1、21.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1了解橢圓的實(shí)際背景與現(xiàn)實(shí)意義2掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3通過對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，了解用坐標(biāo)法研究曲線的基本步驟(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1橢圓的定義閱讀教材P33第一行思考討論，完成下列問題把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)到F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于12的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(3)到F1(4,0

2、)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓()【解析】(1)因?yàn)榈絻啥c(diǎn)距離之和小于|F1F2|，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在，故(1)錯(cuò)(2)由橢圓定義知，(2)對(duì)(3)其動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段F1F2的中垂線，故(3)錯(cuò)【答案】(1)(2)(3)教材整理2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程閱讀教材P35P36例1以上部分，完成下列問題橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b2判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，雖然焦點(diǎn)位置不同，但都有a2b2c2.()(2)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于

3、常數(shù)的點(diǎn)的集合是橢圓()(3)橢圓的特殊形式是圓()(4)橢圓4x29y21的焦點(diǎn)在y軸上()【答案】(1)(2)(3)(4)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型橢圓定義的應(yīng)用(1)橢圓1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為()A5B6C4 D10(2)橢圓1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，AB是橢圓過焦點(diǎn)F1的弦，則ABF2的周長(zhǎng)是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A20 B12C10 D6【自主解答】(1)設(shè)P到另一焦點(diǎn)的距離為r，則r52a10，r5.(2)AB過F1，|AB|AF1|BF1|.由橢圓定義知

4、，|AB|AF2|BF2|4a20.【答案】(1)A(2)A在橢圓中若遇到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離及動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的和為定值的軌跡的判斷問題，常常用橢圓的定義進(jìn)行解決再練一題1(1)設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|PF2|等于()A4 B5C8 D10(2)已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，則到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是_【解析】(1)a5，|PF1|PF2|2a10.(2)由于動(dòng)點(diǎn)到F1，F(xiàn)2的距離之和恰巧等于F1F2的長(zhǎng)度，故此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.【答案】(1)D(2)線段F1F2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)兩

5、個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)；(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(2,0)和(0,1)兩點(diǎn)；(3)焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0，10)，P到離它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.【精彩點(diǎn)撥】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要先判斷焦點(diǎn)位置，確定出適合題意的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，最后由條件確定出a和b即可【自主解答】(1)由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)2a10，a5.又c4，b2a2c225169.故所求橢圓的方程為1.(2)法一當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為1(ab0)橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(2,0)，(0,1

6、)，則所求橢圓的方程為y21；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)方程為1(ab0)橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(2,0)，(0,1)，則與ab矛盾，故舍去綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.法二設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn)橢圓過(2,0)和(0,1)兩點(diǎn)，綜上可知，所求橢圓方程為y21.(3)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)P(0，10)在橢圓上，a10.又P到離它較近的一焦點(diǎn)的距離等于2，c(10)2，故c8.b2a2c236.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，即先由條件確定焦點(diǎn)位置，設(shè)出方程，再設(shè)法求出a2、b2代入所設(shè)方程，也可以簡(jiǎn)記為：先定

7、位，再定量2當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(mn，m0，n0)因?yàn)樗ń裹c(diǎn)在x軸上(mn)和焦點(diǎn)在y軸上(mn)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而達(dá)到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的再練一題2根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4,0)，(4,0)，橢圓上任意一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10；(2)求經(jīng)過兩點(diǎn)(2，)，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解】(1)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)2a10,2c8，a5，c4.b2a2c252429.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由已知條件得解得所以所

8、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由已經(jīng)條件得解得即a24，b28，則a2b2，與題設(shè)中ab0矛盾，舍去綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二設(shè)橢圓的方程為Ax2By21(A0，B0，AB)將兩點(diǎn)(2，)，代入，得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.探究共研型與橢圓有關(guān)的軌跡問題探究軌跡和軌跡方程有什么不同？【提示】軌跡和軌跡方程是兩個(gè)不同的概念求曲線的軌跡不僅要求出方程，而且要指明曲線的位置，類型求軌跡方程只求那個(gè)方程即可，不需描述曲線的特征已知點(diǎn)M在橢圓1上，MP垂直于橢圓兩焦點(diǎn)所在的直線，垂足為P，且M為線段PP的中點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡方程【精彩點(diǎn)撥】設(shè)P(x，y)

9、用x，y表示M的坐標(biāo)把M坐標(biāo)代入橢圓方程化簡(jiǎn)得所求軌跡方程【自主解答】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，M(x0，y0)，P(x0,0)點(diǎn)M在橢圓上，1.又M是線段PP的中點(diǎn)，代入上式，得1，即x2y236.故P點(diǎn)的軌跡方程為x2y236.1本題中由點(diǎn)P，M的關(guān)系，得到等式x0x，y0是關(guān)鍵利用點(diǎn)M在橢圓上，將含x0，y0的式子代入橢圓方程便得到了動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，此法稱為“代入法”，此類問題一般使用此法2求軌跡方程的主要方法(1)定義法用定義法求橢圓方程的思路是先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可(2)相關(guān)點(diǎn)法有些問題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)

10、點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的步驟：設(shè)所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，再設(shè)具有某種運(yùn)動(dòng)規(guī)律f(x，y)0上的動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)找出P，Q之間坐標(biāo)的關(guān)系，并表示為將x，y代入f(x，y)0，即得所求軌跡方程再練一題3如圖211，設(shè)P是圓x2y225上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|PD|.當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖211【解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，P的坐標(biāo)是(xP，yP)，因?yàn)辄c(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|M

11、D|PD|，所以xPx，且yPy.因?yàn)镻在圓x2y225上，所以x2225，整理得1，即C的方程是1.構(gòu)建體系1已知橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則橢圓的方程是()A.1B.1Cx21 D.1【解析】由題意知，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且c2，由a2b2c2，得a2246，因此橢圓方程為1，故選D.【答案】D2若方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A9m25 B8m25C16m25 Dm8【解析】由題意知解得8m25，故選B.【答案】B3已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，其上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為8，焦距為2，則此隨圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】由題意知2a8，a4，2c2，c，b2a2c21，故此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.【答案】x214已知橢圓1上一點(diǎn)P與橢