1、太陽(yáng) 定位的多目標(biāo)優(yōu)化模型摘要本文針對(duì)太陽(yáng)定位問(wèn)題，基于多目標(biāo)優(yōu)化模型、多重搜索算法、曲線擬合和幾何知識(shí)，得出了長(zhǎng)度的變化規(guī)律，根據(jù)直桿的頂點(diǎn)坐標(biāo)，確定了其可能的地點(diǎn)和日期。 對(duì)于長(zhǎng)度變化模型的建立問(wèn)題，首先結(jié)合幾何知識(shí)，給出影長(zhǎng)與緯度、日數(shù)（自每年 1 月 1 日開(kāi)始計(jì)算）、時(shí)間三個(gè)參數(shù)之間的解析關(guān)系式。然后分別在另外兩個(gè)參數(shù)一定的情況下，分析影長(zhǎng)隨余下參數(shù)的變化規(guī)律（地點(diǎn)以為例）。在緯度與日數(shù)一定時(shí)，影長(zhǎng)隨時(shí)間呈先減小后增大的趨勢(shì)，并在正午 12 點(diǎn)（東經(jīng)116 ）時(shí)刻達(dá)到最小值；在緯度（北緯 39 度 54 分 26 秒）與時(shí)間（東經(jīng)116 的正午 12 點(diǎn)）一定時(shí)，影長(zhǎng)隨日數(shù)也呈先減小

2、后增大的變化規(guī)律；在日數(shù)與時(shí)間一定時(shí)，影長(zhǎng)與緯度（ 0 - 60N ）呈正相關(guān)。2015 年 10 月 22 日北京時(shí)間（東經(jīng)120 ）9:00-15:00 之間廣場(chǎng) 3 米高直桿的太陽(yáng)長(zhǎng)度呈先減小后增大的變化規(guī)律，且在正午 12 點(diǎn)（東經(jīng)116 ）時(shí)刻達(dá)到最小值 3.782 米。 由固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)頂點(diǎn)坐標(biāo)確定直桿所處的可能位置，基于各個(gè)時(shí)刻的長(zhǎng)度及所測(cè)時(shí)間段內(nèi)方向變化的角度，建立了多目標(biāo)優(yōu)化模型。將各時(shí)刻地球上任一點(diǎn)影長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)時(shí)刻影長(zhǎng)實(shí)測(cè)值差的絕對(duì)值之和最小作為目標(biāo)函數(shù)之一，將所測(cè)時(shí)間段內(nèi)地球任一點(diǎn)太陽(yáng)方位角變化值與實(shí)測(cè)方向變化角度差值的絕對(duì)值最小作為目標(biāo)函數(shù)之二。約束條件為經(jīng)緯

3、度和桿長(zhǎng)的范 圍。最后通過(guò)運(yùn)用兩次搜索算法，得出直桿所處的可能地點(diǎn)為：地點(diǎn)在東經(jīng)109.2325、北緯17.7525 （海南?。└浇?，桿長(zhǎng)為 2 米；地點(diǎn)在東經(jīng)108.755 、南緯1.295（馬來(lái)西亞）附近，桿長(zhǎng)為 1.9 米。同時(shí)對(duì)結(jié)果的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。 對(duì)于直桿所處位置及日期確定的問(wèn)題，基于各時(shí)刻的長(zhǎng)度及各時(shí)刻相對(duì) 于起始時(shí)刻方向變化的角度，建立了多目標(biāo)優(yōu)化模型。將各時(shí)刻地球任一點(diǎn) 影長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)時(shí)刻影長(zhǎng)實(shí)測(cè)值差的絕對(duì)值之和最小作為目標(biāo)函數(shù)之一，將各時(shí)刻地球任一點(diǎn)太陽(yáng)方位角變化值與實(shí)測(cè)各時(shí)刻方向變化角度差的絕對(duì)值之和最 小作為目標(biāo)函數(shù)之二。約束條件為經(jīng)緯度、桿長(zhǎng)和日期的范圍。通過(guò)多重搜索算

4、 法，得出所給附件 2 中可能桿長(zhǎng)為 2 米，直桿所處的可能地點(diǎn)和日期為：地點(diǎn)在東經(jīng)79.6 ，北緯40.1（）附近，日期為 7 月 18 日、5 月 27 日。所給附件 3 中可能桿長(zhǎng)為 3 米，直桿所處的可能地點(diǎn)和日期為：地點(diǎn)在東經(jīng)111.4 ，北緯 30.4 （湖北?。└浇掌跒?1 月 28 日；地點(diǎn)在東經(jīng)129 ，北緯59.9 （俄羅斯）附近，日期為 8 月 11 日。南半球與北半球的結(jié)果關(guān)于太陽(yáng)直射點(diǎn)和夏至日大致呈對(duì)稱分布。 對(duì)于視頻拍攝地點(diǎn)和日期的確定問(wèn)題，首先基于對(duì)視頻的處理和坐標(biāo)變換得出實(shí)際影長(zhǎng)，然后通過(guò)曲線擬合確定出拍攝地點(diǎn)的經(jīng)度范圍。忽略攝像機(jī)拍攝角度對(duì)長(zhǎng)度測(cè)量的影響，

5、基于各時(shí)刻的影長(zhǎng)建立優(yōu)化模型。將各時(shí)刻地球任一點(diǎn)影長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)時(shí)刻影長(zhǎng)實(shí)測(cè)值差的絕對(duì)值之和最小作為目標(biāo)函數(shù)，約束條件為經(jīng)緯度和日期的范圍。通過(guò)遍歷搜索算法，得出了視頻拍攝的可能地點(diǎn)和日期。 關(guān)鍵詞：定位 多目標(biāo)優(yōu)化 多重搜索算法 30 一、問(wèn)題重述1. 建立長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型，分析長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律， 并應(yīng)用所建立的模型畫(huà)出 2015 年 10 月 22 日北京時(shí)間 9:00-15:00 之間廣場(chǎng)（北緯 39 度 54 分 26 秒,東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直桿的太陽(yáng)長(zhǎng)度的變化曲線。 2. 根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng) 頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地

6、點(diǎn)。將所建立的模型應(yīng)用于題目中所給附件 1 的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)。 3. 根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。將所建立的模型分別應(yīng)用于題目中所給題目中所給附件2 和題目中所給附件3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)與日期。 4. 題目中所給附件 4 為一根直桿在太陽(yáng)下的變化的視頻，并且已通過(guò)某種方式估計(jì)出直桿的高度為 2 米。建立確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用所建立的模型給出若干個(gè)可能的拍攝地點(diǎn)。 若拍攝日期未知，根據(jù)視頻確定出拍攝地點(diǎn)與日期。 二、問(wèn)題分析太陽(yáng)定位技術(shù)是對(duì)視頻數(shù)據(jù)分析的一種有效方法。通過(guò)對(duì)視頻進(jìn)行圖像處理

7、，可得出各個(gè)時(shí)刻直桿的太陽(yáng)頂點(diǎn)坐標(biāo)。難點(diǎn)在于通過(guò)所得出的坐標(biāo)數(shù)據(jù)找出視頻拍攝的地點(diǎn)和日期。需要我們建立在地球不同地點(diǎn)（經(jīng)緯度）、不同日期時(shí)刻下，描述物體長(zhǎng)度變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而基于所建模型給出視頻拍攝日期和可能的地點(diǎn)。 2.1 長(zhǎng)度變化規(guī)律的分析建立長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型，分析長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并在給定地理位置、區(qū)時(shí)時(shí)間段、直桿高度的情況下繪制出直桿的太陽(yáng)長(zhǎng)度的變化曲線。本題中因變量為的長(zhǎng)度，自變量為所處地理位置的經(jīng)緯度、所觀測(cè)的日期、時(shí)間段。考慮通過(guò)查找文獻(xiàn)資料，找出長(zhǎng)度與每個(gè)參數(shù)間的關(guān)系， 通過(guò)機(jī)理分析來(lái)確定其與這些參數(shù)之間的定量解析式，依據(jù)關(guān)系式來(lái)進(jìn)一步分析長(zhǎng)度關(guān)于參數(shù)變化的普

8、遍規(guī)律。 已給定部分參數(shù)（經(jīng)緯度為北緯 39 度 54 分 26 秒，東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒、觀測(cè)日期為 2015 年 10 月 22 日）時(shí)，我們可將解析式簡(jiǎn)化，得出長(zhǎng)度與具體時(shí)間段（北京時(shí)間 9:00-15:00 之間）之間的關(guān)系，進(jìn)而由函數(shù)關(guān)系，利用 matlab 繪制出桿高為 3m 的直桿的太陽(yáng)長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化曲線。 2.2 依據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)確定直桿所處地點(diǎn)的分析問(wèn)題 2 要求根據(jù)直桿在水平地面上太陽(yáng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)給出其所處的可能地點(diǎn)?？蓪⑵湟暈橐粋€(gè)優(yōu)化問(wèn)題，核心在于目標(biāo)函數(shù)的確定。在已知測(cè)量日期和時(shí)間的前提下，在全球范圍內(nèi)找出較優(yōu)的與直桿坐標(biāo)相符合的地點(diǎn)（經(jīng)緯度坐標(biāo)）。 首先

9、從優(yōu)化目標(biāo)入手，對(duì)于直桿的確定，我們可將題目中所給附件中所給出的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為其它條件來(lái)利用。每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的坐標(biāo)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)影長(zhǎng)，每 3 分鐘的時(shí)間間隔也對(duì)應(yīng)于一個(gè)方向的變化角度，這兩個(gè)條件可同時(shí)利用來(lái)確定的坐標(biāo)。另一方面，地球上每個(gè)位置（經(jīng)緯度坐標(biāo)）、日期、時(shí)間段的太陽(yáng)也會(huì)對(duì)應(yīng)也可對(duì)應(yīng)出固定高度直桿的影長(zhǎng)及方向的變化角度。使每個(gè)地點(diǎn)的長(zhǎng)度和方向變化角度與實(shí)測(cè)值間的差值達(dá)到最小，則該位置即為可能的直桿所處地點(diǎn)。 對(duì)于搜索可能符合地點(diǎn)的方法，考慮通過(guò)多次搜索來(lái)減小搜索范圍，逐步限制條件，進(jìn)而找到較優(yōu)解。 2.3 依據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)確定直桿所處地點(diǎn)和日期的分析問(wèn)題 3 與問(wèn)題 2 的不同之處在于直桿所處的日

10、期也是未知的，這在一定程度上增加了優(yōu)化模型求解的難度。 該題模型的建立可建立在問(wèn)題 2 模型的基礎(chǔ)之上，難點(diǎn)在于：由于日期沒(méi)有給出，使得優(yōu)化模型的決策變量可能增加了一個(gè)。但優(yōu)化目標(biāo)的分析仍可與問(wèn)題 2 中相同。從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，在搜索可能符合的地點(diǎn)和日期（即模型求解）時(shí)， 不但要給出經(jīng)緯度、桿長(zhǎng)的搜索范圍和步長(zhǎng)，而且需給出日期的范圍和步長(zhǎng)（再套一層循環(huán)）。同樣考慮通過(guò)多次搜索來(lái)減小搜索范圍，逐步限制條件，進(jìn)而找出較優(yōu)解。 2.4 確定視頻拍攝地點(diǎn)與日期的分析視頻中的直桿變化只是平面下的圖像，它與實(shí)際空間中物體的位置等有很大不同?？紤]運(yùn)用計(jì)算機(jī)圖像處理中和投影的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析。難點(diǎn)在于如何將視

11、頻圖像中直桿的頂點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為實(shí)際的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即與投影知識(shí)的靈活運(yùn)用。 首先，需要對(duì)題目中所給附件視頻進(jìn)行處理。每隔一定時(shí)間（例如 3 分鐘） 取出視頻中直桿的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用來(lái)對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這樣，便將問(wèn)題簡(jiǎn)化至第2 問(wèn)的程度。所以仍考慮建立優(yōu)化模型，通過(guò)多次搜索來(lái)減小搜索范圍，逐步限制條件，進(jìn)而找到視頻拍攝的可能地點(diǎn)和日期。 三、模型假設(shè)1. 假設(shè)海拔對(duì)長(zhǎng)度的影響不大。 2. 假設(shè)在問(wèn)題四中相機(jī)拍攝角度對(duì)實(shí)際長(zhǎng)度的測(cè)量值影響不大。 3. 假設(shè)題目中所給的直桿頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)是實(shí)時(shí)實(shí)地測(cè)量得到的，是真實(shí)可靠的。 四、名詞解釋與變量說(shuō)明4.1 名詞解釋太陽(yáng)高度角：對(duì)于地球上的某個(gè)地點(diǎn)，太陽(yáng)高度角是指某地太

12、陽(yáng)光線與通過(guò)該地與地心連線的地表切線的夾角1 。 太陽(yáng)赤緯：地球赤道平面與太陽(yáng)和地球中心的連線之間的夾角1 。 太陽(yáng)方位角：太陽(yáng)直射光線在地平面上的投影線與地平面正南向所夾的角，通常以南點(diǎn)為0 ，向西為正值，向東為負(fù)值2 。 4.2 變量說(shuō)明變量符號(hào)變量含義變量單位 d赤度角度 j觀測(cè)地的地理緯度度 a觀測(cè)地的地理經(jīng)度度 h太陽(yáng)高度角度 t地方時(shí)（太陽(yáng)時(shí)角）度 L長(zhǎng)度m N日數(shù)（自每年 1 月 1 日開(kāi)始計(jì)算）天 L0 (i)第 i 個(gè)時(shí)刻直桿原始影長(zhǎng)mLaj(i)地球任意位置（用經(jīng)緯度表示）第 im個(gè)時(shí)刻太陽(yáng)照射下的影長(zhǎng) qaj(i)地球任意位置（用經(jīng)緯度表示）第 i個(gè)時(shí)刻方向變化的角度 度

13、H直桿的高度m五、模型的建立與求解5.1 長(zhǎng)度變化的結(jié)構(gòu)方程模型的長(zhǎng)度變化與所處的地理位置（經(jīng)緯度）、區(qū)時(shí)、所處日期等密切相關(guān)， 根據(jù)所求出長(zhǎng)度與參數(shù)的解析關(guān)系式，來(lái)繪制太陽(yáng)長(zhǎng)度隨各個(gè)參數(shù)的變化曲線。 5.1.1長(zhǎng)度的計(jì)算計(jì)算的長(zhǎng)度首先需計(jì)算太陽(yáng)高度角的大小。太陽(yáng)高度角是指太陽(yáng)光的入射方向和地平面之間的夾角，其隨著地方時(shí)和太陽(yáng)的赤緯的變化而變化。由于赤 緯值的日變化很小，一年內(nèi)任何一天的赤緯角（用d表示）計(jì)算公式1 為： sind= 0.39795 cos0.98563(N -173)式中，N 為日數(shù)，自每年 1 月 1 日開(kāi)始計(jì)算。太陽(yáng)高度角（用 h 表示）計(jì)算公式1 ： （1） sin(h

14、) = sinjsind+ cosjcosdcos t（2） 其中，j觀測(cè)地的地理緯度（太陽(yáng)赤緯與地理緯度都是北緯為正，南緯為負(fù)）； t地方時(shí)（太陽(yáng)時(shí)角）； h太陽(yáng)高度角。 式（2）中，時(shí)角 t 的與時(shí)間t0 的轉(zhuǎn)化關(guān)系式為： t = (t0 -12) 15（3） 將北京時(shí)間用t 表示，地理位置的經(jīng)度用a表示，各個(gè)經(jīng)度所對(duì)應(yīng)的時(shí)間（即地方時(shí)）即為t0 與t 的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： t = t-8 + a015由幾何關(guān)系可知，長(zhǎng)度 L 與太陽(yáng)高度角的關(guān)系式為： （4） 式中，H 為物體的實(shí)際長(zhǎng)度。 L = H cot(h)（5） 聯(lián)立式（1）（5），有長(zhǎng)度的最終計(jì)算公式： L = H cotarcsin

15、(sinjsind+ cosjcosdcos t)d= arcsin0.39795 cos0.98563(N -173)（6） 0t = (t -12) 155.1.2 長(zhǎng)度關(guān)于參數(shù)的變化規(guī)律通過(guò)以上分析，我們已經(jīng)給出長(zhǎng)度 L 與緯度j、日數(shù) N、時(shí)間t0 三個(gè)參數(shù)（由于經(jīng)度影響時(shí)區(qū)的確定，進(jìn)而影響當(dāng)?shù)貢r(shí)刻的確定，故經(jīng)度對(duì)長(zhǎng)度的數(shù)的值，然后分析長(zhǎng)度 L 隨余下一個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律。故我們列出一下三種情況（其中直桿的高度為 3 米）： （I） 緯度j與日數(shù) N一定，長(zhǎng)度 L隨時(shí)間t0 的變化規(guī)律我們假設(shè)地點(diǎn)為北京廣場(chǎng)（北緯 39 度 54 分 26 秒，東經(jīng) 116 度 23 分29 秒），日期為

16、 2015 年 10 月 22 日，直桿高度為 3 米。由于北京時(shí)間為東經(jīng) 120 度下的區(qū)時(shí)，故我們先將其轉(zhuǎn)化為東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒位置下的時(shí)間?；谑?（4），具體的轉(zhuǎn)化公式為： t = t-8 + 116 + 23 / 60 + 29 / 3600015式中， t 為北京時(shí)間。 該種情況下長(zhǎng)度 L 在對(duì)應(yīng)時(shí)刻下的長(zhǎng)度值如表 1 所示。 表 1 對(duì)應(yīng)時(shí)刻下長(zhǎng)度表 時(shí)刻 9:00:00 9:15:00 9:30:00 9:45:00 10:00:00 長(zhǎng)度 L7.573 6.791 6.164 5.653 5.234 時(shí)刻 10:15:00 10:30:00 10:45:00

17、 11:00:00 11:15:00 長(zhǎng)度 L4.887 4.600 4.365 4.174 4.0232 時(shí)刻 11:30:00 11:45:00 12:00:00 12:15:00 12:30:00 長(zhǎng)度 L3.909 3.829 3.782 3.768 3.785 時(shí)刻 12:45:00 13:00:00 13:15:00 13:30:00 13:45:00 長(zhǎng)度 L3.834 3.916 4.033 4.187 4.381 時(shí)刻 14:00:00 14:15:00 14:30:00 14:45:00 15:00:00 長(zhǎng)度 L4.620 4.911 5.263 5.689 6.207

18、表 1 中列出了北京時(shí)間 9:00-15:00 的時(shí)間段內(nèi)每隔 15 分鐘記錄一次的長(zhǎng)度值。 另一方面，我們繪制出了長(zhǎng)度 L 隨時(shí)間t0 的變化曲線，如圖 1 所示。 圖 1 緯度j與日數(shù) N 一定時(shí)影長(zhǎng) L 隨時(shí)間t0 的變化圖 長(zhǎng)度呈觀察圖 1，在北京時(shí)間 9:00-15:00 的時(shí)間段內(nèi) 先減小后增大的趨勢(shì)，正午 12 點(diǎn)時(shí)刻達(dá)到最小值 3.782 米，9:00 和 15:00長(zhǎng)度分別為 7.573 米和 6.207 米。 （II） 緯度j與時(shí)間t0 一定，長(zhǎng)度 L隨日數(shù) N的變化規(guī)律我們假設(shè)地點(diǎn)為北京廣場(chǎng)（北緯 39 度 54 分 26 秒，東經(jīng) 116 度 23 分29 秒），時(shí)間為

19、北京時(shí)間正午 12:00（經(jīng)度范圍確定），該種情況下長(zhǎng)度 L 隨日數(shù) N 的變化曲線如圖 2 所示。 圖 2 緯度j與時(shí)間t0 一定時(shí)影長(zhǎng) L 隨日數(shù) N 的變化圖 圖 2數(shù) N 為自每年的 1 月 1 日開(kāi)始計(jì)算的天數(shù)。在一年（365 天）的時(shí)間里，北京 廣場(chǎng)正午 12:00 的直桿長(zhǎng)度隨日數(shù) N 呈先減小再增大的變化趨勢(shì)，其中夏至日（6 月 23 日）影長(zhǎng)最短。 （III） 日數(shù) N與時(shí)間t0 一定，長(zhǎng)度 L隨緯度j的變化規(guī)律我們假設(shè)日期為 2015 年 10 月 22 日（即日數(shù) N 確定），時(shí)間為北京時(shí)間正午 12:00（經(jīng)度范圍確定），該種情況下長(zhǎng)度 L 隨緯度j的變化曲線如圖 3

20、所示。 圖 3 日數(shù) N 與時(shí)間t0 一定時(shí)影長(zhǎng) L 隨緯度j的變化圖 觀察圖 3，我們?nèi)【暥鹊姆秶鸀? - 60N ，繪制影長(zhǎng) L 隨緯度j的變化曲線。2015 年 10 月 22 日北京時(shí)間正午 12:00 下長(zhǎng)度 L 與緯度j（ 0 - 60N ）呈正相關(guān)，即直桿的長(zhǎng)度 L 隨著緯度j的增大而增大。 5.1.3 特定參數(shù)下影長(zhǎng)的變化在給定地理位置（北京廣場(chǎng)，即北緯 39 度 54 分 26 秒，東經(jīng) 116 度23 分 29 秒）、所測(cè)日期（2015 年 10 月 22 日）、區(qū)時(shí)時(shí)間段（北京時(shí)間 9:00-15:00）、直桿高度（3 米）的情況下，繪制出直桿的太陽(yáng)長(zhǎng)度的變化曲線，即是特

21、定參數(shù)下太陽(yáng)影長(zhǎng)的變化。 這與 5.1.2 中所給出的情況 I（緯度j與日數(shù) N 一定，長(zhǎng)度 L 隨區(qū)時(shí)t0 的 變化規(guī)律）如出一轍，該條件下直桿的太陽(yáng)長(zhǎng)度變化曲線即如圖 1 所示。在北京時(shí)間 9:00-15:00 的時(shí)間段內(nèi)長(zhǎng)度呈先減小后增大的趨勢(shì)，正午 12 點(diǎn)時(shí)刻達(dá)到最小值 3.782 米，9:00 和 15:00 長(zhǎng)度分別為 7.573 米和 6.207 米。 5.2 根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)確定直桿位置的多目標(biāo)優(yōu)化模型在確定的日期和時(shí)間段，對(duì)應(yīng)于地球上不同的經(jīng)緯度，太陽(yáng)照射下垂直于地面直桿的影長(zhǎng)變化會(huì)有所不同。通過(guò)優(yōu)化模型，以整個(gè)地球?yàn)樗阉鞣秶跐M足一定的限制條件下，找出與題目中所給附件 1

22、中直桿長(zhǎng)度坐標(biāo)變化相差較小的地理位置（經(jīng)緯度），即為直桿所處的可能地點(diǎn)。 5.2.1 多目標(biāo)優(yōu)化模型的建立（一）目標(biāo)函數(shù)一的確立題目中所給附件 1 中長(zhǎng)度的測(cè)量是在 2015 年 4 月 18 日（即日數(shù) N 已經(jīng)確定）北京時(shí)間 14:42-15:42 的時(shí)間段內(nèi)，每隔 3 分鐘測(cè)量一次，共計(jì) 21 次。 我們已知每個(gè)時(shí)間點(diǎn)（i=1,2，21）的實(shí)際 長(zhǎng)度 L0 (i) （可由所給各個(gè)時(shí)刻的頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算得出），設(shè)全球范圍內(nèi)任一點(diǎn)（用經(jīng)緯度表示）第 i 個(gè)時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為 Laj(i) ，其中a表示經(jīng)度，j表示緯度，故可建立優(yōu)化模 型，有 21mini=1Laj(i) - L0 (i)-180

23、 a 180s.t.- 90 j 90 0 H 6m其中，決策變量為經(jīng)度a、緯度j、直桿的實(shí)際長(zhǎng)度 H。 實(shí)測(cè)各個(gè)時(shí)刻 L0 (i) 的計(jì)算公式為： x2 + y2iiL0 (i) =（7） 其中，xi 、yi 分別表示第 i 個(gè)時(shí)刻題目中所給附件 1 中實(shí)測(cè)頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)值。 根據(jù)式（6）來(lái)計(jì)算太陽(yáng)長(zhǎng)度，這里的 Laj(i) 即為（6）中的 L?？紤]到 實(shí)際測(cè)量情況下直桿長(zhǎng)度有一定的限制，我們將其限制為 6m，具有一定的普遍性。 （二）目標(biāo)函數(shù)二的確立另一方面，在北京時(shí)間 14:42-15:42 的時(shí)間段內(nèi)，直桿方向變化的角度可通過(guò)幾何知識(shí)求解。以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為 xy 平面，在

24、14：42 這一 時(shí)刻，實(shí)測(cè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x1 , y1 ) =（1.0365,0.4973），設(shè)此刻 方向與水平 x 軸的夾角為q1 ；在 15：42 這一時(shí)刻，實(shí)測(cè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x21 , y21 ) =（1.8277,0.6135），設(shè)此刻方向與水平 x 軸的夾角為q21 。設(shè)兩夾角之差（即方向在所測(cè)時(shí)間段內(nèi)變化的角度）為q0 ，結(jié)合幾何知識(shí)，有 xxtanq = y1 ， tanq= y21代入計(jì)算得出q0 = 7.08 。 121121q0 = q1 -q21由于方向在所測(cè)時(shí)間段內(nèi)變化的角度q0 數(shù)值很小，并且每隔 3 分鐘 方向變化的角度極小，故該時(shí)間段內(nèi)總的變化角度q0 可用來(lái)代替描

25、述各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的 變化情況。 將全球范圍內(nèi)任一點(diǎn)（用經(jīng)緯度表示）在所測(cè)時(shí)間段內(nèi)對(duì)應(yīng)方向變化角度大小用qaj表示?；诖丝山?yōu)化模型，有 minqaj -q0-180 a 180s.t.- 90 j 90 0 H 6m將太陽(yáng)方位角記為qs ，其計(jì)算公式為： cosq = sin(h) sinj- sind（8） scos(h) cosj對(duì)應(yīng)于所搜索的位置（經(jīng)緯度），通過(guò)式（8），分別計(jì)算出北京時(shí)間 14:42 和15:42 時(shí)刻下的太陽(yáng)方位角數(shù)值qs1 和qs 21 ，則 qaj = qs1 -qs 21基于式（9），即可計(jì)算出所搜索位置太陽(yáng)方向變化角qaj的值。 （三）多目標(biāo)優(yōu)化模型的最終確立

26、（9） 基于（一）和（二）的分析，對(duì)于根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)確定直桿所處地點(diǎn)的問(wèn)題，我們給出最終的優(yōu)化模型： 21mini=1Laj(i) - L0 (i)minqaj -q0-180 a 180s.t.- 90 j 90 0 H 6m其中，經(jīng)度a、緯度j、直桿的實(shí)際長(zhǎng)度 H 為決策變量。優(yōu)化目標(biāo)中， Laj(i) 的計(jì)算公式為： Laj(i) = H cotarcsin(sinjsind+ cosjcosdcos t)d= arcsin0.39795 cos0.98563(N -173)0iit= (t -12) 15L0 (i) 的計(jì)算基于式（7），qaj的計(jì)算基于式（8）（9）。 5.2.2

27、模型的求解基于所建立的確定直桿所處地點(diǎn)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，給定合理的限制條件， 利用 matlab 進(jìn)行兩次循環(huán)搜索（第一次范圍較大，步長(zhǎng)較長(zhǎng)，精度??；第二次更為精確，范圍縮小，步長(zhǎng)減小，更為精確），最終確定出直桿所處的可能地點(diǎn)。 在求解過(guò)程中，我們規(guī)定東經(jīng)位置為正值，西經(jīng)位置為負(fù)值，北緯位置為正值， 南緯位置為負(fù)值。 （一）第一次搜索 首先進(jìn)行第一次循環(huán)搜索。搜索范圍為：全球（經(jīng)度范圍為-180 -180 ， 緯度范圍為- 90 - 90）范圍內(nèi)每隔1（即步長(zhǎng)為1 ）、直桿范圍（0-6m）內(nèi)每隔 0.1m（即步長(zhǎng)為 0.1m）。搜索限制條件為： 21i=1Laj(i) - L0 (i) 0.0

28、02mqaj -q0 0.002rad得出在該范圍且符合該限制條件的區(qū)域有兩個(gè)，分別為： （1）經(jīng)度范圍是107 -110 ，緯度范圍是16 -19 。 （2）經(jīng)度范圍是107 -110 ，緯度范圍是- 3 - 0 。另一方面，桿長(zhǎng)搜索范圍結(jié)果為 1.5m-4m。 （二）第二次搜索 然后進(jìn)行第二次循環(huán)搜索?；诘谝淮畏秶^大搜索后的結(jié)果下進(jìn)行搜索， 有兩種情況。搜索范圍分別為： （1）經(jīng)度107 -110 ，緯度16 -19 范圍內(nèi)每隔0.01 （即步長(zhǎng)為0.01 ）、直桿范圍（1.5m-4m）內(nèi)每隔 0.1m（即步長(zhǎng)為 0.1m）。 （2）經(jīng)度107 -110 ，緯度- 3 - 0 范圍內(nèi)每

29、隔0.01 （即步長(zhǎng)為0.01 ）、同樣直桿范圍（1.5m-4m）內(nèi)每隔 0.1m（即步長(zhǎng)為 0.1m）。 搜索限制條件為 21Laj(i) - L0 (i) 0.0013mi=1qaj -q0 0.0013rad最終得出該范圍內(nèi)符合限制條件的位置結(jié)果如表 2 所示。 表 2 直桿長(zhǎng)度及所處的可能地點(diǎn) 桿長(zhǎng)（m） 經(jīng)度（度） 緯度（度） 桿長(zhǎng)（m） 經(jīng)度（度） 緯度（度） 2109.2317.741.9108.74-1.342109.2317.751.9108.75-1.312109.2317.761.9108.76-1.282109.2417.761.9108.77-1.25分析表 2，滿足

30、限制條件的最終結(jié)果為： （1） 桿長(zhǎng)為 2 米時(shí)，對(duì)應(yīng)的地理位置為（東經(jīng) 109.23 度，北緯 17.74 度）、（東經(jīng) 109.23 度，北緯 17.75 度）、（東經(jīng) 109.23 度，北緯 17.76 度）、（東經(jīng) 109.24 度，北緯 17.76 度）。即在平均值（東經(jīng) 109.2325 度，北緯 17.7525 度）附近。 （2） 桿長(zhǎng)為 1.9 米時(shí)，對(duì)應(yīng)的地理位置為（東經(jīng) 108.74 度，南緯 1.34 度）、（東經(jīng) 108.75 度，南緯 1.31 度）、（東經(jīng) 108.76 度，南緯 1.28 度）、（東經(jīng) 108.77 度，南緯 1.25 度）。即在平均值（東經(jīng) 10

31、8.755 度，南緯 1.295 度）附近。 5.2.3 模型的檢驗(yàn)對(duì)于根據(jù)直桿頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)所得到的其所處可能位置點(diǎn)（經(jīng)緯度坐標(biāo)）， 我們對(duì)結(jié)果的可靠性進(jìn)行了驗(yàn)證。 首先，我們計(jì)算出了題中所給附件 1 中各個(gè)時(shí)刻（i=1,2，20）的方向與起始時(shí)刻方向之間的夾角。對(duì)于地理位置（東經(jīng) 109.2325 度，北緯17.7525 度），在北京時(shí)間 14:42-15:42 時(shí)間段內(nèi)，基于題中所給附件 1 的 21 個(gè)時(shí)刻，我們計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻與起始時(shí)刻方向之間的夾角。 同樣對(duì)于地理位置（東經(jīng) 108.755 度，南緯 1.295 度），也計(jì)算出了題中所給附件 1 的 20 個(gè)（除去起始時(shí)刻）時(shí)刻與起始時(shí)

32、刻方向之間的夾角。 其中我們記地理位置（東經(jīng) 109.2325 度，北緯 17.7525 度）為位置 1，記地理位置（東經(jīng) 108.755 度，南緯 1.295 度）為位置 2，對(duì)應(yīng)于原始數(shù)據(jù)、位置 1、位置 2 所計(jì)算出的夾角大小如表 3 所示。 表 3 誤差分析數(shù)據(jù)表（單位為 rad） 時(shí)刻序號(hào) 位置 1 各時(shí)刻與起始時(shí)刻方向夾角 原始數(shù)據(jù)各時(shí)刻與起始時(shí)刻方向夾角 位置 2 各時(shí)刻與起始時(shí)刻方向夾角 1 0.007989 0.007950 0.008163014 2 0.015706 0.015646 0.015961721 3 0.023171 0.023058 0.023417841

33、4 0.030398 0.030278 0.030551467 5 0.037404 0.037235 0.037381206 6 0.044203 0.044075 0.043924308 7 0.050808 0.050668 0.050196776 8 0.057230 0.057049 0.056213475 9 0.063481 0.063301 0.061988227 10 0.069570 0.069376 0.067533893 11 0.075509 0.075377 0.072862453 12 0.081305 0.081146 0.077985079 13 0.0869

34、67 0.086842 0.082912194 14 0.092502 0.092374 0.087653537 15 0.097918 0.097819 0.092218211 16 0.103222 0.103175 0.096614735 17 0.108419 0.108389 0.100851088 18 0.113516 0.113499 0.104934746 19 0.118518 0.118518 0.108872724 20 0.123431 0.123497 0.112671607 根據(jù)表 5，計(jì)算出位置 1、位置 2 各時(shí)刻夾角與實(shí)際夾角差值的平均值誤差分別為 0.00

35、01、0.0033。 橫坐對(duì)于表 5 中所給數(shù)據(jù)，我們以 1-20 個(gè)時(shí)間序號(hào)為標(biāo)，位置 1、2 各時(shí)刻與起始時(shí)刻方向夾角、原始數(shù)據(jù)各時(shí)刻與起始時(shí)刻方向夾角為三組縱坐 標(biāo)值，繪制誤差時(shí)刻序號(hào)折線圖，如圖 4 所示。 圖 4 誤差時(shí)刻序號(hào)折線圖 圖 4 比較直觀形象地表現(xiàn)了位置 1、2 各時(shí)刻與起始時(shí)刻方向夾角與原始數(shù)據(jù)各時(shí)刻與起始時(shí)刻方向夾角間差距的大小。其中，紅色菱形的點(diǎn)表示位置 1 各時(shí)刻與起始時(shí)刻方向夾角數(shù)據(jù)，黃色矩形的點(diǎn)表示原始數(shù)據(jù)各時(shí)刻綜合表 3 和圖 4，我們得出結(jié)論：由于誤差值極小，故所建立的模型及求解結(jié)果具有可靠性。 5.3 根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)確定直桿位置和日期的多目標(biāo)優(yōu)化模型在確定

36、的時(shí)間段，對(duì)應(yīng)于地球上不同的經(jīng)緯度、不同的日期，太陽(yáng)照射下垂直于地面直桿的影長(zhǎng)變化會(huì)有所不同?；诖?，與 5.2 相同，我們建立出關(guān)于不同位置、不同日期太陽(yáng)長(zhǎng)度與實(shí)測(cè)影長(zhǎng)的優(yōu)化模型。以整個(gè)地球和全年為搜索范圍，在滿足相應(yīng)的限制條件下，分別找出與題目中所給附件 2、3 中直桿長(zhǎng)度坐標(biāo)變化相差較小的地理位置（經(jīng)緯度）和日期。 5.3.1 建模前的準(zhǔn)備題目中所給附件 2、3 中長(zhǎng)度的測(cè)量時(shí)間段分別為：北京時(shí)間 12:41-13:41、北京時(shí)間 13:09-14:09。每隔 3 分鐘測(cè)量一次，共計(jì) 21 次（i=1,2， 21）。同樣將題目中所給附件 2、3 中每個(gè)時(shí)刻實(shí)測(cè)長(zhǎng)度分別用 L0 (i) 、

37、L0 (i)表示，將全球范圍內(nèi)任一點(diǎn)（經(jīng)緯度）第 i 個(gè)時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度用 Laj(i) 表 示。其中a、j分別表示該位置的經(jīng)度坐標(biāo)和緯度坐標(biāo)。 另一方面，在實(shí)測(cè)北京時(shí)間段內(nèi)，直桿方向變化的角度可通過(guò)幾何知識(shí)求解。以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為 xy 平面，坐標(biāo)數(shù)值單位為米。將全球范圍內(nèi)任一點(diǎn)（用經(jīng)緯度表示）在各個(gè)所測(cè)時(shí)刻（題目中所給附件 2、3 中都共 20 個(gè)時(shí)刻）的方向，與第 1 個(gè)時(shí)刻（題目中所給附件 2 為 12:41，題目中所給 附件 3 為 13:09）方向之間的夾角用qaj(i) （i=1,2，20）表示。 對(duì)于題目中所給附件 2，在 12:41 這一時(shí)刻，實(shí)測(cè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x1

38、, y1 ) =（-1.2352,0.173），設(shè)此刻方向與水平 x 軸的夾角為q1 。同理，有各個(gè)時(shí)刻實(shí)測(cè) 的頂點(diǎn)坐標(biāo)(xi , yi ) ，設(shè)每個(gè)時(shí)刻方向與水平 x 軸的夾角為qi 。設(shè) 從 12:44 這一時(shí)刻起的每個(gè)時(shí)刻的qi 與第一個(gè)時(shí)刻的q1 間的差值為為q0 (i)（i=1,2，20）。 對(duì)于題目中所給附件 3，在 13:09 這一時(shí)刻，實(shí)測(cè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x1, y1) =（1.1637,3.336），設(shè)此刻方向與水平 x 軸的夾角為q1 。同理，有各個(gè)時(shí)刻實(shí)測(cè) 的頂點(diǎn)坐標(biāo)(xi , yi ) ，設(shè)每個(gè)時(shí)刻 方向與水平 x 軸的夾角為qi 。 設(shè)從 13:12 這一時(shí)刻起的每個(gè)時(shí)刻

39、的qi 與第一個(gè)時(shí)刻的q1 間的差值為為q0 (i)（i=1,2，20）。 結(jié)合幾何知識(shí)，基于公式 tanq = y1 ， tanq = yi1xix1iq0 (i) = q1 -qi我們計(jì)算出的題目中所給附件 2、3 中第 21 個(gè)時(shí)刻方向與第一個(gè)時(shí)刻方向間的夾角大小分別為：q0 = 23.8465 ，q0 = 17.1945。其中，坐標(biāo) (x1 , y1 ) (x20 , y20 ) 、(x1, y1) (x20 , y20 ) 對(duì)應(yīng)于式中的(x1 , y1 ) (x20 , y20 ) ，i 取 20。由于題目中所給附件 2、3 中所得出的q0 和q0 數(shù)值較大，第 21 個(gè)時(shí)刻與第 1

40、 個(gè)時(shí)刻方向之間的夾角qaj不能代表各個(gè)時(shí)刻方向夾角變化的信息。 故不能將qaj和實(shí)測(cè)夾角q0（題目中所給附件 2 中為q0 ，題目中所給附件 3 中為 q0 ）的差值不能代表各個(gè)時(shí)刻最小作為優(yōu)化目標(biāo)。 5.3.2 多目標(biāo)優(yōu)化模型的建立基于建模前的準(zhǔn)備工作，對(duì)于根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)確定直桿所處地點(diǎn)和日期的問(wèn)題，我們給出所建立的多目標(biāo)優(yōu)化模型： 21mini=1Laj(i) - L0 (i)20min qaj(i) -q0 (i)i=1-180 a 180- 90 j 90s.t.0 H 6m0 N 365, N為整數(shù) 其中，經(jīng)度a、緯度j、直桿的實(shí)際長(zhǎng)度 H 和日期 N 為決策變量。優(yōu)化目標(biāo)中，

41、Laj(i) 的計(jì)算公式為： Laj(i) = H cotarcsin(sinjsind+ cosjcosdcos t)d= arcsin0.39795 cos0.98563(N -173)0iit= (t -12) 15L0 (i) 的計(jì)算基于式（7），qaj(i) 的計(jì)算基于式（8），且： qaj(i) = qs1 -qsi對(duì)于題目中所給附件 2、3， (xi , yi ) 、(xi , yi ) 對(duì)應(yīng)于式（7）中的(xi , yi ) ， L0 (i) 、 L0 (i) 對(duì)應(yīng)于優(yōu)化目標(biāo)中的 L0 (i) 。 5.3.3 模型的求解由于直接遍歷搜索算法復(fù)雜度過(guò)高，時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，因此，我們?cè)O(shè)計(jì)多

42、重搜索算法，實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：給定合理的限制條件，利用 matlab 進(jìn)行多次循環(huán)搜索（范圍由大到小，步長(zhǎng)由長(zhǎng)到短，精度由低到高），最終確定出直桿所處的可能地點(diǎn)和相應(yīng)日期（自每年 1 月 1 日開(kāi)始計(jì)算）。 第一次初步搜索后得出精度相對(duì)較小的位置坐標(biāo)和日期，然后在這些位置附近范圍內(nèi)，進(jìn)一步減小步長(zhǎng)（即增大精度）進(jìn)行第二次搜索，重復(fù)以上操作，直至得出滿足精度要求的可行解。 最終搜索出的對(duì)應(yīng)于題目中所給附件2 和題目中所給附件3 較優(yōu)結(jié)果分別如表 3、4 所示。 表 3 題目中所給附件 2 中直桿長(zhǎng)度及所處的可能地點(diǎn)和日期 序號(hào) 日期（天） 桿長(zhǎng)（m） 經(jīng)度（度） 緯度（度） 1 199（7.18）

43、2 79.6 40.1 2 147（5.27） 2 79.6 40.1 3 16（1.16） 2 79.6 -40.2 分析表 3，根據(jù)題目中所給附件 2 中直桿頂點(diǎn)坐標(biāo)，最終搜索出的直桿長(zhǎng)度值及其所處地點(diǎn)、日期結(jié)果為：桿長(zhǎng) 2 米。日期為 7 月 18 日對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度坐標(biāo)為（東經(jīng) 79.6 度，北緯 40.1 度）附近，日期為 5 月 27 日對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度坐標(biāo)為（東經(jīng) 79.6 度，北緯 40.1 度）附近，日期為 1 月 16 日對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度坐標(biāo)為（東經(jīng) 79.6 度，南緯 40.2 度）附近。 對(duì)于附件 2，設(shè)搜索出的較為精確的 3 個(gè)日期和地點(diǎn)最優(yōu)解的誤差為espLn 、 espqn

44、（n=1,2,3），對(duì)應(yīng)的第 n 個(gè)誤差為 21espLn =Laj(i) - L0 (i)i=1n ， espqn =20qaj(i) -q0 (i)i=1則其結(jié)果分別為 0.000104m、0.000319rad，0.000104m、0.000319rad，0.000455m、0.00021rad。 由于誤差結(jié)果極小，我們認(rèn)為模型結(jié)果具有可靠性。 表 4 題目中所給附件 3 中直桿長(zhǎng)度及所處的可能地點(diǎn)和日期 序號(hào) 日期（天） 桿長(zhǎng)（m） 經(jīng)度（度） 緯度（度） 1 28（1.28） 3 111.4 30.4 2 223（8.11） 3 129 59.9 3 145（5.25） 3 109.

45、2 -28.7 4 191（7.10） 3 108.5 -27.3 分析表 4，根據(jù)題目中所給附件 3 中直桿頂點(diǎn)坐標(biāo)，最終搜索出的直桿長(zhǎng)度值及其所處地點(diǎn)、日期結(jié)果為：桿長(zhǎng) 3 米。日期為 1 月 28 日對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度坐標(biāo)為（東經(jīng) 111.4 度，北緯 30.4 度）附近，日期為 8 月 11 日對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度坐標(biāo)為（東經(jīng) 129 度，北緯 59.9 度）附近，日期為 5 月 25 日對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度坐標(biāo)為 （東經(jīng) 109.2 度，南緯 28.7 度）附近，日期為 7 月 10 日對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度坐標(biāo)為（東經(jīng) 108.5 度，南緯 27.3 度）附近。 對(duì)于附件 3，我們搜索出的較為精確的 4 個(gè)日期和

46、地點(diǎn)（n=1,2,3,4,）最優(yōu)解的誤差espLn 、espqn分別為 0.018054m、0.000946rad，0.039853m、0.001128rad， 0.009147m、0.001128rad，0.009147m、0.000978rad。 由于誤差結(jié)果極小，我們認(rèn)為模型結(jié)果具有可靠性。 5.4 基于曲線擬合的視頻拍攝地點(diǎn)確定的優(yōu)化模型利用 PS 軟件，得到視頻中實(shí)際直桿底端和頂端的橫縱坐標(biāo)像素值及各個(gè)時(shí)刻直桿頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)像素值。忽略相機(jī)拍攝角度的影響，通過(guò)坐標(biāo)變換， 得到實(shí)際的長(zhǎng)度值。進(jìn)而基于所建立的優(yōu)化模型，求解出視頻可能的拍攝地點(diǎn)。 5.4.1 視頻中直桿實(shí)際影長(zhǎng)的計(jì)算基于模

47、型前準(zhǔn)備的分析，我們對(duì)題目中所給附件視頻做了處理：利用 PS 軟件，首先得出實(shí)際直桿底端和頂端的橫縱坐標(biāo)像素值。然后，從視頻中所顯示的8:57-9:33 的時(shí)間段內(nèi)，每隔 3 分鐘提取一次直桿頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)像素值。以直桿底端 xy 坐標(biāo)的像素值為參考點(diǎn)（0,0），分別計(jì)算出實(shí)際直桿頂端和 13 個(gè)頂點(diǎn) xy 坐標(biāo)像素值相對(duì)于參考點(diǎn)（0,0）的坐標(biāo)值，進(jìn)而計(jì)算出影長(zhǎng)相對(duì)像素值。其中，我們?nèi)∮伴L(zhǎng)相對(duì)像素值 679.71 為參考值 2（由于題中已給出直桿實(shí)際長(zhǎng)度為 2 米，故具有合理性），根據(jù)這一比例，分別計(jì)算出 13 個(gè)對(duì)應(yīng)比例的影長(zhǎng)實(shí)際值。計(jì)算結(jié)果如表 5 所示。 表 5 頂點(diǎn)圖像空間坐標(biāo)值表

48、x像素值 y像素值 影長(zhǎng)相對(duì) 影長(zhǎng)實(shí)際 像素值 值（m） 直桿底端861 884 679 0.003 直桿頂端892 205 679.71 2 11662 869 801.14 2.357 21647 870 786.12 2.313 31632 871 771.11 2.269 41618 874 757.07 2.228 51602 875 741.05 2.181 61590 877 729.03 2.145 71576 878 715.03 2.104 81567 878 706.03 2.077 91549 881 688.01 2.024 101535 881 674.01 1.9

49、83 111520 883 659.00 1.939 121509 883 648.00 1.907 131495 884 634 1.865 表 5 中后兩列給出了視頻中直桿的實(shí)際長(zhǎng)度值，基于這 13 個(gè)數(shù)據(jù)，可 進(jìn)一步對(duì)視頻拍攝地點(diǎn)進(jìn)行確定。 5.4.2 基于曲線擬合的地點(diǎn)經(jīng)度范圍的確定所謂曲線擬合是指設(shè)法找出某條光滑曲線，它能最佳地?cái)M合數(shù)據(jù)。在曲線擬合時(shí)，并不要求擬合曲線一定要經(jīng)過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。其思想是使它能反映這些離 散數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，使數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差平方和最小3 。 對(duì)于表 5 中所給出的 13 個(gè)時(shí)刻下的影長(zhǎng)實(shí)際值，我們用曲線擬合的方法繪制出影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化曲線。根據(jù) 5.1.2 中

50、情況（I）的結(jié)論：一天中影長(zhǎng)隨時(shí)間呈先減小后增大的趨勢(shì)，且在當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)刻達(dá)到最小值，故影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化曲線為二次函數(shù)的形式。我們考慮用 matlab 軟件進(jìn)行擬合。 擬合的二次曲線方程為 L = 0.1192t2 - 3.0259t +19.8932擬合圖像中，曲線最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)時(shí)間值為 12.6953h，即為北京時(shí)間 12:41， 同時(shí)也對(duì)應(yīng)于當(dāng)?shù)貢r(shí)間正午 12 點(diǎn)?；谑剑?）的轉(zhuǎn)化關(guān)系，便可計(jì)算出視頻拍 攝地點(diǎn)的經(jīng)度值為 109.65 度。式（4）中， t 為北京時(shí)間 12 點(diǎn) 41 分， t0 為當(dāng)?shù)貢r(shí)間正午 12 點(diǎn)。 5.4.3 優(yōu)化模型的建立在 5.4.2 中，我們已將視頻中

51、的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)換為實(shí)際空間中的影長(zhǎng)。另一方面，第 13 個(gè)時(shí)刻與第 1 個(gè)時(shí)刻間方向變化的角度約為2，由于攝像機(jī)拍攝的原因，會(huì)存在一定的誤差，故在模型中角度的變化情況我們不予以考慮。基于以上分析，可建立優(yōu)化模型 21mini=1Laj(i) - L0 (i)109.65 - 5 a 109.65 + 5s.t.- 90 j 90其中，經(jīng)度a、緯度j為決策變量。 優(yōu)化目標(biāo)中， Laj(i) 的計(jì)算公式為： Laj(i) = H cotarcsin(sinjsind+ cosjcosdcos t)d= arcsin0.39795 cos0.98563(N -173)0iit= (t -12) 15其中，

52、N=194（因視頻中已給出拍攝日期為 7 月 13 日），L0 (i) 的計(jì)算基于式（7）。 5.4.4 模型的求解求解過(guò)程與問(wèn)題 2 類似，只是該模型中桿長(zhǎng)已知為 2 米。給定合理的限制條 件，利用 matlab 進(jìn)行循環(huán)搜索，確定出直桿所處的可能地點(diǎn)。由于視頻拍攝日期為 2015 年 7 月 13 日已給出，故搜索范圍為：經(jīng)度為104.65 -114.65 ，緯度為- 90 - 90范圍內(nèi)每隔0.1 （即步長(zhǎng)為0.1 ）。得出最終的搜索結(jié)果（直桿所處的可能位置）如表 6 所示。 表 6 視頻拍攝的可能地點(diǎn) 序號(hào) 經(jīng)度（度） 緯度（度） 1111.65-412114.65403109.65424110.65415114.65406111.65-417109.65-42 表 6 中，給出了 7 個(gè)視頻拍攝可能地點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)。 5.4.5 確定視頻拍攝日期和地點(diǎn)的優(yōu)化模型與 5.4.3 模型的建立類似，基于以上分析，我們給出確定視頻拍攝日期和地點(diǎn)的優(yōu)化模型： 21mini=1Laj(i) - L0 (i)109.65 - 5 a 109.65 + 5s.t.- 90 j 90其中，經(jīng)度a、緯度j、日期 N 為決策變量。優(yōu)化目標(biāo)中， Laj(i) 的計(jì)算公式為： Laj(i) = H cotarcsin(sinjsin