1、第5課時兩條直線的交點坐標1.了解二元一次方程組的解與兩條直線的交點坐標之間的關系,體會數(shù)形結合思想,并能通過解方程組求交點坐標.2.通過一般形式的直線方程解的討論,加深對解析法的理解,培養(yǎng)轉化能力.已知四條直線相交于A、B、C、D四點構成四邊形,對于四邊形ABCD是否為平行四邊形,我們除了用斜率來判定兩對邊平行的辦法外,還可以通過一條對邊平行且相等來判別,那么如何求此四邊形各邊的邊長呢?問題1:要求四邊形的邊長,先得求交點.兩條直線的交點坐標的求法:將兩直線方程聯(lián)立組成方程組,此方程組的解 就是這兩條直線的交點坐標,因此,求兩條直線的交點只需解方程組即可.問題2:已知l1:A1x+B1y+C

2、1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,將方程聯(lián)立,得對于這個方程組解的情況可分三種情況討論:(1)若方程組有唯一 解,則l1、l2相交,有唯一的公共點;(2)若方程組無 解,則l1、l2沒有公共點,即平行;(3)若方程組有無窮 多個解,則l1、l2有無數(shù)多個公共點,即重合.問題3:怎么表示經過兩條直線交點的所有直線?過兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程是A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但此方程中不含l2;若變?yōu)橐话阈问絤(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n20),則表示過l1與l2交點

3、的所有直線方程.問題4:用坐標法解決幾何問題的基本步驟是什么?建立平面直角坐標系,用坐標表示有關的量幾何問題代數(shù)化;對點的坐標進行有關的代數(shù)運算;對代數(shù)運算結果進行幾何解釋研究幾何圖形性質.1.點M(1,2)與直線l:2x-4y+3=0的位置關系是().A.MlB.MlC.重合D.不確定2.在下列直線中,與直線x+3y-4=0相交的直線為().A.x+3y=0B.y=-x-12C.+=1D.y=-x+43.已知直線l1:3x+4y-5=0與l2:3x+5y-6=0相交,則它們的交點是.4.求直線l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y軸所圍成的三角形的面積. 兩條直線的交點及兩條

4、直線的位置關系求經過兩條直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點,且和直線2x-y+6=0平行的直線l的方程.對稱問題求點P(-4,2)關于直線l:2x-y+1=0的對稱點P的坐標.與交點有關的問題求經過兩直線7x+8y-38=0和3x-2y=0的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.求經過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.一束平行光線從原點O(0,0)出發(fā),經過直線l:8x+6y=25反射后通過點P(-4,3),求反射光線所在直線的方程.當k為何值時,直線y=x+3k-2與直線y=-x+1的交點在第一象限.1.若兩直線x+my+12=0和

5、2x+3y+m=0的交點在y軸上,則m的值為().A.6B.-24C.6D.以上都不對2.若直線l與兩直線y=1和x-y-7=0分別交于M、N兩點,且MN的中點是P(1,-1),則直線l的斜率等于().A.-B.C.-D.3.過原點且經過兩條直線l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0的交點的直線方程為.4.分別判斷下列直線是否相交,若相交,求出它們的交點.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.平面直角坐標系中直線y=2x+1關于點(1,1)對稱的直線方程是()

6、.A.y=2x-1B.y=-2x+1C.y=-2x+3D.y=2x-3考題變式(我來改編):第5課時兩條直線的交點坐標知識體系梳理問題1:解問題2:(1)唯一(2)無 (3)無窮問題3:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R)l2交點問題4:平面直角坐標系幾何問題代數(shù)化代數(shù)運算幾何解釋基礎學習交流1.B將點M的坐標代入直線方程,即12-42+30,所以點M不在直線l上.故選B.2.C+=1可化為3x+2y-6=0.故選C.3.(,1)由得x=,y=1.故直線l1與l2的交點是(,1).4.解:三角形的三個頂點坐標分別為A(-2,6)、B(0,12)、C(0,3),SABC=92

7、=9.重點難點探究探究一:【解析】(法一)直線2x-y+6=0的斜率為2,且直線l與直線2x-y+6=0平行,直線l的斜率為kl=2.由得直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點坐標為M(0,2).直線l的方程為y-2=2(x-0),即 2x-y+2=0.(法二)設與直線2x-y+6=0平行的直線l的方程為2x-y+C=0(C6).解方程組得直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點坐標為M(0,2).直線l經過兩條直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點M(0,2),20-2+C=0,即C=2.直線l的方程為2x-y+2=0.【小結】法一是求直線方程的通法,需掌握.法二中利用了平行直線系

8、的設法:與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程可設為Ax+By+=0(C).探究二:【解析】(法一)設點P(x,y),由PPl及PP的中點在l上,得即解得P(,-).(法二)設點P(x,y),PP的方程為y-2=-(x+4),即x+2y=0,解方程組得PP與l的交點M(-,),由中點坐標公式得得故P(,-).【小結】(1)上述兩種方法的基本思想一樣,都是用直線l是線段PP的垂直平分線這一思想,但具體用的視角不同,因而解法不同,比較兩種解法,第一種較簡便. (2)點關于點的對稱問題是最基本的對稱問題,用中點坐標公式求解,它是解答其他對稱問題的基礎.點M(a,b)關于點(x0,y0)的對稱點為M

9、(2x0-a,2y0-b);點M(a,b)關于原點O的對稱點是M(-a,-b).探究三:【解析】(法一)由得交點為(2,3).因為所求直線在兩坐標軸上截距相等,所以可設+=1.又此直線經過交點(2,3),所以+=1,即a=5,故所求直線方程為x+y-5=0.(法二)設所求直線方程為7x+8y-38+(3x-2y)=0(為常數(shù)),則(7+3)x+(8-2)y-38=0,令x=0,得y=;令y=0,x=.依題意,解得=.所以直線方程為x+y-5=0.問題截距能不能為0?直線系方程為7x+8y-38+(3x-2y)=0(為常數(shù))包括3x-2y=0嗎?結論(法一)中直線的截距式方程+=1,只適用于截距

10、不為0的情形.因而上述解法忽略了截距為0的情形,解法不完整.(法二)中7x+8y-38+(3x-2y)=0表示過直線7x+8y-38=0與直線3x-2y=0的交點(除3x-2y=0以外)的所有直線,因此,要檢驗直線3x-2y=0是否適合.于是,正確解答如下:(法一)當直線過原點時,設方程為y=kx.因為直線過點(2,3),所以3=2k,k=.此時方程為3x-2y=0.當直線在兩坐標軸上的截距相等且不為0時,解法同錯解法一,故所求方程為x+y-5=0.綜上,所求方程為3x-2y=0或x+y-5=0.(法二)(1)顯然直線3x-2y=0符合題意.(2)設所求直線方程為7x+8y-38+(3x-2y

11、)=0,解法同錯解法二,求得方程為x+y-5=0,故所求方程為3x-2y=0或x+y-5=0.【小結】考查熟練求解直線方程的方法,注意應用直線系簡潔快速地解決問題.思維拓展應用應用一:(法一)由方程組得直線l與直線3x+y-1=0平行,直線l的斜率k=-3,由點斜式有y-(-)=-3x-(-),即所求直線方程為15x+5y+16=0.(法二)直線l過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點,設直線l的方程為2x-3y-3+(x+y+2)=0,即(+2)x+(-3)y+2-3=0.直線l與直線3x+y-1=0平行,=.解得=.從而所求直線方程為15x+5y+16=0.應用二:如圖所示,設原

12、點關于直線l的對稱點A的坐標為(a,b),由直線OA與l垂直和線段AO的中點在l上得解得點A的坐標為(4,3).反射光線的反向延長線過A(4,3),又由反射光線過P(-4,3),兩點縱坐標相等,故反射光線所在直線的方程為y=3.應用三:(法一)解方程組得所以直線y=x+3k-2與直線y=-x+1的交點坐標為(,).要使交點在第一象限,則解得-k1.(法二)如圖所示.直線y=-x+1與x軸、y軸的交點分別是A(4,0),B(0,1),直線y=x+3k-2表示斜率為1的直線,當且僅當兩條直線的交點在線段AB上(不包括A、B兩點)時,交點才在第一象限,可見直線y=x+3k-2應位于l1、l2之間.由

13、于l1過點A(4,0),且斜率為1,則其方程為y=x-4,在y軸上的截距為-4.l2過點B(0,1),即l2在y軸上的截距為1.直線y=x+3k-2在y軸上的截距為3k-2,所以當-43k-21時兩直線的交點在第一象限,解得-k1,即k的取值范圍是k|-k1.基礎智能檢測1.C兩直線與y軸的交點分別為(0,-),(0,-),由-=-,解得m=6,故選C.2.A設l與y=1交于點M(m,1),與x-y-7=0交于點N(n+7,n).由中點坐標公式得即M(-2,1),kPM=kl=-.故選A.3.x-y=0解方程組得所以l1與l2的交點是(2,2).由兩點式方程有=,所以所求直線方程為x-y=0.4.解:(1)方程組的