1、2.3.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及常用的公式.2.會利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證明知識鏈接1向量數(shù)乘的運(yùn)算律有哪些？答(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特別地，有()a(a)(a)；(ab)ab.2向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)、1、2，恒有(1a2b)1a2b. 預(yù)習(xí)導(dǎo)引1向量的數(shù)量積(內(nèi)積)|a|b|cosa，b叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab|a|b|cosa，b2向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量(1)aeea|

2、a|cosa，b；(2)abab0且ab0ab；(3)aa|a|2或|a|；(4)cosa，b；(5)|ab|a|b|.3向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律)；(2)(a)b(ab)a(b)(結(jié)合律)；(3)(ab)cacbc(分配律).要點(diǎn)一向量數(shù)量積運(yùn)算律的有關(guān)概念例1給出下列結(jié)論：若a0，ab0，則b0；若abbc，則ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0.其中正確結(jié)論的序號是_答案解析因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量a、b垂直時(shí)，ab0，故不正確；當(dāng)a0，bc時(shí)，abbc0，但不能得出ac，故不正確；向量(ab)c與c共線，a(bc)與a共線，故不正確；ab(ac)c(ab)(ab

3、)(ac)(ac)(ab)0，故正確規(guī)律方法向量的數(shù)量積ab與實(shí)數(shù)a、b的乘積ab有聯(lián)系，同時(shí)有許多不同之處例如，由ab0并不能得出a0或b0.特別是向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即一般情況下(ab)ca(bc)跟蹤演練1設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結(jié)論：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不與c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正確的序號是_答案解析根據(jù)向量數(shù)量積的分配律知正確；(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，(bc)a(ca)b與c垂直，錯誤；a，b不共線，|a|、|b|、|ab|組成三角形三邊，

4、|a|b|0且a與b不同向共線；ab夾角為鈍角的等價(jià)條件是ab0，k0.但當(dāng)k1時(shí)，e1ke2ke1e2，它們的夾角為0，不符合題意，舍去綜上，k的取值范圍為k|k0且k1.1下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1 B2 C3 D4答案C解析正確，錯誤，錯誤，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2 a2b2，選C.2設(shè)向量a，b滿足|ab|，|ab|，則ab等于()A1 B2 C3 D5答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，將上面兩式左右兩邊分別相減，得4ab4，ab

5、1.3若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為()A30 B60 C120 D150答案C解析由(2ab)b0，得2abb20，設(shè)a與b的夾角為，2|a|b|cos |b|20.cos ，120.4已知a，b，c為單位向量，且滿足3ab7c0，a與b的夾角為，則實(shí)數(shù)_.答案8或5解析由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c為單位向量，則a2b2c21，則49926cos，即23400，解得8或5.1.向量的數(shù)量積對結(jié)合律一般不成立，因?yàn)?ab)c|a|b|cosa，bc是一個(gè)與c共線的向量，而a(bc)a(|b|c|cosb，c|b

6、|c|cosb，ca是一個(gè)與a共線的向量，兩者一般不同2在實(shí)數(shù)中，若ab0則a0或b0，但是在數(shù)量積中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因?yàn)槠渲衏os 有可能為0.3在實(shí)數(shù)中，若abbc，b0則ac，在向量中abbc，b0/ac.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1設(shè)為兩個(gè)非零向量a，b的夾角，已知對任意實(shí)數(shù)t，|bta|的最小值為1.()A若確定，則|a|唯一確定B若確定，則|b|唯一確定C若|a|確定，則唯一確定D若|b|確定，則唯一確定答案B解析|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cos t|b|2.因?yàn)閨bta|min1，所以|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin21，所以|b|

7、sin 1，即|b|.即確定，|b|唯一確定2已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，則向量a和b的夾角是()A. B. C. D答案A解析由題意知(ab)aa2ab2ab0，ab2，設(shè)a與b的夾角為，則cos ，.3已知向量a，b的夾角為120，|a|1，|b|5，則|3ab|等于()A7 B6 C5 D4答案A解析|3ab| 7.故選A.4在邊長為1的等邊ABC中，設(shè)a，b，c，則abbcca等于()A B0 C. D3答案A解析ab|cos 60.同理bc，ca，abbcca.5若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_答案解析|a|3|b|a2b|

8、，|a|29|b|2(a2b)2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosab.6已知ab2i8j，ab8i16j，i，j為相互垂直的單位向量，那么ab_.答案637已知非零向量a，b，滿足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夾角；(2)求|ab|.解(1)(ab)(ab)，a2b2，即|a|2|b|2；又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos ，cos ，向量a，b的夾角為45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2，|ab|.二、能力提升8設(shè)a，b為非零向量，|b|2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個(gè)a和

9、2個(gè)b排列而成若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A. B. C. D0答案B解析設(shè)a與b的夾角為，由于xi，yi(i1,2,3,4)均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成，記S(xiyi)，則S有以下三種情況：S2a22b2；S4ab；S|a|22ab|b|2.|b|2|a|，中S10|a|2，中S8|a|2cos ，中S5|a|24|a|2cos .易知最小，即8|a|2cos 4|a|2，cos ，可求，故選B.9在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為CD的中點(diǎn)若1，則AB的長為_答案解析因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以.，因?yàn)?，所以()22

10、1，即12|cos 601，所以2|0，解得|.10已知向量與的夾角為120，且|3，|2，若，且，則實(shí)數(shù)的值為_答案解析向量與的夾角為120，且|3，|2，所以|cos 120323.由得，0，即()()0，所以22(1)0，即493(1)0，解得.11設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是，求向量a2mn與b2n3m的夾角解|n|m|1且m與n夾角是，mn|m|n|cos 11.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.設(shè)a與b的夾角為，則cos .又0，故a與b的夾角為.12已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120.(1)求證：(ab)c；(2)若|kabc|1(kR)，求k的取值范圍(1)證明因?yàn)閨a|b|c|1，且a、b、c之間的夾角均為120，所以(ab)cacbc|a|c|cos 120|b|c|cos 1200，所以(ab)c.(2)解因?yàn)閨kabc|1，所以(kabc)21，即k2a2b2c