1、絕對(duì)值的幾何意義【知識(shí)要點(diǎn)】大家知道，|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；|ab|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a、b的兩點(diǎn)的距離對(duì)于某些問題用絕對(duì)值的幾何意義來解，直觀簡(jiǎn)捷，事半功倍【例題精講】【例題】我們知道，|a|可以理解為|a-0|表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)AB，分別用a，b表示，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離為AB=|a-b|，利用此結(jié)論，回答以下問題： （1）數(shù)軸上表示8和3的兩點(diǎn)之間的距離是_，數(shù)軸上表示-2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_，數(shù)軸上表示-3和-7的兩點(diǎn)之間的距離是_； （2）數(shù)軸上點(diǎn)A用a表示，則|a-3|=5的幾何意義是_，利用

2、數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義寫出a的值是_；(3) 利用數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義寫出該式能取得的最小值是_.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，可得答案；（2）根據(jù)到一點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，可得a的值；（3）根據(jù)線段上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離的和最小，可得答案【解析】解：（1）數(shù)軸上表示8和3的兩點(diǎn)之間的距離是 5，數(shù)軸上表示-2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 7，數(shù)軸上表示-3和-7的兩點(diǎn)之間的距離是 4； （2）數(shù)軸上點(diǎn)A用a表示，則|a-3|=5的幾何意義是 數(shù)軸上表示a和3兩點(diǎn)之間的距離是5，利用數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義寫出a的值是-2或8； （3）說出|x+1|+|x+2|表示的幾何意義 數(shù)軸

3、上點(diǎn)x與-1的距離與點(diǎn)x與-2距離的和，利用數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義寫出該式能取得的最小值是 1， 故答案為：5，7，4；數(shù)軸上表示a與3兩點(diǎn)之間的距離是5，-2或8；數(shù)軸上點(diǎn)x與-1的距離與點(diǎn)x與-2的距離的和是1【總結(jié)升華】本題考查了絕對(duì)值，（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，（2）到一點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)；（3）線段上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離的和最小 【例題】閱讀下列材料：我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即|x|=|x-0|，也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離； 這個(gè)結(jié)論可以推廣為|x1-x2|表示在數(shù)軸上數(shù)x1，x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；在解題中，我們

4、會(huì)常常運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義： 例1：解方程|x|=2容易得出，在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，即該方程的x=2； 例2：解不等式|x-1|2如圖，在數(shù)軸上找出|x-1|=2的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1，3，則|x-1|2的解為x-1或x3；參考閱讀材料，解答下列問題： （1）方程|x+3|=4的解為_； （2）解不等式|x-3|+|x+4|9； （3）若|x-3|-|x+4|a對(duì)任意的x都成立，求a的取值范圍【思路點(diǎn)撥】仔細(xì)閱讀材料，根據(jù)絕對(duì)值的意義，畫出圖形，來解答【解析】解：（1）根據(jù)絕對(duì)值得意義，方程|x+3|=4表示求在數(shù)軸上與-3的距離為4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值為1或-

5、7 （2）3和-4的距離為7，因此，滿足不等式的解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)3與-4的兩側(cè)當(dāng)x在3的右邊時(shí)，如圖，易知x4當(dāng)x在-4的左邊時(shí)，如圖，易知x-5 原不等式的解為x4或x-5（3）原問題轉(zhuǎn)化為：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值當(dāng)x3時(shí)，|x-3|-|x+4|應(yīng)該恒等于-7，當(dāng)-4x3，|x-3|-|x+4|=-2x-1隨x的增大而減小，當(dāng)x-4時(shí)，|x-3|-|x+4|=7，即|x-3|-|x+4|的最大值為7 故a7 【總結(jié)升華】本題是一道材料分析題，通過閱讀材料，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)深刻理解絕對(duì)值得幾何意義，結(jié)合本題是一道材料分析題，通過閱讀材料，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)深刻理解絕對(duì)值得幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，通過

6、數(shù)形結(jié)合對(duì)材料進(jìn)行分析來解答題目由于信息量較大，同學(xué)們不要產(chǎn)生畏懼心理【鞏固練習(xí)】1、我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即|x|=|x-0|，也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；這個(gè)結(jié)論可以推廣為|x1-x2|表示在數(shù)軸上x1，x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離； 例1解方程|x|=2，容易看出，在數(shù)軸下與原點(diǎn)距離為2點(diǎn)的對(duì)應(yīng)數(shù)為2，即該方程的解為x=2 例2解不等式|x-1|2，如圖，在數(shù)軸上找出|x-1|2的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1、3，則|x-1|2的解為x-1或X3參考閱讀材料，解答下列問題： 不等式|x+3|4的解為_.2、結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示1和4的兩點(diǎn)之間的距離是_；表示-3和2的兩點(diǎn)之間的距離是_；表示-5和-4的兩點(diǎn)之間的距離是_；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于_（2）如果表示數(shù)a和-2的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么a=_（3）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-4與2之間，求|a+4|+|a-2|的值；【答案】1、解：|x+3|=|x-（-3）|4，即到-3的距離為4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-7、1，用數(shù)軸表示為：不等式|x+3|4的解為x-7或x12、解：（1）|1-4|=3，|-3-2|=5，|-5-（-4）|=1，|m-n|，故答案為：3；5；1；|m-n|；（2）|