1、第一章復(fù)習(xí)內(nèi)容,一、期望和方差,1期望,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為,則,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 ，,則,函數(shù)期望,當(dāng) X為離散型隨機(jī)變量,則,當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，,則,2.方差,計算方差時通常用下列關(guān)系式：,稱隨機(jī)變量 的期望為X的方差，即,3性質(zhì),（1）,（2）,（3） 若X和Y相互獨立，則,計算協(xié)方差時通常用下列關(guān)系式：,二、協(xié)方差,三、矩母函數(shù),1定義,為X的矩母函數(shù),2原點矩的求法,稱 的數(shù)學(xué)期望,利用矩母函數(shù)可求得X的各階矩，即對 逐次求導(dǎo)并計算在 點的值：,3和的矩母函數(shù),定理1,設(shè)相互獨立的隨機(jī)變量 的 矩母函數(shù)分別為 ， ， ，,兩個相互獨立的隨機(jī)變量之和的矩母函數(shù)

2、等于它們的矩母函數(shù)之積.,四、特征函數(shù),特征函數(shù),設(shè)X為隨機(jī)變量，稱復(fù)隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望,為X的特征函數(shù)，其中t是實數(shù)。,還可寫成,特征函數(shù)與分布函數(shù)相互唯一確定。,性質(zhì),則和,設(shè)相互獨立的隨機(jī)變量 的 特征函數(shù)分別為 ， ，,的特征函數(shù)為,兩個相互獨立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于它們的特征函數(shù)之積.,練習(xí):設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,試求X的矩母函數(shù)。,解：,練習(xí),解,由于,所以,設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的泊松分布， 求X的特征函數(shù)。,條件分布函數(shù)與條件期望,離散型,若 ，則稱,為在條件 下，隨機(jī)變量Y的條件分布律。,為在條件 下，隨機(jī)變量X的條件分布律 。,同樣,1、條件分布函數(shù)的定義

3、,連續(xù)型,同樣,稱為在條件 下，隨機(jī)變量X的條件分布律 。,稱為在條件 下，隨機(jī)變量Y的條件分布律。,注意：分母不等于0,2、條件期望的定義,離散型,其中,連續(xù)型,3、全數(shù)學(xué)期望公式,定理,對一切隨機(jī)變量X和Y，有,連續(xù)型,是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，當(dāng) 時取值 因而它也是隨機(jī)變量。,離散型,設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為,解：,練習(xí):,練習(xí):對于隨機(jī)變量X和Y，滿足條件,則有,練習(xí):若隨機(jī)變量X和Y相互獨立，滿足條件,則有,一礦工困在礦井中，要到達(dá)安全地帶，有三個通道可選擇，他從第一個通道出去要走1個小時可到達(dá)安全地帶，從第二個通道出去要走2個小時又返回原處，從第三個通道出去要走3個小時也

4、返回原處。設(shè)任一時刻都等可能地選中其中一個通道，試問他到達(dá)安全地點平均要花多長時間。,練習(xí),解,設(shè)X表示礦工到達(dá)安全地點所需時間，Y 表示他選定的通道，則,所以,第二章復(fù)習(xí)內(nèi)容,隨機(jī)過程的分類,T離散、I離散,T離散、I連續(xù),參數(shù)T狀態(tài)I分類,T連續(xù) 、I離散,T連續(xù) 、I連續(xù),Poisson過程是參數(shù) 狀態(tài) 的隨機(jī)過程.,Brown運動是參數(shù) 狀態(tài) 的隨機(jī)過程.,離散,連續(xù),連續(xù),連續(xù),練習(xí),袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的t對應(yīng)隨機(jī)變量,試求這個隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族。,分析,先求 的概率分布,所以,解,隨機(jī)過程的數(shù)字特征,2方差函數(shù),1均

5、值函數(shù),3協(xié)方差函數(shù),注,4自相關(guān)函數(shù),注,5互協(xié)方差函數(shù),6互相關(guān)函數(shù),練習(xí),解,求:(1)均值函數(shù);(2)協(xié)方差函數(shù);(3)方差函數(shù)。,（1）,（2）,（3）,練習(xí),解,試求它們的互協(xié)方差函數(shù)。,所以,1.嚴(yán)平穩(wěn)過程,定義1,則 稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程,嚴(yán)平穩(wěn)過程的有限維分布關(guān)于時間是平移不變的.,2.寬平穩(wěn)過程,定義2,如果它滿足：,則稱 為寬平穩(wěn)過程，,簡稱平穩(wěn)過程,因為,均值函數(shù),注:(3)可等價描述為:,注2,注1,嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程。,因為嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是二階矩過程。 若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。,寬平穩(wěn)過程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。,因為寬平穩(wěn)過程只保證一階矩

6、和二階矩不隨時間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分布不隨時間而推移。,性質(zhì)1,平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),(1)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)2,性質(zhì)3,(2)協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)2,性質(zhì)3,性質(zhì)1,練習(xí),解:,的隨機(jī)變量序列,則,令,練習(xí),獨立增量過程,時齊的,定義3.1.1,第三章復(fù)習(xí)內(nèi)容,定義3.1.2,定義3.1.2的等價定義,顯見Poisson過程本身不是平穩(wěn)過程，其增量是平穩(wěn)過程。,解:,練習(xí):,設(shè)N(t)是參數(shù)為 的Poisson過程,事件發(fā)生時刻 在已知N(t)=2的條件下的聯(lián)合概率密度為_.,練習(xí):,重要結(jié)論,解:,沒被維修過的概率,練習(xí):,維修過一次的概率,例1,解,設(shè)顧客到達(dá)某商

7、場的過程是泊松過程,已知平均每小時有30人到達(dá),求下列事件的概率:兩個顧客相繼到達(dá)的時間間隔:(1)超過2分鐘;(2)在1分鐘到3分鐘之間.,若以分鐘為單位,顧客到達(dá)數(shù)是強度為 的泊松過程.則顧客到達(dá)的時間間隔 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,其密度函數(shù)為,故,例2：一理發(fā)師在t=0時開門營業(yè),設(shè)顧客按強度為,的泊松過程到達(dá).若每個顧客理發(fā)需要a分鐘,a是正,常數(shù) . 求第二個顧客到達(dá)后不需等待就馬上理發(fā)的,概率及到達(dá)后等待時間S的平均值 .,解：設(shè)第一個顧客的到達(dá)時間為T1，第二個顧客的,到達(dá)時間為T2。令X2= T2 - T1，則第二個顧客到達(dá),后不需等待等價于 X2a。由定理知X2服從參數(shù)為,

8、的指數(shù)分布，故,等待時間,考慮一特定保險公司的全部賠償，設(shè)在0,t 內(nèi)投保死亡的人數(shù)N(t)是發(fā)生率為 的泊松過程。設(shè) 是第n個投保人的賠償價值， 獨立同分布。,表示0,t 內(nèi)保險公司必須付出的,全部賠償。,練習(xí):,解：,第四章 更新過程,1.更新過程的定義 設(shè)Xn,n1是獨立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F(x)，且F(0)1，令,記,稱N(t),t0更新過程。,2、更新函數(shù) 令M(t)=EN(t)，稱M(t)為更新函數(shù)。,Theorem：,3.更新方程 設(shè)M(t)為更新函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)稱為更新密度，記為 m(t)，則,其中 是 的密度函數(shù)。,定義（更新方程）如下形式的積分方程稱 為更新方程,

9、其中H(t)，F(xiàn)(t)為已知，且當(dāng)t0時， H(t)，F(xiàn)(t) 均為0，當(dāng)H(t)在任何區(qū)間上有界時稱此方程為 適定更新方程，簡稱更新方程。,更新方程的解 定理：設(shè)更新方程中H(t)為有界函數(shù)，則 方程存在惟一的在有限區(qū)間內(nèi)有界的解,更新定理,1、初等更新定理,設(shè) ，則,2、布萊克威爾(Blackwell)定理 設(shè)F(x)為非負(fù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù),(1) 若F(x)不是格點的，則對任意的a0，有,(2)若F(x)是格點的，周期為d，則,P在nd處發(fā)生更新,容易看出，初等更新定理是Blackwell定理的特殊情況。,記 ，設(shè)h(t) 0滿足(1) h(t) 非負(fù)不增；(2) 。 H(t)是更新

10、方程,的解。那么 （1）若F(x)不是格點的,3、關(guān)鍵更新定理,（2）若F(x) 是格點的，對于,注：關(guān)鍵更新定理與布萊克威爾(Blackwell)定理是等價性的,第五章復(fù)習(xí)內(nèi)容,馬爾可夫性即無后效性.,狀態(tài)的分類及性質(zhì)是重點,互通,類,不可約,周期等概念.,狀態(tài)i,非常返,常返,正常返,零常返,平穩(wěn)分布與極限分布(重點),研究狀態(tài)的關(guān)系(重點),練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為,解:,練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為,解:,狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如右:,練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為,解:,顯然,此鏈具有遍歷性。,由,解得,練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,

11、2,3,一步轉(zhuǎn)移矩陣為,解:,練習(xí)：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,3,一步轉(zhuǎn)移矩陣為,解:,(2),經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3的概率為,設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,3,4,一步轉(zhuǎn)移矩陣為,試研究其狀態(tài)關(guān)系.,解:狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下:,練習(xí),故狀態(tài)1與2都是正常返狀態(tài),又因周期都是1,故都為遍歷狀態(tài).,故狀態(tài)3是非常返狀態(tài).,故狀態(tài)4是吸收狀態(tài).,練習(xí),設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為,解：,練習(xí),設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為1,2,一步轉(zhuǎn)移矩陣為,解:,第六章復(fù)習(xí)內(nèi)容,了解上鞅,下鞅,鞅的定義,、 上鞅,上鞅,、 下鞅,下鞅,上鞅 下鞅,上鞅,下鞅 上鞅,下鞅,下鞅,上鞅,練習(xí):,第七章復(fù)習(xí)內(nèi)容,Brown運動的定義,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),解:,練習(xí),重要結(jié)論,Brown運動具有