1、第01講：轉(zhuǎn)化化歸思想情形之1-4【知識(shí)要點(diǎn)】 一、數(shù)學(xué)思想是人對數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)過程中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義.是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想，而且數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一.學(xué)生只有領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想，才能有效地應(yīng)用知識(shí)，形成能力.在我們解決數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)思維時(shí)，也總是自覺或不自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.高中數(shù)學(xué)解題常用的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、函數(shù)方程思想等.二、在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解比較困難，通過觀察、分析等思維過程,需將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)

2、新問題（相對來說，對自己較熟悉的），通過對新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的.這一思想方法我們稱之為“轉(zhuǎn)化化歸思想”.轉(zhuǎn)化化歸思想就是化難為易，化生為熟，化繁為簡，化未知為已知.轉(zhuǎn)化化歸思想的情形很多，常見的情形見后面的方法講評.三、轉(zhuǎn)化化歸要遵循的幾個(gè)基本原則有：目標(biāo)簡單化原則、和諧統(tǒng)一性原則、熟悉化原則、直觀化原則.四、本講講了轉(zhuǎn)化化歸思想情形之1-4, 情形1：正難則反的轉(zhuǎn)化化歸；情形2：數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化化歸；情形3：換元建新的轉(zhuǎn)化化歸；情形4：主元次元的轉(zhuǎn)化化歸 .【方法講評】轉(zhuǎn)化化歸情形一正難則反的轉(zhuǎn)化化歸一個(gè)數(shù)學(xué)問題從正面考慮比較復(fù)雜，可以先考慮問題的反面，求出反面問題的答案，再根據(jù)

3、正面反面問題的關(guān)系得到原數(shù)學(xué)問題的答案.【例1】已知設(shè)命題:；命題 ：函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn). 求使命題“ 或”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍.所以可以考慮.所以 ，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)評】（1）本題從正面考慮，命題“ 或”為真命題有三種情況（），所以從正面考慮，要分三種情況考慮，情況比較復(fù)雜，但是它的反面只有一種情況，就是，所以此時(shí)我們可以轉(zhuǎn)化為考慮它的反面,求出實(shí)數(shù)的取值范圍，由于正面和反面的情況下，實(shí)數(shù)的取值范圍的并集是，所以我們求出反面情況下的取值范圍后，只要再求這個(gè)范圍在R中的補(bǔ)集即可.（2）在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中或?qū)嶋H生活中，當(dāng)我們遇到正面考慮比較復(fù)雜的問題時(shí) ，我們可以考慮它的反

4、面.假設(shè)正面解答問題的結(jié)果為集合,反面解答問題的結(jié)果為集合,則.我們先考慮它的反面得到集合，再根據(jù)集合的關(guān)系得到問題的結(jié)果為.在有的資料上這種方法稱為“補(bǔ)集法”.【反饋檢測1】已知集合，若，求的取值范圍【例2】若下列三個(gè)方程：中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面時(shí)三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根.于是三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)評】（1）本題的正面有七種情形需要考慮，而其反面只有一種，即“三個(gè)方程均無實(shí)根”。故先考慮其反面是捷徑.從此題我們可以看到轉(zhuǎn)化化歸思想的優(yōu)越性.（2）一般情況下，“至少”“至多”的命題，如果正面情況分類比較繁

5、瑣，可以從反面考慮，優(yōu)化解題，提高解題效率.【反饋檢測2】已知，求證：，中至少有一個(gè)小于等于.轉(zhuǎn)化化歸情形二數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化化歸一個(gè)數(shù)學(xué)問題，如果從“數(shù)”的角度突破比較復(fù)雜或困難，可以把“數(shù)”轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的“形”，以形助數(shù)，提高解題效率；一個(gè)數(shù)學(xué)問題，如果從“形”的角度突破比較復(fù)雜或困難，可以把“形”轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的“數(shù)”，以數(shù)解形，提高解題效率.【例3】函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與的圖象有且只有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由題得，（2）由于，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上

6、單調(diào)遞減【點(diǎn)評】（1）直接研究函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)比較困難，所以本題先利用兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于兩方程組解的個(gè)數(shù)，得到方程組，通過消元得到方程，再構(gòu)造新函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合來解答，直觀又簡潔，大大地提高了解題效率. (2)本題主要是典型的“以形助數(shù)”，把“數(shù)”等價(jià)地轉(zhuǎn)化為“形”，再數(shù)形結(jié)合分析解答.【反饋檢測3】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，常數(shù).(1) 若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；(2) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3) 當(dāng)取正實(shí)數(shù)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【例4】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在上的最大值與最小值；（2）若時(shí)，函數(shù)的圖像恒在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明

7、：當(dāng)時(shí)，【解析】（1）定義域?yàn)?，且?當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 在為為減函數(shù)；在上為增函數(shù)， （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像恒在直線的上方，等價(jià)于時(shí)不等式恒成立，即恒成立， 令，則，當(dāng)時(shí)，故在【點(diǎn)評】（1）函數(shù)的圖像恒在直線上方，這是函數(shù)“形”方面的特征，等價(jià)轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的特征，即時(shí)不等式恒成立，即恒成立， 即.(2)本題第（2）問就是典型的“以數(shù)解形”，再分離參數(shù)化為函數(shù)的最值，提高了解題效率. 【反饋檢測4】已知，直線（1）函數(shù)在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值 （2）若至少存在一個(gè)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)的圖像恒在直線的上方，求的最大值.轉(zhuǎn)化化歸情形三換元建新的轉(zhuǎn)化化歸有時(shí)，我們遇到比較復(fù)雜的問

8、題，可以通過換元，把無理式變成有理式，可以把高次降冪成低次，可以變多元為少元，可以把復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式等轉(zhuǎn)化為易于解答的常見問題.【例5】求函數(shù)的值域.時(shí),故所求函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)評】（1）由于，所以當(dāng)已知中同時(shí)有或者同時(shí)有時(shí)，可以考慮換元，化成一個(gè)二次函數(shù).（2）換元時(shí)注意利用三角函數(shù)的知識(shí)求準(zhǔn)新元的范圍.（3）本題顯示出換元建立新函數(shù)轉(zhuǎn)化化歸的好處，本來一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)變量，不好處理，但是通過換元，變成了一個(gè)我們熟悉的一元二次函數(shù)，大大地提高了解題效率.【例6】若求函數(shù)的值域.【解析】由題得 設(shè)函數(shù)的對稱軸方程為 所以， ，所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)評】（1）本題看起來形式比較復(fù)雜，仔細(xì)觀

9、察后，它們可以化為含有的函數(shù)，但是，這個(gè)函數(shù)研究起來不是很方便，但是通過觀察換元后，得到了一個(gè)關(guān)于的新的一元二次函數(shù)，二次函數(shù)的問題我們解答起來就容易多了.（2）本題就是換元建新轉(zhuǎn)化化歸的典型題目，換元時(shí)，一定要注意等價(jià)性，注意新元的范圍.【反饋檢測5】已知滿足不等式.（1）求的取值范圍；（2）求函數(shù)的最小值.【例7】已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)， 是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)， 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明： .綜上：當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為 （2）由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)有，相減得 又 所以要證明，只需證明 【點(diǎn)評】（1）本題第2小問分析出后，證明還是很不方便，又進(jìn)行

10、了變形，轉(zhuǎn)化成即證明， 這時(shí)，進(jìn)行換元得到，這樣一個(gè)雙變量的函數(shù)通過換元一下子變成了一個(gè)新的單元函數(shù)，后面的證明就是水到渠成了.這里的換元很關(guān)鍵，是突破此題的關(guān)鍵. （2）本題是換元建新轉(zhuǎn)化化歸的典型例題. 換元無處不在，遇到難題時(shí)，我們要多觀察，多分析時(shí)間長了，能力自然就上來了.【反饋檢測6】已知函數(shù)（1）若，證明；（2）若，求的取值范圍；并證明此時(shí)的極值存在且與無關(guān).轉(zhuǎn)化化歸情形四主元次元的轉(zhuǎn)化化歸有時(shí)我們遇到多個(gè)變量的問題，有的是主元，有的是次元，但是主次是相對的，可以轉(zhuǎn)化的.有時(shí)解題比較復(fù)雜困難時(shí)，如果變換主元次元，可以大大地優(yōu)化解題.【例8】已知函數(shù)若不等式對所有，都成立，求實(shí)數(shù)的取

11、值范圍【解析】則對所有的，都成立，令，是關(guān)于的一次函數(shù)，所以所以 綜合得.【點(diǎn)評】（1）對于不等式，由于，有正有負(fù)，不便分離次參，所以我們要尋找其它方法突破，在這里，我們構(gòu)造一次函數(shù)反客為主就是一種方法，本身來說，是主元，是次元，但是我們可以把看成自變量，因?yàn)橐阎杏械姆秶?，把看成主元，把看作參?shù)，看做次元，利用一次函數(shù)的性質(zhì)分析解答.這樣避免了分類討論，提高了解題效率.(2)本題是主元次元轉(zhuǎn)化化歸的典型例題，要理解其精髓.(3)對于“分離次參”的題目，有時(shí)也可以嘗試主元次元轉(zhuǎn)化化歸的方法來解答.在有的資料上稱為“反客為主”.【反饋檢測7】已知函數(shù)，.（）討論的單調(diào)性；（）對于任意，任意，總有

12、，求的取值范圍. 轉(zhuǎn)化化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用情形歸納 第01講：轉(zhuǎn)化化歸思想情形之1-4參考答案【反饋檢測1答案】【反饋檢測1詳細(xì)解析】，且，故方程至少存在一個(gè)負(fù)根時(shí)，即時(shí)，則的取值范圍為【反饋檢測2答案】見解析.【反饋檢測2詳細(xì)解析】假設(shè) 則有 又與矛盾所以假設(shè)不成立，原命題成立.【反饋檢測3答案】（1）；（2）的單調(diào)增區(qū)間是，；的單調(diào)減區(qū)間是，；（3）的取值范圍是.【反饋檢測3詳細(xì)解析】(1) 因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，即. 而當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證：是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).因此. (2) 當(dāng)時(shí)，令得，解得，而.所以當(dāng)變化時(shí)，、的變化是極小值極大值因此的單調(diào)增區(qū)間是，；的單調(diào)減區(qū)間是，； 但是函數(shù)值恒大于零，極大值，極小值，并且根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的變化速度可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程一定總有三個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)論成立.【反饋檢測4答案】（1）；（2）；（3）5.【反饋檢測4詳細(xì)解析】（1），由于在處的切線與直線平行，解得（2）由于至少存在一個(gè)使成立，成立至少存在一個(gè)整理得成立至少存在一個(gè)，令，當(dāng)時(shí)，恒成立，因此在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)即，當(dāng)時(shí)即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故又，所以的最大值為5.【反饋檢測5答案】（1）；（2）2.【反饋檢測5詳細(xì)解析】（1）.【反饋檢測6答案】（1）見解析（2）見解析.【反饋檢測6詳細(xì)解析】（1）若當(dāng)單調(diào)遞