1、1,2020/9/16,定義2.8(單葉函數(shù)） 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義,且對D內(nèi)任意不同的兩點z1及z2都有f(z1)f(z2),則稱函數(shù) f(z)在D內(nèi)是單葉的.并且稱區(qū)域D為f(z)的單葉性區(qū)域. 顯然,區(qū)域D到區(qū)域G的單葉滿變換w=f(z)就是D 到G的一一變換.,第三節(jié) 初等多值函數(shù),2,2020/9/16,3,2020/9/16,1. 根式函數(shù),定義2.9,(1) 根式函數(shù)的多值性.,4,2020/9/16,從原點O起到點任意引一條射線將z平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平面(構(gòu)成以此割線為邊界的區(qū)域，記為G)上，argz2，從而可將其轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)來研究。 這種方法稱為

2、”割平面法”,5,2020/9/16,常用方法： 從原點起沿著負實軸將z平面割破,6,2020/9/16,wk在其定義域上解析,且,分成如下的n個單值函數(shù)：,于是,7,2020/9/16,(3) 的支點及支割線,定義1 設(shè) 為多值函數(shù)， 為一定點，作小圓周,，若變點 沿 轉(zhuǎn)一周，回到出發(fā)點時，,函數(shù)值發(fā)生了變化，則稱 為 的支點，如,就是其一個支點，這時繞 轉(zhuǎn)一周也可看作繞點,轉(zhuǎn)一周，故點 也是其一個支點.,定義2 設(shè)想把平面割開，借以分出多值函數(shù)的單值分支的割線，稱為多值函數(shù)的支割線.,如 可以以負實軸為支割線.,8,2020/9/16,9,2020/9/16,二、對數(shù)函數(shù),1. 定義2.1

3、0,2.計算公式：,10,2020/9/16,說明：,w=Lnz是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)，,其余各值為,11,2020/9/16,12,2020/9/16,練習(xí),解,注意: 在實變函數(shù)中, 負數(shù)無對數(shù), 而復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.,13,2020/9/16,練習(xí),解,14,2020/9/16,3. 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),Lnz一般不能寫成lnz,4. 分出w=Lnz的單值解析分支,從原點起沿著負實軸將z平面割破，就可將對數(shù)函數(shù),w=Lnz分成如下無窮多個單值解析分支：,wk在定義域上解析,且,15,2020/9/16,例1 設(shè) 定義在沿負實軸割破的平面上，且,以 為支點，連接 的任一 （廣義）簡單曲線可作為其支割線.,解：,求值：,（是下岸相應(yīng)點的函數(shù)值）求 的值.,16,2020/9/16,三、乘冪 與冪函數(shù),1. 乘冪:,例,解,17,2020/9/16,它是無窮多個獨立的、在z平面上單值解析的函數(shù)。,18,2020/9/16,1. 反三角函數(shù)