驗(yàn)是發(fā)現(xiàn)與解決問題中最形象、最具體的手段之一。在一般的科學(xué)活動(dòng)中，觀察與實(shí)驗(yàn)是極為重要的科學(xué)方法。觀察與實(shí)驗(yàn)是收集科學(xué)事實(shí)，獲取科學(xué)研究第一手材料的重要途徑，是形成、論證及檢驗(yàn)科學(xué)理論的最基本的實(shí)踐活動(dòng)。觀察法是指人們對(duì)周圍世界客觀事物和形象在

12、其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實(shí)際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲得經(jīng)驗(yàn)材料的一種方法。通過在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的觀察和實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Γ梢允箤W(xué)生掌握和運(yùn)用觀察和實(shí)驗(yàn)的能力，利用學(xué)生的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力和對(duì)數(shù)學(xué)的興趣及信心。在數(shù)學(xué)研究中，通過觀察與實(shí)驗(yàn)不僅可以收集新材料、獲得新知識(shí)，而且常常導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與理論的創(chuàng)新。觀察與實(shí)驗(yàn)方法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用可以大體分為兩個(gè)層次：一是運(yùn)用觀察和實(shí)驗(yàn)來解決和驗(yàn)證數(shù)學(xué)理論；二是運(yùn)用觀察和實(shí)驗(yàn)方法來解決具體的數(shù)學(xué)問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是要運(yùn)用觀察和實(shí)驗(yàn)方法來解決一些具體的數(shù)學(xué)習(xí)題。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)觀察與實(shí)驗(yàn)主要被用來觀察實(shí)際生活中

13、存在的數(shù)量問題、空間結(jié)構(gòu)問題。比如作簡單的幾何圖形，觀察幾何圖形的相互位置，從這些觀察中自己動(dòng)手去做、去實(shí)踐，并得出一些數(shù)學(xué)結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了更好地使學(xué)生掌握知識(shí)、培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和能力，要盡可能地再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程。因此，觀察與實(shí)驗(yàn)應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)中探索、學(xué)習(xí)知識(shí)的重要方法和開展實(shí)踐活動(dòng)的主要形式。 二、類比和猜想類比是根據(jù)兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的一些屬性相同或相似，猜測(cè)另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。類比分為簡單類比和復(fù)雜類比兩類。簡單類比是一種形式性類比，它具有明顯性、直接性的特征；復(fù)雜類比是一種實(shí)質(zhì)性類比，需要通過較為深入的分析后才能得出新的猜測(cè)。類比是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的

14、一種常用思維形式。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，常用的類比包括平面與空間的類比、數(shù)與形的類比、有限與無限的類比等。兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象結(jié)構(gòu)相似，是類比的出發(fā)點(diǎn)和關(guān)鍵。猜想往往伴隨著類比、歸納的思維過程，由于類比和不完全歸納所得的結(jié)論不一定正確，所以猜想的數(shù)學(xué)命題或結(jié)論應(yīng)當(dāng)采用嚴(yán)格的方法去證明它，或者用實(shí)例反駁它。三、歸納與演繹歸納是通過對(duì)某類數(shù)學(xué)對(duì)象中若干特殊情況的分析得出一般性結(jié)論的思維方式。歸納分為不完全歸納和完全歸納兩種類型。演繹是由一般性前提推出特殊性結(jié)論的思維方法。通常，在依據(jù)已知的事實(shí)或真命題去進(jìn)行推理的方式都是演繹推理。演繹推理是數(shù)學(xué)證明中最常用的嚴(yán)格推理形式，它對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生的技能技巧，發(fā)展學(xué)生的邏輯思

15、維能力均有重要的作用。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，歸納與演繹兩種思維方法往往交替出現(xiàn)，由歸納法去猜測(cè)問題的結(jié)論或猜測(cè)解決問題的方法，再用演繹去完成嚴(yán)格的推理證明。四、分析與綜合分析法是指要證明一個(gè)命題是正確的，思考問題時(shí)可以由結(jié)論向已知條件逐步追溯。即先假設(shè)命題的結(jié)論成立，推出它成立的原因，再把這些原因看出新的結(jié)論，再推求使它們成立的原因，如此逐步往上追溯，直到推出已知條件或已知的事實(shí)為止。簡述之，就是執(zhí)果索因。像這樣的思維方法叫做“分析法”。如果在追溯過程中，每一步都是可逆的，那么這樣的分析法我們稱之為“逆證法”。分析法的思考順序與綜合法相反，分析法語綜合法比較，其優(yōu)點(diǎn)是執(zhí)果索因，思維目標(biāo)較為清晰，思

16、路也較為集中，易有成效，比較容易找到解決問題的途徑；缺點(diǎn)是，分析者知道怎么回事情，但很難完整表述出來。在證題時(shí)，從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列已確定的命題逐步推理，結(jié)果或是導(dǎo)出前所未知的命題，或是解決了當(dāng)前的問題，像這樣的思維方法就叫做綜合法。綜合法的要點(diǎn)就是由已知條件推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。綜合法與分析法的關(guān)系極為密切，可以說分析法是綜合法的前提。一般我們?cè)诜治鲱}目時(shí)用的是分析法，分析法在書寫格式方面不夠清晰，那么在書寫過程中就采用綜合法的模式更符號(hào)我們的思維習(xí)慣。分析是在認(rèn)識(shí)上把事物的整體分解成各個(gè)部分、個(gè)別特性或個(gè)別方面。綜合是在認(rèn)識(shí)上把事物的各個(gè)部分或不同特性、不同方面結(jié)合起來。思維過程是從

17、對(duì)問題的分析開始的。思維的分析可以有過濾式的分析和綜合的有方向的分析兩種形式。前者通過嘗試對(duì)問題情境作初步的分析，能淘汰那么無效的嘗試。后者是通過把問題的條件和要求綜合起來而實(shí)現(xiàn)的分析，這種分析帶有指向性，是思維分析的主要形式，是思維活動(dòng)的主要環(huán)節(jié)。分析和綜合是方向相反而又緊密聯(lián)系的兩個(gè)過程，是同一思維過程中不可分割的兩個(gè)方面。分析總是把部分從整體中分出來，從它們的相互聯(lián)系上來考察，而綜合則是對(duì)分析出的各個(gè)部分、各個(gè)特性進(jìn)行整體考察，是通過對(duì)各部分、各特性的分析而實(shí)現(xiàn)的。分析為了綜合，分析才有意義。綜合中有分析，綜合才更完備。任何一個(gè)比較復(fù)雜的思維過程，既需要分析，也需要綜合。五、特殊化和一般

18、化特殊問題的解決是比較容易和簡單的。特殊化就是把數(shù)學(xué)問題中包含的數(shù)量、形狀、位置關(guān)系等加以簡單化、具體化、單一化、邊緣化，也就是說，當(dāng)數(shù)學(xué)問題的一般性不十分明顯時(shí)，我們從特殊的數(shù)、形的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系入手，由特殊性質(zhì)推出一般性質(zhì)，從中找到解題方法或構(gòu)成解題起點(diǎn)。在解題過程中，對(duì)于一時(shí)難以入手的一般問題，使用最普遍而又較為簡單易行的化歸途徑，就是把它向特殊的形式轉(zhuǎn)化，這就是特殊化法。由于特殊的事物與簡單的事物有著自然的聯(lián)系，所以這種方法有兩種類型：一是從簡單情形入手，作為解決一般問題的突破口；二是從特殊對(duì)象考察，為求解一般問題奠定基礎(chǔ)。特殊化是把所研究的數(shù)學(xué)問題從原來的范圍縮小到一個(gè)較小范圍或

19、個(gè)別情形進(jìn)行考察研究的思維方法。一般化則是與特殊化相反的思維方法，即將研究對(duì)象從原來范圍擴(kuò)展到更大范圍進(jìn)行考察和研究。特殊化思想的作用表現(xiàn)為兩個(gè)方面。首先，將一個(gè)數(shù)學(xué)問題特殊化，從而得到一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題。通?？蓪⑺芯康膯栴}視為一般性問題，按照增加約束條件，取其局部或個(gè)別情形得到特殊性的問題。特殊化不僅具有演繹推理的功能，而且是發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的方法之一。其次，特殊化通過分析特殊和個(gè)別的對(duì)象去尋求一般事物的屬性，以獲得關(guān)于所研究對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系的認(rèn)識(shí)，找到解決問題的方向、途徑或方法。通常我們所說的特例、反例分析法等，都屬于這種情形。與特殊化途徑相反，在對(duì)一般形式問題比較熟悉的情況下，將特

20、殊形式的問題轉(zhuǎn)化為一般形式的問題，這就是一般化法。這種方法是通過找出特殊問題的一般原理，把特殊問題從原有范圍擴(kuò)展到包含該問題的更大范圍來進(jìn)行考察，從而使我們能夠在更一般、更廣闊的領(lǐng)域中使用靈活的方法去尋求化歸的途徑。一般化的思維作用也表現(xiàn)在兩個(gè)方面，其一是對(duì)數(shù)學(xué)問題或研究對(duì)象的一般化，以求得更具一般性的結(jié)論；其二是數(shù)學(xué)方法的一般化，尋求解決一類問題的普遍方法。特殊化合一般化是兩種相輔相成的思維方法。解題中使用特殊化是為了探求一般性結(jié)論，使用一般化是為了通過一般性結(jié)論的成立說明其特殊情形成立或推廣命題。因此，當(dāng)一般性問題很難立刻找到解題方法時(shí)，不妨將其向特殊方向轉(zhuǎn)化，而當(dāng)有些特殊問題涉及到過多無

21、關(guān)宗旨的細(xì)節(jié)，掩蓋著問題的本質(zhì)時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為一般的情形更容易解決。特殊化和一般化反映了人類的兩種認(rèn)識(shí)過程，即由特殊到一般和由一般到特殊。這兩種過程循環(huán)往復(fù)，每一次循環(huán)都可使人類的認(rèn)識(shí)提高一步。數(shù)學(xué)正是在這一循環(huán)往復(fù)中發(fā)展并豐富其內(nèi)容的。六、抽象與概括抽象和概括都是一種思維過程。抽象是指將一類對(duì)象的某一共同特性與其他特性加以分離。數(shù)學(xué)中的抽象更多地是科學(xué)抽象，即從空間形式和數(shù)量關(guān)系的角度，去區(qū)別對(duì)象的本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征，并舍棄非本質(zhì)特征，把握其本質(zhì)特征的思維過程。例如，由數(shù)字到文字的抽象，由常量到變量的抽象，由有限到無限的抽象，這是中學(xué)代數(shù)的三次大的飛躍。概括是指把從部分抽象出來的某一屬性推廣

22、到同類對(duì)象中去，從而形成關(guān)于該類對(duì)象的一般性的、普遍性的認(rèn)識(shí)。所以概括的過程，也是思維由個(gè)別到一般的過程，是個(gè)別和一般相結(jié)合的過程。在實(shí)際的思維過程中，抽象和概括常常是緊密聯(lián)系的。抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象，就無從談及概括；而概括又是抽象的目的，沒有概括，就不能把握某類事物的共同本質(zhì)，認(rèn)識(shí)也就不能上升為普遍性、規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，抽象也就失去了意義。因此，它們是相互依存，不可分離的。七、比較與分類比較是在認(rèn)識(shí)上把對(duì)象和現(xiàn)象的個(gè)別部分、個(gè)別方面或個(gè)別特征加以對(duì)比，確定被比較對(duì)象的共同點(diǎn)、區(qū)別及其關(guān)系。比較往往是針對(duì)某一事物的某一方面進(jìn)行的。比較離不開分析和綜合，分析和綜合是比較的基本過程和組成部分。有

23、比較才有鑒別。人類認(rèn)識(shí)一切客觀事物，都是通過比較來實(shí)現(xiàn)的，沒有比較就不能認(rèn)識(shí)事物。通過事物之間的比較，學(xué)生便于明確事物的本質(zhì)特征。教學(xué)中經(jīng)常使用的比較形式有兩種：同類事物的比較和不同類別卻相似、相近或相關(guān)的事物間的比較。分類是通過比較，按照事物間的差異程度，對(duì)事物加以分門別類的思維方法。分類是建立在比較基礎(chǔ)上的思維方式。數(shù)學(xué)中的分類包括概念的劃分、性質(zhì)的歸類、方法的整理以及解題中的分類討論法等。八、具體化思維過程的最后一步往往是具體化。具體化有兩種形式：一是從一般過渡到特殊，如從一般三角形的面積公式過渡到直角三角形的面積公式；另一種是通過揭示一般的各種不同特征和性質(zhì)，然后以具體的內(nèi)容加以充實(shí)、

24、豐富。第三節(jié) 數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)及其培養(yǎng)一、數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)思維品質(zhì)是評(píng)價(jià)和衡量學(xué)生思維優(yōu)劣的重要標(biāo)志。思維的發(fā)生和發(fā)展，即服從于一般的、普遍的規(guī)律，又表現(xiàn)出個(gè)性差異；對(duì)于不同的個(gè)體，具有不同的思維特點(diǎn)。思維品質(zhì)差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為人的能力的差異。數(shù)學(xué)思維品質(zhì)主要由以下幾個(gè)方面組成：1.數(shù)學(xué)思維的深刻性思維的深刻性常被稱為分清實(shí)質(zhì)的能力。這種能力表現(xiàn)為：能洞察所研究的每一個(gè)事實(shí)的實(shí)質(zhì)及相互關(guān)系；能從所研究的材料中揭示被掩蓋著的某些個(gè)別特殊情況；能組合各種具體模式。一般來說，中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性在以下幾方面存在差異：形成概念、構(gòu)成判斷、進(jìn)行推理論證的深度。2.數(shù)學(xué)思維的廣闊性思維的廣闊性是指思路寬廣，善

25、于多角度、多層次地進(jìn)行探究。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思維的廣闊性表現(xiàn)為既能把握數(shù)學(xué)問題的整體，抓住它的基本特征，又能抓住重要的細(xì)節(jié)和特殊因素，放開思路進(jìn)行思考，善于發(fā)現(xiàn)事物間多方面的聯(lián)系，找出多種解決問題的方法，并能將它推廣到類似的問題中去，從而形成一些普遍意義的方法，或擴(kuò)大解題中得到的結(jié)果的使用范圍，或?qū)⑵渫茝V到類似的問題中去。3.數(shù)學(xué)思維的靈活性思維的靈活性是指思維活動(dòng)的靈活程度，主要表現(xiàn)為具有超脫習(xí)慣處理方法界限的能力，即一旦所給條件發(fā)生變化，便能改變先前的思維途徑，找到新的解決問題的方法。學(xué)生思維的靈活性主要表現(xiàn)為隨新的條件而迅速確定解題方向；表現(xiàn)為從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑的靈巧性；也表現(xiàn)為

26、從已知數(shù)學(xué)關(guān)系中看出新的數(shù)學(xué)關(guān)系，從隱蔽的形式中分清實(shí)質(zhì)的能力。4.數(shù)學(xué)思維的敏捷性思維的敏捷性是指思維過程中的簡縮性和快速性。具有這一品質(zhì)的學(xué)生能縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過程，“直接”得出結(jié)果。5.數(shù)學(xué)思維的評(píng)判性思維的評(píng)判性就是指思維活動(dòng)中善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)地檢查思維過程的智力品質(zhì)，它是思維過程中自我意識(shí)作用的結(jié)果。思維的批判性表現(xiàn)在有主見地評(píng)價(jià)事物，能嚴(yán)格地評(píng)判自己提出的假設(shè)或解題方法的正確或優(yōu)劣與否；喜歡獨(dú)立思考，善于提出問題和發(fā)表不同的看法，既不人云亦云，也吧自以為是。6.思維的獨(dú)創(chuàng)性思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維活動(dòng)的創(chuàng)造性精神，是在新穎地解決問題中表現(xiàn)出來的智力品質(zhì)?！蔼?dú)創(chuàng)”主要指思維

27、活動(dòng)應(yīng)具有創(chuàng)造性態(tài)度。學(xué)生能獨(dú)立地、自覺地掌握數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)定理的證明，發(fā)現(xiàn)老師課堂上講過的例題的新穎解法等，這些都是思維獨(dú)創(chuàng)性的具體表現(xiàn)。二、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)1.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性就是培養(yǎng)學(xué)生分清事物實(shí)質(zhì)的能力，使學(xué)生能夠透過復(fù)雜的現(xiàn)象洞察所研究事物的本質(zhì)及其相互聯(lián)系，能從所研究的材料中揭示被掩蓋的特殊情況，能組合各種具體模式等。2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性與靈活性培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性與靈活性的核心就是培養(yǎng)學(xué)生的分散思維。教師要注意在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的教學(xué)中，從不同層次、形態(tài)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，把知識(shí)系統(tǒng)化；在解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)條件的變化，從不同角

28、度觀察、分析問題，避免局限學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比、對(duì)比聯(lián)想。3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的敏捷性培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的敏捷性應(yīng)重視數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)，為此要做到以下幾點(diǎn)：（1）注意學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與把握，以便學(xué)生在解決問題的過程中，正確、迅速地利用相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、公式和法則。（2）在數(shù)學(xué)教學(xué)中要考慮關(guān)于解題速度的訓(xùn)練問題。優(yōu)秀學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維時(shí)，往往反應(yīng)速度快，思維敏捷。（3）不要忽視思維的敏捷性與記憶的密切關(guān)系。4.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的評(píng)判性數(shù)學(xué)思維的批判性品質(zhì)的培養(yǎng)與培養(yǎng)學(xué)生的自我監(jiān)控能力有密切關(guān)系。自我監(jiān)控能力就是學(xué)生為了達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)，將自身正在進(jìn)行的實(shí)踐活動(dòng)過程作為對(duì)象，不斷地對(duì)其進(jìn)行積極的、

29、自覺的計(jì)劃、監(jiān)督、檢查、評(píng)價(jià)、反饋和調(diào)節(jié)的能力。教師可以從培養(yǎng)學(xué)生的檢查意識(shí)和技能入手，來提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我監(jiān)控能力。5.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心。（2）重視培養(yǎng)學(xué)生思維的流暢性、變通性和獨(dú)特性。（3）增強(qiáng)有意注意，捕捉靈感。（4）既培養(yǎng)邏輯思維，也培養(yǎng)直覺思維。（5）培養(yǎng)學(xué)生的想象力。想象力的培養(yǎng)需要培養(yǎng)學(xué)生具有廣泛的興趣，淵博的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。第四節(jié) 數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維及其培養(yǎng)一、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維創(chuàng)造性思維是指有創(chuàng)見的思維，即在強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)下，改組已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生出新穎的、具有社會(huì)價(jià)值的思維成果。創(chuàng)新思維是整

30、個(gè)創(chuàng)新活動(dòng)智力結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵，是創(chuàng)新的核心。創(chuàng)新思維是由直覺思維、集中思維、分散思維和靈感思維結(jié)合后組成的高級(jí)思維。創(chuàng)新思維的本質(zhì)特征是新穎性，它不同于一般思維活動(dòng)，就在于要打破常規(guī)的解決問題的方法，將已經(jīng)有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行改組或重建，創(chuàng)造出個(gè)體所未知或社會(huì)前所未有的思維成果。創(chuàng)新思維是創(chuàng)造性想象積極參與的結(jié)果，其靈感狀態(tài)是創(chuàng)造思維的一種典型特征。創(chuàng)造性思維有高低兩種不同水平。高水平的創(chuàng)造性思維是指這種思維發(fā)現(xiàn)了前人未曾發(fā)現(xiàn)的新事物，解決了前人未曾解決的問題。一般高水平的創(chuàng)造性思維是指數(shù)學(xué)家、杰出的數(shù)學(xué)人才在數(shù)學(xué)創(chuàng)造性活動(dòng)中所進(jìn)行的思維活動(dòng)。低水平的創(chuàng)造性思維是指這種思維的結(jié)果已為別人所完成，只是

31、相對(duì)于思維者本人來說算是發(fā)現(xiàn)了新事物，解決了新問題。一般低水平的創(chuàng)造性思維是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中所進(jìn)行的創(chuàng)造性思維活動(dòng)。盡管學(xué)生的創(chuàng)造性思維水平較低，但它卻是造就高水平創(chuàng)造性思維人物的前提和基礎(chǔ)。二、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的階段1.選擇與準(zhǔn)備階段選擇與準(zhǔn)備階段是從強(qiáng)烈的創(chuàng)造愿望出發(fā)，選擇課題并進(jìn)行有關(guān)資料準(zhǔn)備的階段。準(zhǔn)備工作做得越充分，越有利于開闊思路，有利于發(fā)現(xiàn)和推測(cè)問題的成因，從而易于獲得成果。2.醞釀?dòng)跇?gòu)思階段醞釀?dòng)跇?gòu)思階段是自覺努力的時(shí)期，一般要運(yùn)用發(fā)散思維多方面、多角度、多層次地進(jìn)行思考。在這一階段，不僅要運(yùn)用分析、綜合、比較、歸納、類比、聯(lián)想等思維方法，而且要借助于想象，特別是以創(chuàng)造性想

32、象進(jìn)行構(gòu)思。3.領(lǐng)悟與突破階段領(lǐng)悟與突破階段是創(chuàng)造性活動(dòng)的關(guān)鍵階段，是前兩個(gè)階段的升華。經(jīng)過充分醞釀之后，在頭腦中突然躍出新的構(gòu)想，使問題有可能得到解決。在這個(gè)階段，形象思維、直覺思維以及數(shù)學(xué)美感起著重要的作用。4.檢驗(yàn)與完善階段檢驗(yàn)與完善階段是對(duì)獲得的構(gòu)思和猜想進(jìn)行檢驗(yàn)、論證和修正完善的階段。在這一階段，主要運(yùn)用集中思維和邏輯思維方法做出進(jìn)一步的研究。任何創(chuàng)造性活動(dòng)的成功都有可能是在多次失敗中孕育出來的，大量的數(shù)學(xué)史料表明，有些數(shù)學(xué)猜想要經(jīng)過數(shù)月、數(shù)年甚至數(shù)十年、數(shù)百年的進(jìn)一步研究才能上升為真理。上述數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維活動(dòng)的四個(gè)階段是互相聯(lián)系、不可截然分開的，各個(gè)階段之間并沒有嚴(yán)格的界限，其中關(guān)

33、鍵階段是醞釀?dòng)跇?gòu)思、領(lǐng)悟與突破這兩個(gè)階段，此階段中起主要作用的是形象思維、直覺思維、審美思維等非邏輯思維。三、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)1.數(shù)學(xué)教學(xué)要充分揭示數(shù)學(xué)思維過程數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維不僅存在于數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性活動(dòng)中，也存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中。學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)雖然是前人創(chuàng)造性思維的結(jié)果，但學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體處于再發(fā)現(xiàn)的地位，學(xué)習(xí)活動(dòng)實(shí)質(zhì)上仍然具有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的性質(zhì)。因此，采用開放式教學(xué)方法，在教學(xué)中充分揭示思維過程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的重要途徑。（1）重視教學(xué)思維活動(dòng)中的認(rèn)識(shí)發(fā)生階段。從教學(xué)的階段性觀點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)過程，大致可以分為認(rèn)識(shí)的發(fā)生階段和知識(shí)的整理階段。前者是指概念如何

34、形成、結(jié)論如何被發(fā)現(xiàn)的過程；后者是指用演繹法進(jìn)一步理解知識(shí)、開拓知識(shí)的過程。由于前一階段是引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)的過程，它閃耀著創(chuàng)造的火花，是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的有效途徑。因此，前一階段比后一階段更為重要。在展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的全過程時(shí)，應(yīng)著重前一階段，使學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)同步。然而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只重結(jié)論，不重過程，用結(jié)論去替代過程或者只重應(yīng)用，不重形成，以及教師本末倒置地把新課匆匆?guī)н^，以省出時(shí)間來復(fù)習(xí)等做法都是削弱認(rèn)識(shí)發(fā)生階段的表現(xiàn)，不利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。（2）數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視協(xié)調(diào)三種思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)教學(xué)中的思維活動(dòng)主要包括：數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)教師的思維活動(dòng)、學(xué)生的思維活動(dòng)。教師在教學(xué)過程中應(yīng)協(xié)調(diào)這三種

35、思維活動(dòng)。首先，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，重視數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)過程；其次，指導(dǎo)、調(diào)節(jié)、控制學(xué)生的思維活動(dòng)，使之與教師的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)同步，并逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化；最后，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)及總結(jié)開展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的規(guī)律、方法及技巧。2.激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲在教學(xué)過程中，要盡量通過問題的選擇、提法和安排來激發(fā)學(xué)生，喚起他們的好奇心與求知欲。善問是數(shù)學(xué)教師的基本功，也是所有數(shù)學(xué)教育家十分重視并研究的問題。問題的提法、安排要有教學(xué)藝術(shù)性。問題的提法不同，會(huì)有不同的效果，要設(shè)法使問題的提法新穎，注意學(xué)生的“口味”與喜好。3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)直覺思維訓(xùn)練直覺思維作為數(shù)學(xué)思維三種基本類型之一，經(jīng)常與解決數(shù)學(xué)疑難問題相聯(lián)系，伴隨著數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維出現(xiàn)。在數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維過程中，人們常常依靠直覺、靈感進(jìn)行選擇、判斷形成數(shù)學(xué)猜想，這在數(shù)學(xué)創(chuàng)造性活動(dòng)中起著重要作用。一般認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)直覺思維的訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)從以下幾方面入手：（1）提供豐富的背景資料，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置教學(xué)情境，促使學(xué)生作整體思考。數(shù)學(xué)直覺思