1、2.3導數(shù)在函數(shù)中的應用,一、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、 極值、最值,-3-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性 【思考】 函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性具有怎樣的關系? 例1(2016四川高考)設函數(shù)f(x)=ax2-a-ln x,g(x)= ,其中aR,e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)證明:當x1時,g(x)0; (3)確定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立.,-4-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,-5-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,題后反思利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟: (1)確定函

2、數(shù)的定義域. (2)求導數(shù)f(x). (3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性),只需在函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)0或f(x)0;若已知y=f(x)的單調(diào)性,則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解.,-6-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,對點訓練1函數(shù)y= x2-ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為 () A.(-1,1B.(0,1 C.1,+)D.(0,+),答案,解析,-7-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,利用導數(shù)求函數(shù)的極值或最值 【思考】 函數(shù)的極值與導數(shù)有怎樣的關系?如何求函數(shù)的最值? 例2已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax-a). (1)當

3、a=1時,求f(x)的極值; (2)當a-4時,求函數(shù)f(x)在0,3上的最小值.,解：(1)當a=1時,f(x)=ex(x2+x-1), 由f(x)=ex(x2+x-1)+ex(2x+1)=ex(x2+3x)=0,得x=0或x=-3. f(x)在(-,-3)內(nèi)為增函數(shù),在(-3,0)內(nèi)為減函數(shù),在(0,+)內(nèi)為增函數(shù). f(x)的極小值為f(0)=-1,f(x)的極大值為f(-3)=5e-3.,-8-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,(2)由f(x)=ex(x2+ax-a)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x=0, 得x=0或x=-a-2(由a-4,知-a-22). 易得f(x)在

4、(-,0)內(nèi)為增函數(shù),在(0,-a-2)內(nèi)為減函數(shù),在(-a-2,+)內(nèi)為增函數(shù); 當-5a-4時,2-a-23,此時f(x)在(0,-a-2)內(nèi)為減函數(shù),在(-a-2,3)內(nèi)為增函數(shù), f(x)min=f(-a-2)=e-a-2(a+4). 當a-5時,-a-23,此時f(x)在0,3上為減函數(shù),f(x)min=f(3)=e3(2a+9).,-9-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,題后反思1.對于函數(shù)y=f(x),若在點x=a處有f(a)=0,且在點x=a附近的左側(cè)f(x)0,則當x=a時f(x)有極小值f(a);若在點x=b處有f(b)=0,且在點x=b附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x

5、)0,則當x=b時f(x)有極大值f(b). 2.求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟: (1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.,-10-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,對點訓練2已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)當f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍.,-11-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,-12-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,利用導數(shù)求與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍 【思

6、考】 如何利用導數(shù)求與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍? 例3設函數(shù)f(x)= -kln x,k0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; (2)證明:若f(x)存在零點,則f(x)在區(qū)間(1, 上僅有一個零點.,-13-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,-14-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,題后反思與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題,往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點,從而判斷函數(shù)的大致圖象,討論其圖象與x軸的交點個數(shù)問題(或者轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)的交點問題),進而確定參數(shù)的取值范圍.,-15-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,對點訓練3設函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,bR

7、). (1)當b= +1時,求函數(shù)f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表達式; (2)已知函數(shù)f(x)在-1,1上存在零點,0b-2a1,求b的取值范圍.,-16-,命題熱點一,命題熱點二,命題熱點三,-17-,規(guī)律總結(jié),拓展演練,1.求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,可轉(zhuǎn)化為求不等式f(x)0的解集;若f(x)在M上單調(diào)遞增,則f(x)0在M上恒成立. 2.f(x)在區(qū)間A上單調(diào)遞減與f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為A不同,當f(x)在區(qū)間A上單調(diào)遞減時,A可能是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的一個真子集.若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為m,n,則在x=m(x=n)兩側(cè)導數(shù)值異號,f(m)=0(f(n)=0). 3

8、.求可導函數(shù)極值的步驟: (1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求f(x);(3)求f(x)=0在定義域內(nèi)的根;(4)判定根兩側(cè)導數(shù)的符號;(5)下結(jié)論. 要注意函數(shù)的極值點對應的導數(shù)為0,但導數(shù)為0的點不一定是函數(shù)的極值點,必須導數(shù)為0的點的左右附近對應的導數(shù)異號.,-18-,規(guī)律總結(jié),拓展演練,4.求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值,首先求出各極值及區(qū)間端點處的函數(shù)值;然后比較其大小,得結(jié)論(最大的就是最大值,最小的就是最小值). 5.對于研究方程根的個數(shù)的相關問題,利用導數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想就可以很好地解決.這類問題求解的通法是:(1)構(gòu)造函數(shù),并求其定義域;(2)求導數(shù),得單調(diào)區(qū)間和極值點;(3)畫出函數(shù)草圖;(4)數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件,確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解.,-19-,規(guī)律總結(jié),拓展演練,1.若f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+)內(nèi)是減函數(shù),則b的取值范圍是() A.-1,+)B.(-1,+) C.(-,-1D.(-,-1),答案,解析,-20-,規(guī)律總結(jié),拓展演練,2.已知x0是函數(shù)f(x)=2sin x-ln x(x(0,)的零點,且x10,其中正確的為() A.B. C.D.,答案,解析,-21-,規(guī)律總結(jié),拓展演練,3.設曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y= (x0)在點P處的切線垂直,則P的坐標