1、一基礎(chǔ)題組1. 【2013課標(biāo)全國，理6】如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()Acm3 Bcm3 Ccm3 Dcm3【答案】A2. 【2012全國，理7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()A6 B9 C12 D18【答案】B3. 【2011全國新課標(biāo)，理6】在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()【答案】D【解析】4. 【2006全國，理7】已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱

2、高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ ）（A）16 （B）20 （C）24 （D）32【答案】C【解析】5. 【2005全國1，理2】一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為（ ）A8B8C4D4【答案】B【解析】6. 【2005全國1，理4】如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且ADE、BCF均為正三角形，EF/AB，EF=2，則該多面體的體積為（ ）AB CD【答案】A【解析】7. 【2010新課標(biāo)，理14】正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是_(寫出三種)【答案】三棱錐、圓錐、四棱錐(答案不唯一) 8. 【2014課標(biāo)，理19】(本小題滿分1

3、2分)如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.（）證明：;（）若，,求二面角的余弦值.【答案】（）詳見解析；（）則，, 設(shè)是平面的法向量，則即所以可取設(shè)是平面的法向量，則同理可取則所以二面角的余弦值為9. 【2013課標(biāo)全國，理18】如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)證明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值 (2)解：由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩相互垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長

4、，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.10. 【2008全國1，理18】（本小題滿分12分）四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，（）證明：；（）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小【解析】：（1）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，又面面，面，即，面，11. 【2015高考新課標(biāo)1，理6】九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3

5、，估算出堆放斛的米約有（ ）(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為1.6222，故選B.【考點(diǎn)定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式12. 【2015高考新課標(biāo)1，理18】如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（）證明：平面AEC平面AFC；（）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【答案】（）見解析（）【解析】試題分析：（）連接BD，設(shè)BDAC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1易證E

6、GAC，通過計(jì)算可證EGFG，根據(jù)線面垂直判定定理可知EG平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC平面AEC；（）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用向量法可求出異面直線AE與CF所成角的余弦值.，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分【考點(diǎn)定位】空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力13.【2016高考新課標(biāo)理數(shù)1】如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是（A）17 （B）18 （C）20 （D）2

7、8 【答案】A【解析】由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的,即該幾何體是個(gè)球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和,即，故選A【考點(diǎn)】三視圖及球的表面積與體積【名師點(diǎn)睛】由于三視圖能有效地考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內(nèi)容,高考試題中三視圖一般與幾何體的表面積與體積相結(jié)合.由三視圖還原出原幾何體是解決此類問題的關(guān)鍵.14. 【2016高考新課標(biāo)理數(shù)1】平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A， /平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，則m，n所成角的正弦值為（A） （B）

8、 （C） （D）【答案】A【考點(diǎn)】平面的截面問題，面面平行的性質(zhì)定理，異面直線所成的角【名師點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).15. 【2017新課標(biāo)1，理7】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A10B12C14D16【答案】B【考點(diǎn)】簡單幾何體的三視圖【名師點(diǎn)睛】三視圖往往與幾何體的體積、表面積以及空間線面關(guān)系、角、距離等問題相結(jié)合，解決此類問題的關(guān)鍵是由三視圖準(zhǔn)確確定空間幾何體的

9、形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉常見幾何體的三視圖.二能力題組1. 【2013課標(biāo)全國，理8】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168 B88 C1616 D816【答案】A2. 【2011全國，理6】已知直二面角l，點(diǎn)A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則D到平面ABC的距離等于()A. B C D1【答案】C3. 【2010新課標(biāo)，理10】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()Aa2 B.a2 C.a2 D5a2【答案】B【解析】如圖，O1，O分別為上、下底面的中心，D為O1O的中點(diǎn)，則DB為球的半徑，有r

10、DB，S表4r24a2. 4. 【2009全國卷，理7】已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)棱長為2,BC的中點(diǎn)為D,由題意,得.在RtA1AD中，.在RtA1BD中，.AA1CC1,AB與AA1所成的角A1AB即為AB與CC1所成的角.在A1AB中,由余弦定理,得.5. 【2009全國卷，理10】已知二面角-l-為60，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（ ）A. B.2 C. D.4【答案】C在RtPM

11、E中,同理QF=4.,=20+224cos120=當(dāng)取最小值0時(shí)，最小，此時(shí)|=，即當(dāng)PQl時(shí)，|最小.6. 【2011全國新課標(biāo)，理15】已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB6，BC，則棱錐OABCD的體積為_【答案】【解析】7. 【2006全國，理13】已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于 。【答案】608. 【2005全國1，理15】ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m= .【答案】1【解析】9. 【2012全國，理19】如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1BD(1)證

12、明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小【解析】(1)證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于D為AA1的中點(diǎn)，故DCDC1又，可得DC12DC2CC12，所以DC1DC而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCDBC平面BCD，故DC1BC(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，則BC平面ACC1，所以CA，CB，CC1兩兩相互垂直以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)則，10. 【2010新課標(biāo)，理18】（12分）如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯

13、形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn) (1)證明PEBC；(2)若APBADB60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值【解析】：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)(1)(理)證明：設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，則D(0，m,0)，E(，0)可得(，n)，(m，1,0)因?yàn)?0，所以PEBC.所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為11. 【2005全國1，理18】已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，AB/DC，DAB=90，PA底面 ABCD，且

14、PA=AD=DE=AB=1，M是PB的中點(diǎn). （1）證明：面PAD面PCD； （2）求AC與PB所成的角； （3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小.【解析】方案一：（）證明：PA面ABCD，CDAD，由三垂線定理得：CDPD.因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD.（）解：作ANCM，垂足為N，連結(jié)BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC,BNCM，故ANB為所求二面角的平面角.CBAC，由三垂線定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，ANMC=，. AB=2，故所求

15、的二面角為方法二：因?yàn)镻APD，PAAB，ADAB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（）證明：因由題設(shè)知ADDC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD.（）解：因?yàn)樗蠖娼堑钠矫娼?12. 【2017新課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪

16、開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為 .【答案】【解析】試題分析：如下圖，連接DO交BC于點(diǎn)G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長為x(x0)，則.， ，三棱錐的體積.設(shè)，x0，則，令，即，得，易知在處取得最大值.【考點(diǎn)】簡單幾何體的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三棱錐最值問題，需要用到函數(shù)思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)的方式進(jìn)行解決.三拔高題組1. 【2

17、014課標(biāo)，理12】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由正視圖、側(cè)視圖、俯視圖形狀，可判斷該幾何體為四面體，且四面體的長、寬、高均為4個(gè)單位，故可考慮置于棱長為4個(gè)單位的正方體中研究，如圖所示，該四面體為，且, , ，故最長的棱長為6，選B2. 【2012全國，理11】已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A B C D【答案】A3. 【2011全國，理11】已知平面截一球面得圓M，過圓心

18、M且與成60二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為()A7 B9 C11 D13【答案】D4. 【2008全國1，理11】已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD【答案】C【解析】由題意知三棱錐為正四面體，設(shè)棱長為，則，棱柱的高（即點(diǎn)到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.另解：設(shè)為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為長度均為，平面的法向量為,則與底面所成角的正弦值為.5. 【2009全國卷，理15】直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,BAC=120，則

19、此球的表面積等于_.【答案】20球的表面積為S=4R2=20.6. 【2008全國1，理16】等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于 【答案】.【解析】設(shè)，作，則，為二面角的平面角，結(jié)合等邊三角形與正方形可知此四棱錐為正四棱錐，則,故所成角的余弦值7. 【2005全國1，理16】在正方體ABCDABCD中，過對(duì)角線BD的一個(gè)平面交AA于E，交CC于F，則 四邊形BFDE一定是平行四邊形.四邊形BFDE有可能是正方形.四邊形BFDE在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形.平面BFDE有可能垂直于平面BBD.以上結(jié)論正確的為 .（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答

20、案】【解析】8. 【2011全國新課標(biāo)，理18】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD(1)證明：PABD；(2)設(shè)PDAD，求二面角APBC的余弦值 (2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0，0，1)(1，0)，(0，1)，(1，0，0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則即因此可取n(，1，)設(shè)平面PBC的法向量為m，則可取m(0，1，)，.故二面角APBC的余弦值為.9. 【2011全國，理19】如圖，四棱錐SABCD中

21、，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形ABBC2，CDSD1.(1)證明：SD平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成的角的大小【解析】解法一：SD與兩條相交直線AB、SE都垂直所以SD平面SAB.作FHSG，H為垂足，則FH平面SBC.，即F到平面SBC的距離為.由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距離d也為.設(shè)AB與平面SBC所成的角為，則，.解法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)D(1，0，0)，則A(2，2，0)，B(0，2，0)又設(shè)S(x，y，z)，則x0，y0，z0，(1) (x2，y2，z)，(x，y2，z)，(

22、x1，y，z)，由得，故x1.由得y2z21，又由得x2(y2)2z24，即y2z24y10，故，.于是，.故DSAS，DSBS，又ASBSS，所以SD平面SAB.10. 【2009全國卷，理18】如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，DC=SD=2.點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，ABM=60.()證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；（）求二面角S-AM-B的大小.【解析】解法一：（）作MECD交SD于點(diǎn)E，則MEAB，ME平面SAD.連接AE，則四邊形ABME為直角梯形.作MFAB，垂足為F，則四邊形AFME為矩形.設(shè)ME=x,則SE=x,，,FB=2-x.由MF=FBtan60,得,解

23、得x=1，即ME=1，從而.所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn).連接BH.在BGH中，,所以.二面角S-AM-B的大小為arccos().解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA、DC、DS分別為x、y、z軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)A（，0，0），則B（，2，0），C（0，2，0），S（0，0，2）.（）設(shè)(0)，則M（0，,),=(,).又=（0，2，0），,=60,故=|cos60,即,解得=1,即.所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn).cos，=.所以二面角SAMB的大小為arccos().11. 【2006全國，理19】（本小題滿分12分）如圖，l1、l2是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段，

24、點(diǎn)A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN。（）證明；（）若，求NB與平面ABC所成角的余弦值?！窘馕觥浚ǎ忠阎?，因此為正三角形.，因此在平面內(nèi)的射影是正三角形的中心，連結(jié)，為NB與平面所成的角.在中， 故可設(shè)于是，（），又已知，為正三角形，在中，可得，故連接，作于，設(shè)，可得，連結(jié)，則，12. 【2015高考新課標(biāo)1，理11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為=16 + 20，解得r=2，故選B.【考點(diǎn)定位】簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測(cè)面積公式13. 【2016高考新課標(biāo)理數(shù)1】如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，且二面角DAFE與二面角CBEF都是（I）證明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值【答案】（I）見解析；（I