1、習(xí)題課數(shù)列求和學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能由簡單的遞推公式求出數(shù)列的通項公式.2.掌握數(shù)列求和的幾種基本方法預(yù)習(xí)導(dǎo)引1基本求和公式(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Snna1d.(2)等比數(shù)列前n項和公式：當(dāng)q1時，Snna1；當(dāng)q1時，Sn.2數(shù)列an的an與Sn的關(guān)系數(shù)列an的前n項和Sna1a2a3an，則an3拆項成差求和經(jīng)常用到下列拆項公式(1).(2)()(3).要點一分組分解求和例1求和：Sn(x)2(x2)2(xn)2.解當(dāng)x1時，Sn(x)2(x2)2(xn)2(x22)(x42)(x2n2)(x2x4x2n)2n()2n2n；當(dāng)x1時，Sn4n.綜上知，Sn規(guī)律方法某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可

2、得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和跟蹤演練1求數(shù)列an：1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n項和Sn(其中a0)解當(dāng)a1時，則ann，于是Sn123n.當(dāng)a1時，an(1an)Snn(aa2an)n.Sn要點二錯位相減法求和例2已知等差數(shù)列an的前3項和為6，前8項和為4.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1(q0，nN)，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)設(shè)an的公差為d，則由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n.(2)由(1)知，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式

3、兩邊同乘以q.qSn1q12q2(n1)qn1nqn，兩式相減得：(1q)Sn1q1q2qn1nqn nqn.Sn.若q1，則Sn123n，Sn規(guī)律方法用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式若公比是個參數(shù)(字母)，則應(yīng)先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和跟蹤演練2數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an12Sn(nN)(1)求數(shù)列an的通項an；(2)求數(shù)列nan的前n項和Tn.解(1)an12Sn，Sn1Snan

4、12Sn，Sn13Sn.又S1a11，數(shù)列Sn是首項為1，公比為3的等比數(shù)列Sn3n1(nN)當(dāng)n2時，an2Sn123n2，且a11，an(2)Tna12a23a3nan，當(dāng)n1時，T11；當(dāng)n2時，Tn14306312n3n2，3Tn34316322n3n1，得2Tn22(31323n2)2n3n1222n3n11(12n)3n1，Tn(n)3n1(n2)，又T1a11也滿足上式，Tn(n)3n1(nN)要點三裂項相消求和例3求和：，n2.解()，原式(1)()()()(1).規(guī)律方法如果數(shù)列的通項公式可轉(zhuǎn)化為f(n1)f(n)的形式，常采用裂項求和法跟蹤演練3求和：1.解an2()，Sn

5、2(1).要點四奇偶并項求和例4求和：Sn1357(1)n(2n1)解當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.Sn(1)nn(nN)跟蹤演練4已知數(shù)列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前n項和Sn.解n為偶數(shù)時，令n2k(kN)，SnS2k14710(1)2k(6k2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；當(dāng)n為奇數(shù)時，令n2k1(kN)SnS2k1S2ka2k13k(6k1).Sn1數(shù)列an的前n項和為Sn，若an，則S5等于()A1B.C.D.答案B解析an，S5(

6、1)()()1.2數(shù)列1，2，3，4，的前n項和為()A.(n2n2) B.n(n1)1C.(n2n2) D.n(n1)2(1)答案A解析123(n)(12n)()(n2n)1(n2n2).3數(shù)列an的通項公式an，若前n項的和為10，則項數(shù)為()A11 B99 C120 D121答案C解析an，Sn110，n120.4若數(shù)列an的前n項和為Snan，則數(shù)列an的通項公式是an_.答案(2)n1 解析當(dāng)n1時，a1S1a1，解得a11.當(dāng)n2時，anSnSn1(an)(an1)anan1，整理可得anan1，即2，故數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an(2)n1.求數(shù)列前n項和，一般有下列幾種方法1錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和2分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列3拆項相消：有時把一個數(shù)列的通