1、第三章 導(dǎo)數(shù)與微分,3.1 導(dǎo)數(shù)的概念,3.2 導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)運算法則,3.3 鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),3.4 高階導(dǎo)數(shù),3.5 微分,3.6 邊際與彈性,3.1 導(dǎo)數(shù)的概念,引例1、變速直線運動的瞬時速度,一、引例,（1）當物體作勻速運動時,（2）當物體作變速運動時,引例2 平面曲線的切線斜率,割線 MN,切線 MT,割線 MN 的斜率為：,當x0時 動點N將沿曲線趨向于定點M 從而割線MN也將 隨之變動而趨向于切線MT,即割線 MN 的極限位置就是 曲線 L 在點 M 處的切線MT .,切線 MT 的斜率為：,二、導(dǎo)數(shù)的定義,注意,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,四、左、右導(dǎo)數(shù),例3. 討論函數(shù),解

2、,思考,五、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,即,定理,問題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？,結(jié)論,函數(shù)在其可導(dǎo)的點處一定連續(xù),函數(shù)在其連續(xù)的點處不一定可導(dǎo),函數(shù)在其不連續(xù)的點處一定不可導(dǎo),注意,（1）曲線,處是尖點,在點,（2） 曲線,在點,在點,（3）曲線,間斷,處有,垂直切線,處,P89:T8； P106：T1(1)；T2；T5.,作業(yè),因為,處函數(shù)無定義，所以該點處函數(shù)間斷,第二類無窮間斷點.,所以,是函數(shù)的可去間斷點，,作業(yè)講評 P88.5(2),P89.6.,(5).解法1：,解法2：原式=,解法3：,而,解法4：,解法1：,而,解法2：,P89.6.,六、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限,例4：,解,練一練,解 答,

3、注意,分段函數(shù)分段點的導(dǎo)數(shù)必須用定義求,例5： 設(shè)函數(shù),解,因為,例6：,解,方法一：,例7：,解,方法二：,例10:,解:,3.2 求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運算法則,一、求導(dǎo)基本公式,解,解,解,特別地:,解,正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).,類似得,余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負的正弦函數(shù).,二、四則運算求導(dǎo)法則,證畢.,例5.,解,解:,例6,常用公式：,例7.,解,練一練,解 答,P117:T5(6),(9); T6(2);T8.,作業(yè),三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,解:,例8.,解,例6.,四、導(dǎo)數(shù)的基本公式,3.3 鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈法則）,猜想,解:,例1,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),注意

4、,解,例2,解,例3,例4,解,或,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多重復(fù)合的情形.,設(shè),則,或,解,這里求y對x的導(dǎo)數(shù)是從外向里經(jīng)過 每個中間,在熟悉了法則之后,運算就不必寫出中間變量,變量的導(dǎo)數(shù)最后導(dǎo)到x上.因此對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),搞清楚復(fù)合層次后,只要從外層向里層逐層求導(dǎo),即可.,解,易犯的錯誤,例7,例8,求,解,例9,解,例10,解,小結(jié),復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)首先必須搞清函數(shù)是怎樣復(fù)合的.,求導(dǎo)時由外到里逐層求導(dǎo).,注意:一定要到底,不要遺漏 , 不要重復(fù).,例11,例12,練一練,解 答,P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).,作業(yè),稱這類函數(shù)為隱函數(shù).,二、隱函數(shù)求導(dǎo)法,又

5、如，,解,例12,解,例13,解,例14,小結(jié),方程兩邊對,隱函數(shù)的求導(dǎo)方法:,視,為,的函數(shù),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,的方程,解出即可.,得到關(guān)于,注意:結(jié)果中既含 也含 .,練一練,解 答,解,三、對數(shù)求導(dǎo)法,兩類函數(shù),有簡便求,先給這些函數(shù)取對數(shù),然后再求導(dǎo)就可使求導(dǎo)運算,簡便多了,這種先取對數(shù)然后再求導(dǎo)的方法就叫對數(shù)求,導(dǎo)法.,解,例15,例16 求,的導(dǎo)數(shù) .,解 解法1 兩邊取對數(shù) , 化為,兩邊對 x 求導(dǎo),解法2 將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù),例21,小結(jié),對數(shù)求導(dǎo)法,常用于多因子乘冪求導(dǎo)， 或冪指函數(shù)求導(dǎo).,對數(shù)求導(dǎo)法的步驟:,1). 函數(shù)式兩邊取自然對數(shù);,四、分段函數(shù)求導(dǎo)法,解:,易犯

6、的錯誤,練一練,解 答,解,P128 T4 (4)；T5； T6 (1),(2).,作業(yè),3.4 高階導(dǎo)數(shù),一、高階導(dǎo)數(shù),記作：,或,即,類似地二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做 的三階導(dǎo)數(shù)，,記作：,或,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，,記作：,或,記作：,或,二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù),例1 y =(1+x2)arctanx 求y,解,例2,證明,所以 y 3y1,二、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),例3,解,解：方程兩邊同時對x求導(dǎo),上式兩邊同時再對x求導(dǎo),例4,三、幾個初等函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù),解,類似地有,得到,由上面各階導(dǎo)數(shù)可以得到,四、高階導(dǎo)數(shù)的運算公式,函數(shù)和差的 n 階導(dǎo)數(shù),(uv)(n)u(n)

7、v(n),函數(shù)積的 n 階導(dǎo)數(shù),這一公式稱為萊布尼茨（Leibniz)公式,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：,上面這些導(dǎo)數(shù)外表和二項展開式很相似，如果 設(shè),小結(jié),高階導(dǎo)數(shù)的求法,(1) 逐階求導(dǎo)法,(2) 利用歸納法,(3) 間接法, 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,如,(4) 利用萊布尼茲公式,練一練,解 答,例,作業(yè),P133:T1(4),(8) ;T4(2),(3);T7.,3.5 微分,一、微分的概念,設(shè)薄片邊長為 x , 面積為S, 則,當 x 在,取,面積的增量為,關(guān)于x 的線性主部,故,稱為面積函數(shù)在 的微分,定義:,(充分性),即,函數(shù)y f (x)在任意點 x 的微分 稱為函數(shù)的微分 記作dy

8、 或 df(x) 即 dyf (x)Dx,例如 dcos x(cos x)Dx sin x Dx,dex(e x)DxexDx,因為當y =x 時 dy=dx=(x)Dx=Dx 所以通常把自變量 x 的增量Dx稱為自變量的微分 記作dx 即 dx Dx,因此 函數(shù) y f (x) 的微分又可記作,于是有可微與可導(dǎo)的關(guān)系,函數(shù)f (x)在點x0可微 函數(shù)f (x)在點x0可導(dǎo) 函數(shù)在點x0的微分為,切線縱坐標的增量,微分的幾何意義,增量與微分的關(guān)系,由微分定義知,例如,求在,解：,二、基本微分公式與微分法則,可得基本初等函數(shù)的微分公式：,例1. 在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:,說明: 上

9、述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.,注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.,微分運算法則,設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),分別可微 ,的微分為,微分形式不變性,5. 復(fù)合函數(shù)的微分,則復(fù)合函數(shù),由此可見 無論u是自變量還是中間變量 微分形式 dy f (u)du 保持不變,例4 若方程 xy =cosy -x2確定y =f（x）,解一：兩邊對x求導(dǎo),解二：兩邊同時微分,解：兩邊同時微分,例8 若方程 （arcsinx）lny -e2x + tany = 0 確定 y =f（x），求,例9 設(shè),解：,例10,解：,練一練,解 答,解,三、微分在近似計算中的應(yīng)用,由

10、微分定義知,(1),即,在(2)式中令,(4),例13 計算sin 3030的近似值,解,有 sin(x0Dx), sin x0 cos x0 Dx,sin 3030,即 sin 303005076,且離切點越近近似程度越好.,近似公式表示曲線,附近,可用切線.,在切點,近似曲線，且離,切點越近近似程,度越好.,練一練,解 答,類似可證,當,很小時,有近似公式:,如,解,作業(yè),P142:T6(4),(6),(9);T7(2).,例11,解,習(xí)題講評P134,4（2）,解,方法1,方法2,3.6 邊際與彈性,一、邊際的概念,因為邊際量是一個絕對變化量，不能反映 變化程度的大小，比如某商品的價格上漲1%時， 需求量將如何變化？投資增加一個百分點時， 國內(nèi)生產(chǎn)總值將增加百分之幾？等等，為此， 我們引入一個無量綱的相對變化量，即彈性.,二、彈性函數(shù),1、彈性的概念,彈性的意義：,冪函數(shù)在任意點的彈性不變稱為不變彈性函數(shù).,2、彈性的經(jīng)濟應(yīng)用,(1)需求價格彈性,說明,即需求