1、專題35 立體幾何中的探索問題【高考地位】探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學(xué)生的空間想象能力，又可以考查學(xué)生的意志力及探究的能力近幾年高考中立體幾何試題不斷出現(xiàn)了一些具有探索性、開放性的試題內(nèi)容涉及異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，平行與垂直等方面，對(duì)于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決一般此類立體幾何問題描述的是動(dòng)態(tài)的過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏性，往往需要耐心嘗試及等價(jià)轉(zhuǎn)化，因此，對(duì)于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的【方法點(diǎn)評(píng)】方法一 直接法使用情景：立體幾何中的探索問題解題模

2、板：第一步 首先假設(shè)求解的結(jié)果存在，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件；第二步 然后運(yùn)用方程的思想或向量的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題解決；第三步 得出結(jié)論，如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件，或出現(xiàn)了矛盾，則不存在.例1【2018河南漯河市高級(jí)中學(xué)第三次模擬】如圖， 為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，且，矩形所在的平面和圓所在的平面垂直，且.（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在了點(diǎn)，使得平面？并說明理由.【變式演練1】如圖，三棱柱中，底面為正三角形， 底面，且， 是的中點(diǎn).（1）求證： 平面； （2）求證：平面平面；（3）在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得三棱錐的體積是？若存在

3、，求出的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.（2）底面為正三角形,是的中點(diǎn), 平面,平面, . , 平面, 平面,平面平面.（3）假設(shè)在側(cè)棱上存在一點(diǎn),使三棱錐的體積是.【變式演練2】已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB3，AD4.現(xiàn)將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線BD折起，使ACa，得到一個(gè)四面體ABCD，如圖所示.(1)試問：在折疊的過程中，直線AB與CD能否垂直？若能，求出相應(yīng)a的值；若不能，請(qǐng)說明理由；(2)求四面體ABCD體積的最大值.【解析】 (2)由于BCD面積為定值，所以當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離最大，即當(dāng)平面ABD平面BCD時(shí)，該四面體的體積最大，此時(shí)，過點(diǎn)A在平面ABD內(nèi)作AHBD，垂足為H，則有AH平面BCD，

4、AH就是該四面體的高.在ABD中，AH，SBCD346，此時(shí)VABCDSBCDAH，即為該四面體體積的最大值.點(diǎn)睛：翻折問題的解決中要關(guān)注翻折過程中的變量與不變量，特別是過程中哪些邊和哪些角是不變的。本題中，特別是是已知不變的垂直關(guān)系，對(duì)本題的垂直證明非常重要。方法二 空間向量法使用情景：立體幾何中的探索問題解題模板：第一步 首先根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并假設(shè)求解的結(jié)果存在，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件；第二步 然后運(yùn)用空間向量將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題并進(jìn)行計(jì)算、求解；第三步 得出結(jié)論，如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件，或出現(xiàn)了矛盾

5、，則不存在.例2. 【2018河南省漯河市高級(jí)中學(xué)第三次模擬】如圖，四邊形和四邊形均是直角梯形， 二面角是直二面角， .（1）證明：在平面上，一定存在過點(diǎn)的直線與直線平行；（2）求二面角的余弦值.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,又，所以，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在的直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知得,所以,設(shè)平面的法向量為，則，不妨設(shè)，則，不妨取平面的一個(gè)法向量為，所以，由于二面角為銳角，因此二面角的余弦值為.【變式演練3】如圖，在多面體中，四邊形為正方形，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，

6、求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在點(diǎn)的坐標(biāo)為,使.因?yàn)?，且，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.又，所以平面.考點(diǎn)：空間線面的位置關(guān)系及空間向量的有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用【變式演練4】如圖,是邊長(zhǎng)為3的正方形，,與平面所成的角為.(1)求二面角的的余弦值;(2)設(shè)點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，試確定的位置，使得，并證明你的結(jié)論.解：【變式演練4】如圖，平面平面，是等腰直角三角形，四邊形是直角梯形，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值；（3）能否在上找到一點(diǎn)，使得平面？若能，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并加以證明；若不能，請(qǐng)說明理由. 【高考再現(xiàn)

7、】1. （2016四川理18）如圖所示，在四棱錐中，.為邊的中點(diǎn)，異面直線與所成的角為.（1）在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得直線平面，并說明理由；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.解析 （1）取棱的中點(diǎn)，點(diǎn)即為所求的一個(gè)點(diǎn).證明如下：因?yàn)?，所以，?所以四邊形是平行四邊形，從而.又平面，所以平面. (說明：取棱的中點(diǎn)，則所找的點(diǎn)可以是直線上任意一點(diǎn)).解法二：由已知得，所以平面，所以.從而是二面角的平面角. 所以.由，又因?yàn)?，所以直線與相交，所以平面.設(shè)，則在中，.作，以為原點(diǎn)，以， 的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角 2. （2016北京理17）如圖所示，在四棱錐中，

8、平面平面， ，.（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求 的值；若不存在，說明理由.（3）設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，并設(shè)，得，即，即.得.由平面，平面的一個(gè)法向量是，得，解得.又平面，所以平面.即在棱上存在點(diǎn)使得平面，且.3. （2016四川文17）如圖所示，在四棱錐中，.（1）在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得直線平面，并說明理由； （2）證明：平面平面 （2）由已知，因?yàn)?，所以直線與相交，所以平面從而因?yàn)?，所以，?所以四邊形是平行四邊形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面（2016北京文18）如圖所示，在四棱錐中，平面，.（1）求證：平面

9、； （2）求證：平面平面；（3）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?說明理由. 【反饋練習(xí)】1. 【2018陜西西安西北工業(yè)大學(xué)附中模擬】如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱中，側(cè)面底面， .(1) 求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大??；(2) 求異面直線間的距離；(3) 已知點(diǎn)滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由. 則設(shè)平面的法向量為，則，即，所以，取由，側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為； (3) ，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，設(shè)，則因平面， 為平面的法向量又面，故存在點(diǎn)，使平面，且為點(diǎn). 2. 【2018吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考】如圖所示，四棱錐中，平面平

10、面， ， ， （1）證明：在線段上存在一點(diǎn)，使得平面；（2）若，在（1）的條件下，求三棱錐的體積 點(diǎn)睛：求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法分割法、補(bǔ)形法、等體積法. 割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決等積法：等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值3. 【2

11、018云南師范大學(xué)附中】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，底面，.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)分別為上的點(diǎn)，且，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面；若存在，求出三棱錐的體積；若不存在，請(qǐng)說明理由.平面平面，平面平面（）線段上存在一點(diǎn)，使得平面證明：在線段上取一點(diǎn)，使，連接 ，且，又，且，且，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面 4【2018云南大理云南師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形， 底面， ， ， ， .（1）求證：平面平面；（2）是側(cè)棱上一點(diǎn)，記（），是否存在實(shí)數(shù)，使平面與平面所成的二面角為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.平面平面，平面平面設(shè)平面的法向量為，

12、則即取，則設(shè)平面的法向量為，則即取，則若平面與平面所成的二面角為，則，即，化簡(jiǎn)得，即，解得（舍去）或于是，存在，使平面與平面所成的二面角為5如圖，在三棱錐中， 平面， ， ， ， 分別為的中點(diǎn)(19)(I)求到平面的距離；(II)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，試確定的位置，并證明此點(diǎn)滿足要求；若不存在，請(qǐng)說明理由 6. 如圖，四邊形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EFAB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC. （）若BE1，是否在折疊后的線段AD上存在一點(diǎn)P，且，使CP平面ABEF？若存在，求出的值，若不存在，

13、說明理由；（）求三棱錐ACDF的體積的最大值，并求出此時(shí)二面角EACF的余弦值【解析】平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，F(xiàn)DEF，F(xiàn)D平面ABEF，又AF平面ABEF，F(xiàn)DAF，在折起過程中，AFEF，又FDEFF，AF平面EFDC. 以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E，F(xiàn)D，F(xiàn)A分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系解法二：AD上存在一點(diǎn)P，使CP平面ABEF，此時(shí).理由如下：當(dāng)時(shí)，可知，過點(diǎn)P作MPFD交AF于點(diǎn)M，連接EM，PC，則有，又BE1，可得FD5，故MP3，又EC3，MPFDEC，故有MPEC，故四邊形MPCE為平行四邊形，CPME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故有

14、CP平面ABEF. 7. 【2018廣東東莞外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬】如圖,矩形中, , 分別為邊上的點(diǎn),且,將沿折起至位置(如圖所示),連結(jié),其中.() 求證: ； () 在線段上是否存在點(diǎn)使得?若存在,求出點(diǎn)的位置；若不存在,請(qǐng)說明理由.() 求點(diǎn)到的距離.割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決等積法：等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值8. 【2018北京西城回民中學(xué)模擬

15、】在四棱錐中，底面是直角梯形， ， ， ，平面平面（）求證： 平面（）求平面和平面所成二面角（小于）的大?。ǎ┰诶馍鲜欠翊嬖邳c(diǎn)使得平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 不妨設(shè)，由， ， ， 設(shè)平面的法向量為，令，則， 取平面的一個(gè)法向量，面和面的二面角（銳角）的大小為 9. 如圖所示，在四棱錐中， 平面是的中點(diǎn)， 是上的點(diǎn)且為邊上的高.（1）證明： 平面；（2）若，求三棱錐的體積；（3）在線段上是否存在這樣一點(diǎn)，使得平面?若存在，說出點(diǎn)的位置.【解析】（1），又平面，平面，又，平面 （2）是的中點(diǎn)，到平面的距離等于點(diǎn)到平面距離的一半，即=，又因?yàn)?，所以三棱錐； 10. 【2018河北衡水武邑中學(xué)模擬】在五面體中， , , ，平面