1、3.2.4 二面角及其度量課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一、利用三垂線定理及逆定理作二面角的平面角【例1】 三棱錐S-ABC中，SAB=SAC=ACB=90,AC=2,BC=,SB=,求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小.解：SAB=SAC=90，SA面ABC.AC為SC在底面ABC上的射影.又ACB=90，SCBC.SCA為二面角S-BC-A的平面角.在RtSCB中，SC=.在RtSAC中，由AC=2，SC=4，得cosSCA=.SCA=60.即側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小為60.溫馨提示 本題考查三垂線定理、線面垂直的判定、二面角度數(shù)的計算.其解法提供了一個用三垂線定理及其逆定理來作二面角

2、平面角的方法.其作法是：從半平面上一點P作另一個半平面的垂線段PA，A為垂足，由P向棱作垂直相交的直線PB，B為垂足，邊AB，則PBA為所求二面角的平面角（也可由A作AB與棱垂直，連BP），用這種作法就得尋找題目中有沒有半平面的垂線、有沒有棱的垂線，看能不能可利用.二、利用定義求二面角平面角【例2】在四面體S-ABC中，已知SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求以BD為棱，以BDE與BDC為面的二面角的大小.分析：求二面角的大小，關(guān)鍵是找出二面角的平面角，利用題設(shè)條件，結(jié)合線面垂直和線線垂直的有關(guān)定理即可確定所求二面角的平面角，并在

3、相應(yīng)的三角形中求出其大小.解：SB=BC且E是SC的中點（如右圖），SCBE，又已知SCDE，BEDE=E，SC平面BDE.SCBD.又SA底面ABC，BD面ABC，SABD.而SASC=S，BD平面SAC.面SAC面BDE=DE，BDDE，BDDC.EDC為所求二面角的平面角.SA底面ABC，SAAB，SAAC，設(shè)SA=a，則AB=a,BC=SB=a,又ABBC，AC=a,在RtSAC中，tanACS，ACS=30.又已知DESC，F(xiàn)DC=60，即所求二面角的大小為60.溫馨提示 求作二面角的平面角的方法較多，本題采用的實質(zhì)上找到一個與棱BD垂直的平面EDC，而此時正好DE、DC分別在二面角

4、的兩個面上,由此根據(jù)平面角定義便知，EDC為二面角的平面角.三、利用向量求二面角的平面角【例3】 如右圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為m的正方形，側(cè)棱AA1的長為n,且A1AB=A1AD=120，求二面角A1-AB-D的余弦值.解：如下圖，過A1作A1EBA交BA的延長線于點E，ABCD為正方形，ADAB，則向量與所成的角的大小即為二面角A1-AB-D的大小.,=|cos,+| |cos,=nmcos120+0=mn.A1AB=120,A1AE=60,又A1A=n,AE=n,A1E=n.|=n,|=m,cos,=二面角A1-AB-C的余弦值為.溫馨提示 將二

5、面角轉(zhuǎn)化為兩個面的法向量所成的角或其補角，通過建立空間直角坐標系來解決. 利用兩個向量的數(shù)量積運算求其夾角.此時要注意平面的法向量有兩種指向，應(yīng)結(jié)合圖形決定取向，或由圖形決定兩個法向量所成的角與二面角是相等還是互補.各個擊破類題演練 1 如右圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB和BC的中點，EF與BD交于點G.求二面角B1-EF-B的大小.解：ACBD,EFAC,則BGEF,又B1B面 AC,則B1GEF,B1GB是二面角B1-EF-B的平面角.BG=BD=a,tanB1GB=22.二面角B1-EF-B的正切值為.變式提升 1 ABC和DBC所在平面互相垂

6、直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求二面角A-BD-C的正切值.解：作OEBD于E,連AE,由三垂線定理可得BDAE.AEO就是二面角A-BD-C的平面角的補角.在RtABO中,ABO=60,AO=ABsin60=AB,OB=AB,在RtBOE中,EBO=60，OE=OBsin60=AB.在RtAOE中,tanAEO=2.二面角A-BD-C的正切值為-2.類題演練 2 已知AOB=90,過點O引AOB所在平面的斜線OC與OA、OB分別成45、60的角，求二面角A-OCB的大小.解：在OC上任取一點D,在面COB內(nèi)作DEOC,在面AOC內(nèi)作DFOC交OA于F,則EDF為二面角A-O

7、C-B的平面角,連結(jié)EF,設(shè)OD=a,DOF=45,DF=a,OF=a,又DOE=60,DE=a,OE=2a.EF=a,cosEDF=.二面角A-OC-B的大小為-arccos.變式提升 2 過正方形ABCD的頂點A作PA平面ABCD，設(shè)PA=AB=，求二面角B-PC-D的大小.解:PA平面ABCD,BDAC,BDPC.在平面PBC內(nèi)作BEPC于E,連結(jié)DE,得PC平面BED,從而DEPC,即BED是二面角B-PC-D的平面角.在RtPAB中,由PA=AB=a，得PB=a.PA平面ABCD,BCAB,BCPB,PC=a.在RtPBC中，BE=a.同理DE=a.在BDE中,cosBED=-.則二

8、面角B-PC-D為120.類題演練 3 如右圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2，ACB=90,M是AA1的中點，N是BC1中點.求二面角B-C1M-A1的大小.解:三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,CC1BC,又ACB=90,BC平面A1MC1,=(-2,0,0),設(shè)垂直于平面BMC1的向量n=(a,b,1),=(-2,0,2),=(-2,2,),n=0,n=0,即解得a=,b=.n=(,1).cos,n=,即二面角B-C1M-A1的大小為-arccos.變式提升3 如右圖，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=，BD=CD=1，另一個側(cè)面ABC是正三角形.(1)求證：ADBC；（2）求二面角B-AC-D的大小.答案：(1)證明:作AH面BCD于H,連BH、CH、DH,則四邊形BHCD是正方形,且AH=1,以D為原點,以DB為x軸,DC為y軸建立空間直角坐標系如右圖,則B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).=(-1,1,0),=(1,1,1),=0,則BCAD.(2)解:設(shè)平面ABC的法向量為n1=(x,