1、2.2.2等差數列前n項和公式 的性質及其應用,思（2分鐘）,an1an12an（n2）,an an1d（n2）,在結構上是關于n的一次函數.,ana1(n1)dam(nm)dpnk.,1.等差數列的遞推公式是什么？,2.等差數列通項公式是什么？結構上它有什么特征？,3.等差數列前n項和的兩個基本公式是什么？,思考1：若數列an的前n和 那么數列an是等差數列嗎？,an是等差數列,知識探究（一）等差數列與前n項和的關系,議（5分鐘）,思考2：將等差數列前n項和公式 看作是一個關于n的函數，這個函數有什么特點？,當d0時，Sn是常數項為零的二次函數.,思考3：一般地，若數列an的前n和SnAn2

2、Bn，那么數列an是等差數列嗎？若SnAn2BnC 呢？,（1）數列an是等差數列 SnAn2Bn,（2）數列an 的前n項和是SnAn2BnC ，則：,若C0，則數列an是等差數列；,若C0，則數列an從第2項起是等差數列。,思考4：若an為等差數列，那么 是什么數列？,數列an是等差數列 為等差數列,即等差數列an的前n項的平均值組成的數列仍然是等差數列，且公差是數列an的公差的一半。,學以致用,2.等差數列an中，Sn是其前n項和，a12011， ，則S2011的值為() A.0 B.2011 C.2011 D.20112011,C,知識探究（二）等差數列前n項和的性質,思考1：在等差數

3、列an中，每連續(xù)k項的和組成的數列，即數列a1a2ak， ak+1ak+2a2k， a2k+1a2k+2a3k， 是等差數列嗎？,性質：若數列an是等差數列，那么數列Sk，S2kSk， S3kS2k , 仍然成等差數列,思考3：在等差數列an中，設S偶a2a4a2n， S奇a1a3a2n1，則S偶S奇與 等于什么？,S偶S奇nd,思考2：在等差數列an中，Sn，S2n，S3n三者之間有什么關系？,S3n3(S2nSn),3. 等差數列an中，已知S42， S87，則S12=_；,學以致用,15,4. 等差數列an的前m項的和為30，前2m項的和 為100，則它的前3m項的和為 () A. 13

4、0 B. 170 C. 210 D. 260,c,思考4：設等差數列an、bn的前n項和分別為Sn、 Tn，則 等于什么？,思考5：在等差數列an中，若a10， d0，則Sn是否存在最值？如何確定其最值？,當ak0，ak10時，Sk為最大.,且 ，則,.,例2：Sn，Tn分別是等差數列an、bn的前n項的和，,學以致用,1.已知兩個等差數列an和bn的前n項和分別為An和Bn，且 ，則使得 為整數的正整數n的個數是() A2 B3 C4 D5,變式探究,D,【題型分類 深度剖析】,題型1：等差數列前n項和性質的簡單應用,例1：（1）若一個等差數列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項

5、的和為390，則該數列有( )項。 A.13 B.12 C.11 D.10,A,變式探究,1.已知等差數列an滿足a1+a2+a3+a101=0，則有( ) A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51,2.等差數列an 前n項和Snan2(a1)na2， 則an .,C,題型2：等差數列最值問題,例2：等差數列an中，a10，S9S12，該數列前多少項的和最??？,又nN*，n10或n11時，Sn取最小值,小結：求等差數列an前n項和Sn的最值常用方法：,方法1：二次函數性質法，即求出Sn=an2+bn， 討論二次函數的性質,方法2：討論數列an 的通項，

6、找出正負臨界項。,（1）若a10，d0，則Sn有大值，且Sn最大時的n,滿足an0且an+10;,（2）若a10，則Sn有小值，且Sn最小時的n,滿足an0且an+10;,變式探究,1.首項為正數的等差數列an，它的前3項和與前11項和相等，則此數列前_項和最大？,2.等差數列an 前n項和Sn中，以S7最大，且|a7|0的n的最大值為_,3.等差數列an中，已知|a7|=| a16|=9，且a14=5，則使 an0的最大自數n=（ ） A.10 B.11 C.12 D.13,7,13,例4：已知數列an的前n項和Sn12nn2，求數 列|an|的前n項和Tn.,當n1時，a1S1121211；當n2時， anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n. n1時適合上式，an的通項公式為an132n. 由an132n0，得n ， 即當1n6(nN*)時，an0； 當n7時，an0.,解析：,題型3：求等差數列的前n項的絕對值之和,(1)當1n6(nN*)時， Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.,(2)當n7(nN*)時，Tn|a1|a2|an| (a1a2a6)(a7a8an) (a1a2an)2(a1a6) Sn2S6n212n72.,變式探究,1數列an中，a18，a42，且滿足 an22an1an0，nN*