1、6.4 萬有引力理論的成就知識(shí)點(diǎn)一、計(jì)算地球的質(zhì)量1原理若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力。2關(guān)系式：3結(jié)果地球的質(zhì)量為：思考討論卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室測(cè)量出了引力常量G的值，從而“稱量”出了地球的質(zhì)量，你知道他是怎樣“稱量”地球質(zhì)量的嗎？提示：若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上質(zhì)量為m的物體所受的重力mg等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg，所以有M，只要測(cè)出G，便可“稱量”地球的質(zhì)量特別提醒1利用M“稱量”地球質(zhì)量的方法可以推廣到其他天體(如月球)質(zhì)量的確定，只不過R應(yīng)是該天體的半徑，g應(yīng)是該天體表面的重力加速度2在用萬有引力等于向心力列式求天體的質(zhì)量時(shí)，只能

2、求出中心天體的質(zhì)量，而不能求出環(huán)繞天體的質(zhì)量 【典型例題】【例題1】1789年英國(guó)著名物理學(xué)家卡文迪許首先估算出了地球的平均密度根據(jù)你學(xué)過的知識(shí)，能否知道地球密度的大小【審題指導(dǎo)】本題實(shí)際是要求進(jìn)行估算，因而如何挖掘題目中的隱含條件是關(guān)鍵而我們學(xué)過的知識(shí)中能與地球質(zhì)量、密度相聯(lián)系的應(yīng)首先想到萬有引力定律，何況題設(shè)中提到了“卡文迪許”呢【答案】5.5103 kg/m3【解析】設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力定律得g將地球看成均勻球體，有VR3由兩式得地球的平均密度式中、G、R和g均為常數(shù)，將它們的值代入可得5.5103 kg/m3，即地球的

3、平均密度為5.5103 kg/m3.知識(shí)點(diǎn)二、計(jì)算天體的質(zhì)量1計(jì)算太陽的質(zhì)量(1)原理：將行星的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力來提供。(2)關(guān)系式： (3)結(jié)果： 2其他行星的質(zhì)量計(jì)算利用繞行星運(yùn)轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，若測(cè)出該衛(wèi)星與行星間的距離和轉(zhuǎn)動(dòng)周期，同樣可得出行星的質(zhì)量。 一、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算情景及求解思路結(jié)果天體質(zhì)量的計(jì)算已知所求星體的半徑R及其表面的重力加速度g，則GmgM質(zhì)量為m的行星繞所求星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供行星所需的向心力，即Gmm2rm()2rMMM天體密度的計(jì)算當(dāng)星球繞中心天體表面運(yùn)行時(shí)，rR：特別提醒(1)利用萬有引力提供向心力的方法只能求

4、解中心天體的質(zhì)量，而不能求出做圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量。(2)要注意R、r的區(qū)分。R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑。二、天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算利有萬有引力定律解決天體運(yùn)動(dòng)的基本方法(1)掌握一個(gè)模型天體(包括衛(wèi)星)的運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型。(2)記住兩組公式Gmm2rmrmamg(g為星體表面處的重力加速度)即GMR2g，該公式通常被稱黃金代換。(3)理解四個(gè)重要的物理量線速度v由Gm得v ，可見，r越大，v越小；r越小，v越大。角速度由Gm2r得 ，可見，r越大，越小；r越小，越大。周期T由Gm2r得T2 ，可見，r越大，T越大；r越小，T越小。向心加速度an由Gma

5、n得an，可見，r越大，an越?。籸越小，an越大。利用上述結(jié)論可以對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的線速度v、角速度、周期T以及向心加速度an等進(jìn)行定性分析，也可以進(jìn)行定量計(jì)算。三、應(yīng)用萬有引力定律分析計(jì)算天體運(yùn)動(dòng)的問題1兩條思路(1)萬有引力提供天體運(yùn)動(dòng)的向心力質(zhì)量為m的行星繞質(zhì)量為M的星體在半徑為r的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律及圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)得Gmanmm2rm()2r。(2)黃金替換質(zhì)量為m的物體在地球(星體)表面受到的萬有引力等于其重力，即Gmg?？梢缘玫剑篏MgR2由于G和M(地球質(zhì)量)這兩個(gè)參數(shù)往往不易記住，而g和R容易記住。所以粗略計(jì)算時(shí)，一般都采用上述代換，這就避開了萬有引力常量G值和地

6、球的質(zhì)量M值，非常方便?！镜湫屠}】【例題2】假設(shè)地球和火星都繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球到太陽的距離小于火星到太陽的距離，那么()A地球公轉(zhuǎn)周期大于火星的公轉(zhuǎn)周期B地球公轉(zhuǎn)的線速度小于火星公轉(zhuǎn)的線速度C地球公轉(zhuǎn)的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的加速度D地球公轉(zhuǎn)的角速度大于火星公轉(zhuǎn)的角速度【答案】D名師點(diǎn)睛天體運(yùn)動(dòng)問題解決技巧(1)比較圍繞同一個(gè)中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的v、T、an等物理量的大小時(shí)，可考慮口訣“越遠(yuǎn)越慢”(v、T)、“越遠(yuǎn)越小”(an)。(2)涉及繞同一個(gè)中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的計(jì)算問題時(shí)，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，則應(yīng)考慮黃金代換式gR2GM(mgG)

7、的應(yīng)用。(3)若已知量或待求量中涉及v或或T，則應(yīng)考慮從Gmm2rmr中選擇相應(yīng)公式應(yīng)用 【針對(duì)訓(xùn)練】為了研究太陽演化進(jìn)程，需知道目前太陽的質(zhì)量M。已知地球半徑R64106m，地球質(zhì)量m61024kg，日地中心的距離r151011m，地球表面處的重力加速度g10m/s2,1年約為32107s，試估算目前太陽的質(zhì)量M(保留二位有效數(shù)字，引力常量未知)【答案】M2.01030kg?！窘馕觥吭O(shè)T為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期，則由萬有引力定律和動(dòng)力學(xué)知識(shí)得，Gm()2r對(duì)地球表面物體m，有mgG兩式聯(lián)立，得M代入已知數(shù)據(jù)得M2.01030kg。知識(shí)點(diǎn)三、發(fā)現(xiàn)未知天體1海王星的發(fā)現(xiàn)英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國(guó)年輕的天文學(xué)家勒維耶根據(jù)天王星的觀測(cè)資料，利用萬有引力定律計(jì)算出天王星外“新”行星的軌道。1846年9月23日，德國(guó)的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星海王星。2其他天體的發(fā)現(xiàn)近100年來，人們?cè)诤Ｍ跣堑能壍乐庥职l(fā)現(xiàn)了冥王星、