1、第9章 MATLAB符號計算9.1符號對象9.2 符號微積分9.3 級 數(shù)9.4 符號方程求解9.1 符號對象9.1.1 建立符號對象1. 建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和syms，兩個函數(shù)的用法不同。(1) sym函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格式為： 符號量名=sym(符號字符串)該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串可以是常 量、變量、函數(shù)或表達(dá)式。應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用符號常量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時和數(shù)值常量進(jìn)行的運(yùn)算不同。下 面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運(yùn) 算時的差別。(2) syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個

2、符號變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個函數(shù)syms，一次可以定義多個符號變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：syms符號變量名1 符號變量名2 符號變量名n用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符 串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔。2. 建立符號表達(dá)式含有符號對象的表達(dá)式稱為符號表達(dá)式。建立符號表達(dá)式有 以下3種方法：(1)利用單引號來生成符號表達(dá)式。(2)用sym函數(shù)建立符號表達(dá)式。(3) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)式。9.1.2 符號表達(dá)式運(yùn)算1. 符號表達(dá)式的四則運(yùn)算符號表達(dá)式的加、減、乘、除運(yùn)算可分別由函數(shù)symadd、symsub、symmul和symd

3、iv來實(shí)現(xiàn)，冪運(yùn)算可以由sympow 來實(shí)現(xiàn)。2. 符號表達(dá)式的提取分子和分母運(yùn)算如果符號表達(dá)式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可 利用numden函數(shù)來提取符號表達(dá)式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為：n,d=numden(s)該函數(shù)提取符號表達(dá)式s的分子和分母，分別將它們存放在n 與d中。3. 符號表達(dá)式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達(dá)式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：factor(s)：對符號表達(dá)式s分解因式。 expand(s)：對符號表達(dá)式s進(jìn)行展開。 collect(s)：對符號表達(dá)式s合并同類項。collect(s,v)：對符號表達(dá)式s按變量v合并同類項。4

4、. 符號表達(dá)式的化簡MATLAB提供的對符號表達(dá)式化簡的函數(shù)有： simplify(s)：應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對s進(jìn)行化簡。simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡， 并顯示化簡過程。5. 符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號表達(dá)式。函數(shù)numeric或eval可以將符號表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式。9.1.3 符號表達(dá)式中變量的確定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym 可以幫助用戶查找一個符號表達(dá)式中的的符號變量。該函 數(shù)的調(diào)用格式為：findsym(s,n)函數(shù)返回符號表達(dá)式s中的n個符號變量，若沒有指定n，則

5、返回s中的全部符號變量。9.1.4 符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達(dá)式，所以前面介紹的符 號表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下進(jìn)行。但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進(jìn)行有關(guān)矩陣的運(yùn)算。MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。例如transpose(s)：返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。determ(s)：返回s矩陣的行列式值。其實(shí)，曾介紹過的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應(yīng)用于符號矩陣。9.2 符號微積分9.2.1 符號極限limit

6、函數(shù)的調(diào)用格式為：(1) limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計算當(dāng) 變量x趨近于常數(shù)a時，f(x)函數(shù)的極限值。(2) limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時，符 號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)自變量，即變量x趨近于a。(3) limit(f)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)變量；沒有指定變量的目標(biāo) 值時，系統(tǒng)默認(rèn)變量趨近于0，即a=0的情況。(4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)f的極限值。right表示變

7、量x從右邊趨近于a。(5) limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)f的極限值。left表示變量 x從左邊趨近于a。例9-1求下列極限。極限1：syms a m x;f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit(f,x,a)ans =(1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a極限2：syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans =exp(6*t)極限3：syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,left) ans =1/2

8、極限4：syms x;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,right)ans =-1/29.2.2 符號導(dǎo)數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式 為：diff(s)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指 示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,v)：以v為自變量，對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。diff(s,v,n)：以v為自變量，對符號表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)。例9-2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。9.2.

9、3 符號積分符號積分由函數(shù)int來實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積分。int(s,v)：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積分。int(s,v,a,b)：求定積分運(yùn)算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分。a和b可以是兩個具體的數(shù)，也可以是一個符號表達(dá)式，還可以是無窮(inf)。當(dāng)函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間a,b上可積時，函數(shù)返回一個定積分結(jié)果。當(dāng)a,b中有一個是inf時，函數(shù)返回一個廣義積分。當(dāng)a,b中有一個符號表達(dá)式時，函數(shù)返回一個符號

10、函數(shù)。例9-3求下列積分。9.2.4 積分變換常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z 變換。1. 傅立葉(Fourier)變換在MATLAB中，進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)是： fourier(f,x,t)：求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。例9-4求函數(shù)y=的傅立葉變換及其逆變換。2. 拉普拉斯(Laplace)變換在MATLAB中，進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)是： laplace(fx,x,t)：求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。 例9-5計

11、算y=x3的拉普拉斯變換及其逆變換。3. Z變換當(dāng)函數(shù)f(x)呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f(n)時，對數(shù)列f(n)進(jìn)行z變換的MATLAB函數(shù)是：ztrans(fn,n,z)：求fn的Z變換像函數(shù)F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z變換原函數(shù)f(n)。例9-6 求數(shù)列 fn=e-2n的Z變換及其逆變換。9.3 級 數(shù)9.3.1 級數(shù)符號求和求無窮級數(shù)的和需要符號表達(dá)式求和函數(shù)symsum，其調(diào)用 格式為：symsum(s,v,n,m)其中s表示一個級數(shù)的通項，是一個符號表達(dá)式。v是求和變量，v省略時使用系統(tǒng)的默認(rèn)變量。n和m是求和的開始項 和末項。例9-7 求下列級數(shù)之和。9.3.2

12、 函數(shù)的泰勒級數(shù)MATLAB提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)， 其調(diào)用格式為：taylor(f,v,n,a)該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級數(shù)，展開到第n 項(即變量v的n-1次冪)為止，n的缺省值為6。v的缺省值與diff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v=a處展開，a的缺省值是0。例9-8求函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)展開式。9.4 符號方程求解9.4.1 符號代數(shù)方程求解在MATLAB中，求解用符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函 數(shù)solve實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為：solve(s)：求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程，求解變量為默認(rèn)變量。solve(s,v)：求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程，求解變量為v。solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符號表達(dá)式s1,s2,sn組成的代數(shù)方程組，求解變量分別v1,v2,vn。例9-9解下列方程。9.4.2 符號常微分方程求解在MATLAB中，用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù)。例如，Dy表示y， D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。符號常微分方程求解可以通過函數(shù)dsolve來實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為：dsolve(e