1、定積分中會(huì)求平行截面面積為已知的,一般立體的體積如何求,先從曲頂柱體的體積開始.,而曲頂柱體的體積的計(jì)算問題,一般立體的體積可分成一些比較簡(jiǎn)單的,?,回想,立體的體積、,旋轉(zhuǎn)體的體積.,曲頂柱體的體積.,二重積分的一個(gè)模型.,可作為,第九章 重積分,第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì),曲頂柱體體積 =,特點(diǎn),1. 曲頂柱體的體積,困難,曲頂柱體,以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以,頂是曲面,且在D上連續(xù)).,?,曲頂,頂是曲的,柱體體積 =,特點(diǎn),分析,?,曲邊梯形面積是如何求,以直代曲、,如何創(chuàng)造條件使,?,解決問題的思路、步驟與,回憶,思想是,分割、,平

2、頂,平,曲,這對(duì)矛盾互相轉(zhuǎn)化,與,以不變代變.,曲邊梯形面積,的求法類似,取近似、,求和、,取極限.,底面積高,步驟如下,用若干個(gè)小平 頂柱體體積之 和,先任意分割曲頂柱體的底，,曲頂柱體的體積,并任取小區(qū)域，,近似表示,曲頂柱體的體積，,(1) 分割,相應(yīng)地此曲頂,柱體分為n個(gè)小曲頂柱體.,(2) 取近似,第i個(gè)小曲頂柱體的體積的近似式,(用 表示第i個(gè)子域的面積) .,將域D 任意分為n個(gè)子域,在每個(gè)子域內(nèi)任取一點(diǎn),(3) 求和,即得曲頂柱體體積的近似值:,(4) 取極限,)趨于零,求n個(gè)小平頂柱體體積之和,令n個(gè)子域的直徑中的最大值(記作,上述和式的極限即為曲頂柱體體積,2. 非均勻平面

3、薄片的質(zhì)量,(1) 將薄片分割成n個(gè)小塊，,看作均勻薄片.,(2),(3),(4),設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.,占有xOy面上的閉區(qū)域D,在點(diǎn)(x, y)處的面密度為,上連續(xù),二重積分的定義,將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域,任取一點(diǎn),若存在一個(gè)常數(shù) I , 使,可積 ,在D上的二重積分.,積分和,是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,引例1中曲頂柱體體積:,引例2中平面薄板的質(zhì)量:,如果 在D上可積,也常,二重積分記作,這時(shí),分區(qū)域D ,因此面積元素,可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃,記作,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二重積分可寫為,定積分中,1

4、. 重積分與定積分的區(qū)別:,重積分中,可正可負(fù).,則面積元素為,D,二重積分的存在定理,設(shè) f (x, y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù),存在.,連續(xù)函數(shù)一定可積,注,今后的討論中,積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.,或是分片連續(xù)函數(shù)時(shí), 則,都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的,(2),二重積分的幾何意義,(3),(1),在D上的二重積分就等于,二重積分是,二重積分是,而在其它的部分區(qū)域上是負(fù)的.,這些部分區(qū)域上的,柱體體積的代數(shù)和.,那末,柱體體積的負(fù)值;,柱體體積;,在D上的若干部分區(qū)域上是正的,例 設(shè)D為圓域,?,二重積分,=,解,上述積分等于,由二重積分的幾何意義可知，,是上半球面,上半球體的體積：,R,D,性

5、質(zhì)1,為常數(shù),則,(二重積分與定積分有類似的性質(zhì)),二重積分的性質(zhì),根據(jù)二重積分的幾何意義,確定積分值,練習(xí),以1為高的,性質(zhì)2,將區(qū)域D分為兩個(gè)子域,性質(zhì)3,若 為D的面積,D1,D2,既可看成是以D為底,柱體體積.,對(duì)積分區(qū)域的可加性質(zhì).,D,又可看成是D的面積.,特殊地,性質(zhì)4 (比較性質(zhì)),設(shè),則,例,的值= ( ).,(A) 為正,(B) 為負(fù),(C) 等于0,(D) 不能確定,為負(fù),B,幾何意義,以m為高和以M為高的兩個(gè),證,再用性質(zhì)1和性質(zhì)3,性質(zhì)5 (估值性質(zhì)),則,為D的面積,則曲頂柱體,的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.,證畢.,性質(zhì)6 (二重積分中值定理),體積等于,

6、顯然,幾何意義,證,D上連續(xù),為D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn),使得,則曲頂柱體,以D為底,為高的平頂柱體體積.,將性質(zhì)5中不等式各除以,有,的最大值M與最小值m之間的.,由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.,兩端各乘以,點(diǎn)的值,證畢.,即是說,確定的數(shù)值,是介于函數(shù),在D上至少存在一點(diǎn),使得函數(shù)在該,與這個(gè)確定的數(shù)值相等,即,以任意方式將區(qū)域 D分割成,二重積分的幾何背景,曲頂柱體的母線平行于Oz 軸，,下底是xOy平面上的區(qū)域 D,上頂是曲面 S : z = f(x,y) .,其中 f(x,y)0 .,求這個(gè)曲頂柱體的體積。,解,表示它們的面積。,任取一個(gè)小區(qū)域Di ，,將以 Di 為底，曲面S

7、為頂?shù)那斨w,于是整個(gè)曲頂柱體就被分成若干小的曲頂柱體。,并且在Di內(nèi)任取一點(diǎn) Pi ，,若干小區(qū)域,地看作是以Di 為底，高度等于 f(Pi) 柱體。,因此這個(gè)小柱體的體積近似地等于,各個(gè)小柱體的體積之和,表示Di的直徑,(i=1,2,n),如果這個(gè)和式存在極限:,那么這個(gè)極限值就是曲頂柱體的體積。,這個(gè)方法的意義不僅在于求曲頂柱體的體積。,而是給出了求連續(xù)變量之和的一種普遍的方法。,就是整個(gè)柱體體積的近似值：,二重積分背景之二：質(zhì)量非均勻分布的薄板的質(zhì)量。,設(shè)xOy平面上有一塊薄板,用 D表示薄板所占據(jù)的平面區(qū)域 .,假設(shè)薄板上任一點(diǎn)(x,y)處,方法：,以任意方式將區(qū)域 D分割成若干小區(qū)域,它們的面積表示為,任取一個(gè)小區(qū)域Di ，,并且在Di內(nèi)任取一點(diǎn) Pi ，,Di的平均質(zhì)量密度近似的等于 m(Pi) .,于是可以將