2026年全國高中物理競賽(決賽)量子力學初步知識拓展與應用試題及答案1.單選題（每題6分，共30分）1.1氫原子基態(tài)電子最概然徑向距離r?對應的徑向概率密度極大值滿足A.r?=a?B.r?=2a?C.r?=a?/2D.r?=√2a?答案：A解析：基態(tài)徑向概率密度P(r)=4πr2|R??(r)|2，R??(r)=2a?^{-3/2}e^{-r/a?}，求導得極值點r?=a?。1.2一維無限深勢阱(0,L)內(nèi)質(zhì)量為m的粒子處于疊加態(tài)ψ(x)=A[sin(πx/L)+isin(2πx/L)]，測得能量E?=π2?2/(2mL2)的概率為A.1/2B.1/√2C.1D.3/4答案：A解析：歸一化后|A|2=1/2，能量本征態(tài)φ?與φ?系數(shù)模方各1/2，故測得E?概率1/2。1.3若某二維各向同性諧振子勢V(x,y)=?mω2(x2+y2)，其能級簡并度隨主量子數(shù)N=n_x+n_y的變化規(guī)律為A.N+1B.N2C.2N+1D.(N+1)(N+2)/2答案：A解析：二維諧振子能級E_N=(N+1)?ω，簡并度等于非負整數(shù)解(n_x,n_y)數(shù)目，即N+1。1.4電子自旋在磁場B=B??中的哈密頓量H=μ_BB?σ_z，若t=0時自旋沿+x方向，則t=π?/(2μ_BB?)時自旋指向A.+yB.?yC.+zD.?x答案：A解析：拉莫爾進動角頻率Ω=2μ_BB?/?，時間t=π?/(2μ_BB?)對應旋轉(zhuǎn)π/2，初始+x轉(zhuǎn)+y。1.5某量子系統(tǒng)可觀測量A滿足?2=?，則其本征值只能取A.0,1B.±1C.±iD.任意實數(shù)答案：B解析：?2=??本征值λ2=1?λ=±1。2.多選題（每題8分，共40分，選對不全得4分，錯選0分）2.1關(guān)于一維方勢壘穿透，下列說法正確的是A.當粒子能量E小于勢壘高度V?時透射系數(shù)T可能非零B.T隨勢壘寬度a增加而指數(shù)衰減C.透射共振可出現(xiàn)在E>V?情形D.透射系數(shù)與粒子質(zhì)量m無關(guān)答案：A,B,C解析：D錯誤，T依賴m。2.2對氫原子n=3,l=2的態(tài)，下列量子數(shù)組合(m,m_s)中哪些物理上允許A.(2,?)B.(?1,??)C.(3,?)D.(0,??)答案：A,B,D解析：m取值?l…l，C中m=3>l=2不合法。2.3關(guān)于泡利不相容原理，下列敘述正確的是A.適用于全同費米子體系B.保證原子中電子基態(tài)能量有限C.導致白矮星電子簡并壓D.對玻色子同樣成立答案：A,B,C解析：D錯誤，玻色子不受限。2.4考慮兩電子自旋單態(tài)|Ψ??=1/√2(|↑↓??|↓↑?)，下列算符期望值不為零的是A.S_x?S_xB.S_z?IC.S2D.S_z?S_z答案：A,C解析：單態(tài)S=0，C期望0；A為??2/4≠0。2.5關(guān)于量子芝諾效應，下列說法正確的是A.頻繁觀測可抑制量子態(tài)演化B.需要連續(xù)投影測量C.與測量間隔Δt→0相關(guān)D.僅對衰變系統(tǒng)有效答案：A,B,C解析：D錯誤，對一般演化亦有效。3.填空題（每題10分，共50分）3.1一維自由粒子波包初始高斯型ψ(x,0)=(π^{?}a)^{-?}exp(?x2/2a2+ik?x)，則t時刻波包中心位置x_c(t)=________。答案：x_c(t)=?k?t/m解析：群速度v_g=?k?/m。3.2對勢場V(x)=?αδ(x)，質(zhì)量m的粒子僅存在一個束縛態(tài)，其能量E=________。答案：E=?mα2/(2?2)解析：邊界條件得κ=mα/?2，E=??2κ2/(2m)。3.3氫原子2p→1s躍遷電偶極輻射的波長λ=________nm（保留整數(shù)）。答案：122解析：ΔE=10.2eV，λ=hc/ΔE≈122nm。3.4某量子比特初始|0?，經(jīng)Hadamard門后再繞y軸轉(zhuǎn)π/2，最終態(tài)在計算基下表示為________。答案：1/√2(e^{iπ/4}|0?+e^{-iπ/4}|1?)解析：H|0?=(|0?+|1?)/√2，Ry(π/2)=exp(?iπσ_y/4)。3.5對三維箱(邊長L)內(nèi)相對論性粒子能譜ε_p=pc，基態(tài)能量與體積V關(guān)系為E?∝V^{α}，則指數(shù)α=________。答案：?1/3解析：E?=?c(π/L)(12+12+12)^{?}∝V^{?1/3}。4.計算題（共80分）4.1（20分）一維半壁諧振子勢V(x)=?mω2x2(x≥0),V(x)=∞(x<0)。(a)寫出邊界條件并給出允許能級表達式；(b)求基態(tài)波函數(shù)；(c)計算基態(tài)在經(jīng)典禁區(qū)的概率。答案：(a)ψ(0)=0，奇宇稱解被保留，能級E_n=(2n+3/2)?ω,n=0,1,2…(b)基態(tài)對應n=0的奇解，經(jīng)歸一化ψ?(x)=2(mω/π?)^{1/4}(mω/?)^{1/2}xe^{?mωx2/2?}(c)經(jīng)典禁區(qū)x>x_c，其中?mω2x_c2=E??x_c=√(5?/mω)。概率P=∫_{x_c}^{∞}|ψ?|2dx=∫_{a}^{∞}4ξ2e^{?ξ2}dξ/√π,ξ=x√(mω/?)數(shù)值積分得P≈0.111。4.2（20分）兩自旋?粒子相互作用哈密頓量H=JS??·S??+Bμ?(S_{1z}+S_{2z})，其中J>0，μ?>0。(a)求本征能量并標注總自旋量子數(shù)S；(b)當B=J/μ?時，畫出能級隨B變化的示意圖；(c)若初始態(tài)|↑↓?，求t時刻再測得|↑↓?的概率。答案：(a)總自旋S=1,0。E_{S=1}=J?2/4+Bμ?m_S,m_S=1,0,?1E_{S=0}=?3J?2/4(b)線性Zeeman分裂，S=1三線斜率±μ?B,0，S=0水平線。(c)初態(tài)投影到本征態(tài)：|↑↓?=1/√2(|1,0?+|0,0?)時間演化P(t)=|?↑↓|e^{?iHt/?}|↑↓?|2=?[1+cos(J?t)]振蕩周期T=2π/(J?)。4.3（20分）一維周期勢V(x)=V?cos(2πx/a)，采用近自由電子模型。(a)寫出布里淵區(qū)邊界k=π/a處的能隙表達式至V?最低階；(b)若V?=2eV，a=0.3nm，計算能隙寬度；(c)求電子在帶底的有效質(zhì)量m。答案：(a)簡并微擾，能隙ΔE=|V_{2π/a}|=V?/2(b)ΔE=1eV(c)有效質(zhì)量m=?2/(?2E/?k2)|_{k=0}拋物線近似得m=m[1+(V?/4E_{π/a})]^{-1}E_{π/a}=?2(π/a)2/(2m)≈4.18eV?m≈0.83m_e。4.4（20分）量子光學：單模腔場與二能級原子相互作用，哈密頓量H=?ωa?a+??ω?σ_z+?g(aσ_++a?σ_?)。(a)寫出守恒量并解釋；(b)若初始原子在基態(tài)|g?，腔場為相干態(tài)|α?，求t時刻原子激發(fā)態(tài)布居概率P_e(t)至g2階；(c)當ω=ω?且α=√5，估算第一次崩塌時間τ_c。答案：(a)總激發(fā)數(shù)N=a?a+σ_+σ_?守恒，[H,N]=0。(b)微擾展開P_e(t)=g2|α|2t2sinc2[(ω?ω?)t/2]+O(g?)(c)崩塌時間由反沖相位擴散得τ_c≈1/(g√(|α|2+1))取g=2π×100MHz，|α|2=5?τ_c≈0.35ns。5.綜合探究題（30分）5.1拓撲量子比特的編織統(tǒng)計考慮Majorana零模γ?,γ?,γ?位于一維拓撲超導鏈的三個結(jié)點，滿足γ_i?=γ_i，{γ_i,γ_j}=2δ_{ij}。定義Dirac費米子c=(γ?+iγ?)/2。(a)證明通過編織γ?與γ?可實現(xiàn)非阿貝爾幺正門U=exp(πγ?γ?/4)；(b)若初態(tài)|0?_c（無費米子占據(jù)），經(jīng)兩次編織操作U??U??后，求最終態(tài)在計算基{|0?,|1?}下的表示；(c)討論該操作對拓撲保護的影響，并與阿貝爾任意子交換相位比較。答案：(a)利用Clifford代數(shù)，[γ?γ?,γ?]=0，編織生成演化Uγ?U?=γ?,Uγ?U?=?γ?得證。(b)兩次編織：U??|0?=1/√2(|0?+e^{iπ/4}|1?)U??作用后整體相位累積，最終態(tài)|ψ?=1/√2(e^{iπ/8}|0?+e^{-iπ/8}|1?)(c)非阿貝爾操作使態(tài)進入疊加，抗局部擾動；阿貝爾任意子僅累積可測相位，拓撲保護較弱。實驗上可通過隧穿電流測量非阿貝爾相位差。6.實驗設計題（20分）6.1冷原子模擬Dirac方程提出利用光晶格與拉曼耦合實現(xiàn)一維Dirac哈密頓量H_D=v_Fσ_xp_x+mv_F2σ_z的實驗方案。要求：(a)畫出能帶示意圖并標出狄拉克點；(b)給出有效速度v_F與拉曼耦合強度Ω_R的關(guān)系；(c)說明如何通過調(diào)節(jié)失諧δ打開質(zhì)量隙m并測量其大??；(d)討論如何觀測Zit