1、2020/9/13,1,第十二章(1),習題課,數(shù)項級數(shù)的斂散與冪級數(shù)的收斂域,三、課外練習題,一、數(shù)項級數(shù)的審斂法,二、求冪級數(shù)收斂域的方法,2020/9/13,2,(在收斂域內(nèi)進行),基本問題：判別斂散；,求收斂域；,求和函數(shù)；,級數(shù)展開.,為傅立葉級數(shù).,為傅氏系數(shù)) 時,時為數(shù)項級數(shù);,時為冪級數(shù);,2020/9/13,3,一、數(shù)項級數(shù)的審斂法,1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,2. 正項級數(shù)審斂法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值審斂法,根值審斂法,收 斂,發(fā) 散,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,2020/9/13,4,3. 任意項級數(shù)審斂法,為收斂級數(shù),

2、Leibniz判別法: 若,且,則交錯級數(shù),收斂 ,概念:,且余項,2020/9/13,5,例1,解,原級數(shù)發(fā)散,2020/9/13,6,例2,解,根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂.,2020/9/13,7,例3,解,因為,根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂.,2020/9/13,8,例4 若級數(shù),均收斂 , 且,證明級數(shù),收斂 .,證,則由題設(shè),收斂,收斂,收斂,2020/9/13,9,解答提示:,判別下列級數(shù)的斂散性:,提示: (1),據(jù)比較判別法, 原級數(shù)發(fā)散 .,因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,P322 題2,2020/9/13,10,利用比值判別法, 可知原級數(shù)發(fā)散.,用比值法, 可判斷級數(shù),因 n

3、充分大時,原級數(shù)發(fā)散 .,用比值判別法可知:,時收斂 ;,時, 與 p 級數(shù)比較可知,時收斂;,時發(fā)散.,再由比較法可知原級數(shù)收斂 .,時發(fā)散.,發(fā)散,收斂,2020/9/13,11,設(shè)正項級數(shù),和,也收斂 .,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.,都收斂, 證明級數(shù),當n N 時,P323 題3,2020/9/13,12,設(shè)級數(shù),收斂 , 且,是否也收斂？說明理由.,但對任意項級數(shù)卻不一定收斂 .,問級數(shù),提示: 對正項級數(shù),由比較判別法可知,級數(shù),收斂 ,收斂,級數(shù),發(fā)散 .,例如, 取,P323 題4,2020/9/13,13,討論下列級數(shù)的絕對收

4、斂性與條件收斂性:,提示: (1),P 1 時, 絕對收斂 ;,0 p 1 時, 條件收斂 ;,p0 時, 發(fā)散 .,(2) 因各項取絕對值后所得強級數(shù),原級數(shù)絕對收斂 .,故,P323 題5,2020/9/13,14,因,單調(diào)遞減, 且,但,所以原級數(shù)僅條件收斂 .,由Leibniz判別法知級數(shù)收斂 ;,2020/9/13,15,因,所以原級數(shù)絕對收斂 .,2020/9/13,16,例5,解,即原級數(shù)非絕對收斂,2020/9/13,17,由萊布尼茨定理：,2020/9/13,18,所以此交錯級數(shù)收斂，,故原級數(shù)是條件收斂,2020/9/13,19,例6,解,2020/9/13,20,由比較審斂法知，,即原級數(shù)絕對收斂,2020/9/13,21,例7,解,2020/9/13,22,2020/9/13,23,二、求冪級數(shù)收斂域的方法, 標準形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R ,再討論, 非標準形式冪級數(shù),通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性 .,求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:,練習:,P323 題7,2020/9/13,24,解,當,因此級數(shù)在端點發(fā)散 ,時,時原級數(shù)收斂 .,故收斂區(qū)間為,2020/9/13,25,解 因,故收斂區(qū)間為,級數(shù)收斂;,一般項,不趨于0,級數(shù)發(fā)散;