1、3.1.5空間向量的數(shù)量積1理解空間向量的夾角的概念，理解空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律(重點(diǎn))2掌握空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用(重點(diǎn)、難點(diǎn))3理解向量夾角與直線(xiàn)所成角的區(qū)別(易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1空間向量的夾角閱讀教材P91P92上半部分，完成下列問(wèn)題a，b是空間兩個(gè)非零向量，過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a與向量b的夾角，記作a，b，a，b的范圍是0，如果a，b，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作ab.如圖3125，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求向量與夾角的大小圖3125【解】，CAD1的大小就等于，ACD1為正三角形，CAD1，.向量與夾角的大小為.教材整理2空間向量的

2、數(shù)量積閱讀教材P92例1以上的部分，完成下列問(wèn)題1數(shù)量積的定義設(shè)a，b是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量|a|b|cosa，b叫做向量a，b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cosa，b規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2數(shù)量積的性質(zhì)(1)cosa，b(a，b是兩個(gè)非零向量)(2)abab0(a，b是兩個(gè)非零向量)(3)|a|2aaa2.3數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba；(2)(a)b(ab)(R)；(3)a(bc)abac.1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若ab0，則a0或b0.()(2)在A(yíng)BC中，B.()(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量()(4)若a，b均為非零向量，則a

3、b|a|b|是a與b共線(xiàn)的充要條件()【答案】(1)(2)(3)(4)2已知|a|，|b|，ab，則a與b的夾角為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】cosa，b，又a，b0，a，b.【答案】教材整理3數(shù)量積的坐標(biāo)表示閱讀教材P93P94例3以上的部分，完成下列問(wèn)題1若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則(1)abx1x2y1y2z1z2.(2)abab0x1x2y1y2z1z20(a0，b0)(3)|a|.(4)cosa，b(a0，b0)2空間兩點(diǎn)間距離公式設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB.1若a(1,0,2)，b(x，y,1)，且ab，則x_.【解析】ab，ab

4、x20，解得x2.【答案】22與向量a(1,2,2)方向相同的單位向量是_【解析】|a|3，故與a方向相同的單位向量是(1,2,2).【答案】質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：小組合作型求空間向量的數(shù)量積已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)求下列向量的數(shù)量積(1)；(2).【精彩點(diǎn)撥】法一(基向量法)：與，與的夾角不易求，可考慮用向量，表示向量，再求結(jié)論即可法二(坐標(biāo)法)：建系求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)向量坐標(biāo)數(shù)量積【自主解答】法一(基向量法)：如圖所示，設(shè)a，b，c

5、，則|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(ac)|c|2|a|222220.法二(坐標(biāo)法)：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(xiàn)(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，(0,4,0)，(1,4,1)，(2,2,2)，(2,0,2)，(1)0(1)440116.(2)2220220.解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法1基向量法：首先選取基向量，然后用基向量表示相關(guān)的向量，最后利用數(shù)量積的定義計(jì)算注意：基向量的選取要合理，一般選模和夾角都確定的向量2坐標(biāo)法：對(duì)于建系比

6、較方便的題目，采用此法比較簡(jiǎn)單，只需建系后找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得向量的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即可再練一題1在上述例1中，求.【解】法一：(abc)|a|2|b|22.法二：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則E(1,0,1)，F(xiàn)(0,2,2)，C1(2,4,2)，(1,2,1)，(2,2,0)，1222102.利用數(shù)量積求夾角和距離如圖3126所示，在平行六面體ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求AC的長(zhǎng)；(2)求與的夾角的余弦值圖3126【精彩點(diǎn)撥】求線(xiàn)段長(zhǎng)，要利用向量的方法求解，關(guān)鍵是找到表示AC的基向量，只要模與夾角均可知，則問(wèn)題可

7、求解，求夾角問(wèn)題則是向量數(shù)量積的逆用【自主解答】(1)，|2()2|2|2|22()4232522(0107.5)85.|.(2)法一：設(shè)與的夾角為，ABCD是矩形，|5.由余弦定理可得cos .法二：設(shè)a，b，c，依題意得(abc)(ab)a22abb2acbc160945cos 6035cos 6016910，cos .1求兩點(diǎn)間的距離或某線(xiàn)段的長(zhǎng)度，就是把此線(xiàn)段用向量表示，然后用|a|2aa，即|a|通過(guò)向量運(yùn)算求|a|.2對(duì)于空間向量a，b，有cosa，b.利用這一結(jié)論，可以較方便地求解異面直線(xiàn)所成角的問(wèn)題，由于向量的夾角的取值范圍為0，而異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍為，故a，b時(shí)，它們

8、相等；而當(dāng)a，b時(shí)，它們互補(bǔ)再練一題2如圖3127，正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點(diǎn)，設(shè)a，b，c.(1)用a，b，c分別表示向量，；(2)求異面直線(xiàn)DM與CN所成角的余弦值圖3127【解】(1)()()()(ac)(bc)(ab2c)，()()(ab)b(a2b)(2)設(shè)棱長(zhǎng)為1，即|a|b|c|1且a，bb，cc，a，則|.又(ab2c)(a2b)(a2ab2ac2ab2b24bc)，cos，.異面直線(xiàn)DM與CN所成角的余弦值為.利用數(shù)量積解決平行和垂直問(wèn)題已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分別求與m的值；(2)若|a|，且與c(2，2，)垂直，求a

9、.【精彩點(diǎn)撥】利用向量平行、垂直、向量的模列方程組求解【自主解答】(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得實(shí)數(shù)，m3.(2)|a|，且ac，化簡(jiǎn)，得解得1.因此，a(0,1，2)向量平行與垂直問(wèn)題主要有兩種題型1平行與垂直的判斷2利用平行與垂直求參數(shù)或其他問(wèn)題，即平行與垂直的應(yīng)用再練一題3如圖3128所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M是A1B1的中點(diǎn)求證：A1BC1M.圖3128【證明】如圖所示，以，為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.依題意得B(0,1,0)，A1(1,0,2)，2)，B1(0,1,2)，則M，2，于是(1,1，2

10、)，00，故A1BC1M.探究共研型空間向量數(shù)量積的運(yùn)算特征探究1數(shù)量積運(yùn)算是否滿(mǎn)足消去律？【提示】對(duì)于三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)a，b，c，若abac，則bc.對(duì)于三個(gè)非零向量a，b，c，若abac，不能得出bc，即向量不能約分如圖，在三棱錐SABC中，SC平面ABC，則SCAC，SCBC.設(shè)a，b，c，則abac0，但bc.探究2數(shù)量積運(yùn)算是否有除法？【提示】數(shù)量積的運(yùn)算不滿(mǎn)足除法，即對(duì)于向量a，b，若abk，不能得到a，例如當(dāng)非零向量a，b垂直時(shí)，ab0，但a顯然是沒(méi)有意義的探究3數(shù)量積運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律嗎？【提示】由定義得(ab)c(|a|b|cosa，b)c，即(ab)c1c；a(bc)a(|b|

11、c|cosb，c)，即a(bc)2a，因此，(ab)c表示一個(gè)與c共線(xiàn)的向量，而a(bc)表示一個(gè)與a共線(xiàn)的向量，而a與c不一定共線(xiàn)，所以(ab)ca(bc)不一定成立如圖3129，已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1.求：(1)；(2)()()；(3)|.圖3129【精彩點(diǎn)撥】在正四面體OABC中，的模和夾角都已知，因此可以先把相關(guān)向量用，線(xiàn)性表示，再結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律與運(yùn)算性質(zhì)求解即可【自主解答】在正四面體OABC中，|1，60.(1)|cosAOB11cos 60.(2)()()()()()(2)2222122211cos 6012211cos 60111111.(3)|.再練一題4已

12、知a3b與7a5b垂直，且a4b與7a2b垂直，則a，b_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】由條件知，(a3b)(7a5b)7|a|216ab15|b|20，及(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0.兩式相減，得46ab23|b|2，ab|b|2.代入上面兩個(gè)式子中的任意一個(gè)，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b0，180，a，b60.【答案】60構(gòu)建體系1已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(ab)(ab)的值為_(kāi)【解析】ab(10，5，2)，ab(2,1，6)，(ab)(ab)2051213.【答案】132已知向量a(2，3,0)，b(k,0,3)若a，b成120的角，則

13、k_.【解析】cos a，b，得k.【答案】3如圖3130，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AB1和BM所成的角的大小是_圖3130【解析】，設(shè)棱長(zhǎng)為1.又()()000，cos，0，直線(xiàn)AB1與BM所成的角為90.【答案】904已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則_.【解析】，()2240022.【答案】25如圖3131所示，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA與BC所成角的余弦值圖3131【解】由題意知，|cos ，|cos ， 84cos 13586cos 1202416，cos

14、 ，OA與BC所成角的余弦值為.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿(mǎn)足條件(ca)(2b)2，則x_.【解析】a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，(ca)(2b)2(1x)2，x2.【答案】22在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量，兩兩的夾角均為60，且|1，|2，|3，則|等于_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】設(shè)a，b，c，則abc，2a2b2c22ac2bc2ca25，因此|5.【答案】53已知

15、A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，則向量與的夾角為_(kāi)【解析】(0,3,3)，(1,1,0)，cos，60.【答案】604已知|a|2，|b|3，a，b60，則|2a3b|_.【解析】ab23cos 603，|2a3b|.【答案】5如圖3132,120的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC，BD分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于A(yíng)B.若AB4，AC6，BD8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)圖3132【解析】ACAB，BDAB，0，0.又二面角為120，60，|2()22222()164，|2.【答案】26如圖3133，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)

16、，AFABBCFEAD，則異面直線(xiàn)BF與ED所成角的大小是_圖3133【解析】分別以AB，AD，AF為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M.則(1,0,1)，(0,1，1)，cos，120.所以異面直線(xiàn)BF與ED所成角的大小為18012060.【答案】607如圖3134所示，已知直線(xiàn)AB平面，BC，BCCD，DF平面，且DCF30，D與A在的同側(cè)，若ABBCCD2，則A，D兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)圖3134【解析】，DCF30，DF平面，CDF60，|2()2444222cos 1208，|

17、2.【答案】28若(4,6，1)，(4,3，2)，|a|1，且a，a，則a_.【解析】設(shè)a(x，y，z)，由題意有代入坐標(biāo)可解得：或【答案】或二、解答題9.如圖3135，已知正方體ABCDABCD，CD與DC相交于點(diǎn)O，連接AO，求證：圖3135(1)AOCD；(2)AC平面BCD.【證明】(1)因?yàn)?)，因?yàn)?，所?2)()(22)(|2|2)0，所以，故AOCD.(2)因?yàn)?)()，可知0，0，0，|2，|2，0，所以|2|20，所以，所以ACBC.同理可證，ACBD.又BC，BD平面BCD，BCBDB，所以AC平面BCD.10.如圖3136，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)

18、棱SD底面ABCD，E，F(xiàn)，G分別為AB，SC，SD的中點(diǎn)若ABa，SDb，圖3136(1)求|；(2)求cos，【解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F(xiàn)，G，(a,0,0)(1)| .(2)cos，.能力提升1已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，則|ba|的最小值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】ba(1t,2t1,0)，|ba|，當(dāng)t時(shí)，|ba|取得最小值.【答案】2已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，則以，為邊的平行四邊形的面積為_(kāi)【解析】由題意可得，(2，1,3)，(1，3，2)，cos，.sin，以，為邊的平行四邊形的面積S2|sin，147.【答案】73如圖3137所示，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，則PC等于_圖3137【解析】法一：因?yàn)椋?2222363636236cos 60144，所以|12，即PC