1、保定 韓愛民 qq 1兩線平行的證明方法內(nèi) 容圖 形數(shù) 學(xué) 語 言定義在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線叫平行直線初中知識(shí)在確定為平面圖形的前提下，利用相似三角形或平行四邊形或中位線推證平行（中位線是常用知識(shí)點(diǎn)）公理4平行于同一直線的兩條直線互相平行=acabbc線面平行的性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。aabl兩面平行的性質(zhì)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 線面垂直的性質(zhì)垂直于同一平面的兩條直線平行2線面平行的證明方法內(nèi) 容圖 形數(shù) 學(xué) 語 言定義若一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則它們平行線面平行的判定若平面

2、外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則它與這個(gè)平面平行兩面平行的性質(zhì)若兩平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線平行于另一個(gè)平面3兩面平行的證明方法內(nèi) 容圖 形數(shù) 學(xué) 語 言定義若兩個(gè)平面無公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面互相平行兩面平行的判定若一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行兩面平行的判定平行于同一平面的兩個(gè)平面平行線面垂直的性質(zhì)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行4兩線垂直的證明方法內(nèi) 容圖 形數(shù) 學(xué) 語 言定義若兩條直線所成角為90，則這兩條直線互相垂直線面垂直的定義如果一條直線a與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的

3、斜線在平面內(nèi)的射影，則這條直線垂直于斜線三垂線定理的逆定理如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的斜線，則這條直線垂直于斜線在平面內(nèi)的射影兩線平行的性質(zhì)兩直線平行，其中一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于這條直線=acabbc6兩面垂直的證明方法內(nèi) 容圖 形數(shù) 學(xué) 語 言定義若二面角的平面角為90度，則這兩個(gè)平面垂直ab兩面垂直的判定如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。 aba5線面垂直的證明方法內(nèi) 容圖 形數(shù) 學(xué) 語 言定義一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直線面垂直的判定若一條直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線，則這條直線垂直這個(gè)平面。兩面垂直的性質(zhì)兩平面垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)的一

4、條直線垂直于它們的交線，則這條直線垂直于另一個(gè)平面abla兩面平行的性質(zhì)兩平面平行，有一條直線垂直于垂直于其中一個(gè)平面，則這條直線垂直于另一個(gè)平面兩線平行的性質(zhì)兩直線平行，其中一條直線垂直于這個(gè)平面，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面7、空間平行、垂直之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系：平面與平面平行直線與直線平行直線與平面平行應(yīng)用判定定理時(shí)，注意由“低維”到“高維”： “線線平行”“線面平行”“面面平行”；應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，注意由“高維”到“低維”： “面面平行”“線面平行”“線線平行”平面與平面垂直直線與直線垂直直線與平面垂直(1)利用判定定理時(shí)，由“低維”到“高維”；利用性質(zhì)定理或定義時(shí)，由“高維”到“低維”；(

5、2)線面垂直是核心，聯(lián)系線線垂直，面面垂直，線線垂直是基礎(chǔ)習(xí)題講解例1已知直線a和平面，那么a的一個(gè)充分條件是()A存在一條直線b，ab，b B存在一條直線b，ab，bC存在一個(gè)平面，a， D存在一個(gè)平面，a，答案：C解析：選項(xiàng)A中，若ab，b可能有a，如圖，所以A不正確；選項(xiàng)B中，若ab，b可能有a，如圖，所以B不正確；選項(xiàng)D中，可能有a，如圖，所以D不正確故選C.例2設(shè)b，c表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，則下列命題是真命題的是 ()A若b，c，則bc B若b，bc，則cC若c，則c D若c，c，則答案：D解析：選項(xiàng)A中，如圖，b，c，直線b與c異面，所以A不正確；選項(xiàng)B中，如圖，直線c可能在

6、平面內(nèi)，所以B不正確；選項(xiàng)C中，如圖，直線c可能在平面內(nèi)，所以C不正確故選D.例3已知直線l平面，直線m平面，下面有三個(gè)命題lm；lm；lm.則真命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3答案：C解析：正確；不正確，如圖，直線l與m可能異面；正確，是面與面垂直的判定定理故選C.例4一條直線l上有相異三個(gè)點(diǎn)A、B、C到平面的距離相等，那么直線l與平面的位置關(guān)系是()AlBl Cl與相交但不垂直 Dl或l答案：D解析：l時(shí)，直線l上任意點(diǎn)到的距離都相等；l時(shí)，直線l上的所有點(diǎn)與距離都是0；l時(shí)，直線l上只能有兩點(diǎn)到距離相等；l與斜交時(shí)，也只能有兩點(diǎn)到距離相等例5已知a，b是異面直線，a平面M，b平面N，則平

7、面M，N的位置關(guān)系是()A相交 B平行 C垂直 D不能確定答案：A解析：如果MN，則必有ab，故平面M，N必相交，故應(yīng)選A.例6下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得到AB平面MNP的圖形的序號(hào)是()A.、 B、C、 D、答案：C解析：如圖中，連結(jié)AC，則平面ACB平面MNP，又AB面ACB，AB面MNP；如圖中，平面ACD平面MNP，又AB與面ACD相交，所以AB與面MNP也相交；如圖中，因?yàn)锳B與平面NPCB相交，所以AB與平面MNP相交；如圖中，ABCD，CDNP，那么ABNP，AB平面MNP.綜上所述，正確答案為、.故選C.例7過三棱柱AB

8、CA1B1C1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有_條答案：6解析：如圖，過任意兩條棱中點(diǎn)的直線與平面ABB1A1平行的直線有：DE、DD1、DE1、D1E1、D1E、EE1共6條例8如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對(duì)角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E、F，且B1EC1F，求證：EF平面ABCD.解析：欲證線面平行，需要線線平行（或兩面平行），這樣就要構(gòu)建與EF平行的直線（或與ABCD平行的平面），以下分別就兩種不同的方向進(jìn)行證明。證明：解法一：分別過E、F作EMAB于M，F(xiàn)NBC于N，連結(jié)MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，F(xiàn)N

9、BB1，EMFN.又B1EC1F，EMFN，故四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN，又MN在平面ABCD中，所以EF平面ABCD.解法二：過E作EGAB交BB1于G，連結(jié)GF，則，B1EC1F，B1AC1B，F(xiàn)GB1C1BC.又EGFGG，ABBCB，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.所以PB平面EFD.例9如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，點(diǎn)E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)求證：(1)直線EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.解析：證明：(1)在ABD中，E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，所以EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，直線EF平面ACD.

10、(2)在ABD中，ADBD，EFAD，EFBD.在BCD中，CDCB，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，CFBD.EF平面EFC，CF平面EFC，EF與CF交于點(diǎn)F，BD平面EFC.又BD平面BCD，平面EFC平面BCD.例10如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，且底面，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連結(jié)，（1） 求證：平面；（2）求證：平面。解析：證明：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，可以證明，故平面. （2）由題意四邊形是正方形，則.連結(jié)、，易證得，故，又為的中點(diǎn)，故，平面 例11如圖所示，四邊形為矩形，平面，為上的點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且平面 （1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積。解析：（1）證明：平面，平面，則

11、又平面，則平面 （2）證明：由題意可得是的中點(diǎn)，連接平面，則，而，是中點(diǎn)在中，平面（3）解：平面，而平面，平面是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，且， 平面，中， 例12 如圖，已知棱柱的底面是菱形，且面，為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，（1）求證：面；（2）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）求三棱錐的體積.ABCDA1B1C1D1FM解析： （1）證明：連結(jié)、交于點(diǎn)，再連結(jié)， ，且， 又，故且， 四邊形是平行四邊形，故，平面。ABCDA1B1C1D1FMOE（2）平面，下面加以證明：在底面菱形中， 又平面，面 ，平面，平面。 （3）過點(diǎn)作，垂足，平面，平面 ，平面，在中，故，。例13 如圖，在矩形中，、

12、分別為線段、的中點(diǎn)，平面.（1）求證: 平面；（2）求證:平面平面；（3）若，求三棱錐的體積.解析：（1）證明:在矩形中， 與平行且相等，故四邊形為平行四邊形.故 ，故平面. （2）證明： 平面，平面， . ，為的中點(diǎn)， . 連結(jié), 四邊形為正方形，故. 平面. 平面. 平面平面. （3）解：平面 為三棱錐的高， 所以. 課下訓(xùn)練：（2011年全國(guó)高考題匯總，答案略）1下列命題中錯(cuò)誤的是A如果平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面，平面，那么D如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面2若直線不平行于平面，且，則A內(nèi)的所有直線與

13、異面 B內(nèi)不存在與平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與平行 D內(nèi)的直線與都相交3，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（A），（B），（C），共面（D），共點(diǎn)，共面4如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA=1，OD=2，OAB, OAC, ODE, ODF都是正三角形.（）證明直線BCEF;（）求棱錐F-OBED的體積.5如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng).6如圖，在四面體PABC中，PCAB，PABC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).（）求證：DE平面BC

14、P； （）求證：四邊形DEFG為矩形；（）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由. 7如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，.（I）求證：平面PAB平面PAD；（II）設(shè)AB=AP. （i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長(zhǎng)； （ii）在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說明理由。8如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，（）證明：;（）求與平面所成角的大小9 如圖5.在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形，且DAB=60，,PB=2, E,F分別是BC,P

15、C的中點(diǎn). (1) 證明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.10下圖5所示的集合體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的A，A，B，B分別為,的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)G為A A中點(diǎn)，延長(zhǎng)到H，使得證明：11如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。12如圖，已知正三棱柱-的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E在側(cè)棱上，點(diǎn)F在側(cè)棱上，且,.(I) 求證：；(II) 求二面角的大小。1

16、3如圖，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)（I）證明：（II）求二面角的余弦值14、如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF平面PCD；（2） 平面BEF平面PAD15如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是AACSBBAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角16如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）證明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值17在如圖所示的

17、幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ACB=，平面，EF，.=.（）若是線段的中點(diǎn)，求證：平面;（）若=,求二面角-的大小18已知是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，高。求： 異面直線與所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）； 四面體的體積。19 如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1平面BDA(I)求證：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；()求點(diǎn)C到平面B1DP的距離20如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P，使C1PA1C1，連接AP交棱CC1于D（）求證：PB1平面BDA1；（）求二面角AA1DB的平面角的余弦值；21如圖，在三棱柱中， 是正方形的中心，平面，且（）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；