1、上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)下冊(cè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程教案 滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)研究的是拋物線，是解析幾何基本思想方法的又一次應(yīng)用.我們從研究已經(jīng)熟悉的拋物線的性質(zhì)入手，概括出了拋物線的定義；運(yùn)用坐標(biāo)的觀點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式.其重點(diǎn)和難點(diǎn)是拋物線定義的得出和求解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.在求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程這一過(guò)程中，可以使學(xué)生體會(huì)解析幾何將幾何問(wèn)題代數(shù)化的基本思想，培養(yǎng)用已知解釋未知以及分析、解決問(wèn)題的能力.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)1、掌握拋物線的定義，掌握拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程.2、通過(guò)對(duì)拋物線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)解析法，形成分析和概括的能力.3、通過(guò)對(duì)拋物線問(wèn)

2、題的分析和解決，形成良好的學(xué)習(xí)和思維習(xí)慣，初步形成勇于探索、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的科學(xué)態(tài)度.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)拋物線的概念、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.數(shù)形結(jié)合思想方法在概念理解與解題中的運(yùn)用.四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)二次函數(shù)的性質(zhì)課堂小結(jié)并布置作業(yè)拋物線的定義確立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程五、教學(xué)過(guò)程（一）拋物線的定義1引入課題我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種曲線，今天學(xué)習(xí)第四種曲線拋物線.同學(xué)們對(duì)拋物線已有了哪些認(rèn)識(shí)？在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，在函數(shù)中，二次函數(shù)的圖像也被稱(chēng)之為拋物線.問(wèn)題1：拋物線是滿(mǎn)足什么條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡？ 我們知道圓、橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)都是由距離刻畫(huà)的，那么拋物線上的點(diǎn)的性質(zhì)能否用距離

3、來(lái)刻畫(huà)呢？我們可以從考察最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)的圖像入手來(lái)探索這個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題11二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)具有怎樣的幾何性質(zhì)？ 2發(fā)現(xiàn)，圖像上的點(diǎn)到定點(diǎn)F()的距離等于到直線y=的距離.那么，到定點(diǎn)F()的距離與直線y=的距離相等的點(diǎn)是否都在二次函數(shù)的圖像上？因?yàn)橐陨细鞑娇赡嫠源鸢甘强隙ǖ?問(wèn)題12 是否所有的二次函數(shù)的圖像都具有類(lèi)似的幾何性質(zhì)？我們只要看 ，能否作類(lèi)似的變形即可.，可以看到，拋物線y=上所有點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線相等.問(wèn)題13 函數(shù)圖像上的點(diǎn)呢？由的圖像平移而得.其幾何特性不變.所以?huà)佄锞€上任意一點(diǎn)到已知定點(diǎn)和定直線的距離相等.由此，我們能不能說(shuō)拋物線是到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡

4、呢？目前尚不能.軌跡必須既滿(mǎn)足純粹性，又滿(mǎn)足完備性，這里知證明了拋物線上的點(diǎn)所具有的幾何性質(zhì)，還未證明其完備性.（證略）AFKL我們還可以作一個(gè)直觀的演示：把一根直尺固定在畫(huà)圖板內(nèi)直線的位置上；把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定在三角板的另一條直角邊上的一點(diǎn)A，截取繩子的長(zhǎng)等于從點(diǎn)A到直線的距離AC，并且把繩子的另一端固定在畫(huà)圖板的一點(diǎn)F；用一支粉筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動(dòng)，這樣粉筆就描出一條曲線.問(wèn)題14能否從幾何的角度來(lái)概括拋物線定義？ 定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線（定點(diǎn)F不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的

5、軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.思考：如果定點(diǎn)F在定直線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？ （二）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題2 如何求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？設(shè)定點(diǎn)F到定直線的距離為（定點(diǎn)不在定直線上），下面，我們來(lái)求拋物線的方程.問(wèn)題2.1 首先要建立直角坐標(biāo)系，如何建立直角坐標(biāo)系？ 以對(duì)稱(chēng)軸為x軸，原點(diǎn)定在何處？由學(xué)生思考：可能出現(xiàn)的結(jié)果： F FF (1) (2) (3)可供選擇的原點(diǎn)的位置：一、準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)，二、焦點(diǎn)，三、前述兩點(diǎn)的中點(diǎn).（1）和（2）中的方程都含有常數(shù)項(xiàng)，而（3）的形式更簡(jiǎn)單.我們按上述第三種方法（如圖），取經(jīng)過(guò)且垂直于準(zhǔn)線的直線為軸，軸與相交于，以線段的中垂

6、線為軸，且使位于軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，所得到的方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.問(wèn)題2.3 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸.你能寫(xiě)出這三種情況下拋物線的方程嗎？除了按定義推導(dǎo)外，有沒(méi)有簡(jiǎn)單的方法？選擇焦點(diǎn)在y正半軸，定點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，求它的方程.（1）（2）坐標(biāo)變換. 對(duì)于，若是將它的坐標(biāo)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的拋物線的方程：.同理也可以求出其它情況，完成下列表格： 標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線(0,0)x軸(,0)(0,0)x軸(-,0)(0,0)y軸(0, )(0,0)y軸(0,-)我們把上述四種位置的拋物線方程都稱(chēng)為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.由列表知，若給出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，就可以找到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，反之，若拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，已知焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程（取其一）就可以寫(xiě)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.問(wèn)題2.4 回到最初的問(wèn)題，y=x的圖像是怎樣的拋物線呢？y=x的圖像是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線。請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.鞏固練習(xí)：如果將方程改為y=-2x2呢？寫(xiě)出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.如果該曲線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，試問(wèn)，它到y(tǒng)軸的距離是多少？你能求出它的坐標(biāo)嗎？（三）小結(jié)與作業(yè)1） 小結(jié)回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生作一小結(jié)