1、化工過(guò)程分析與合成Analysis and Synthesis of Chemical Process 第二章 化工過(guò)程系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)模擬與分析,Chapter2 Steady-state Simulation and Analysis of CPS,2-II,1,2.2 序貫?zāi)K法,2.2.1 序貫?zāi)K法的基本原理,序貫?zāi)K法是以單元模塊為基本計(jì)算單元，通過(guò)單元模塊的序貫計(jì)算來(lái)求解系統(tǒng)模型，系統(tǒng)中的單元設(shè)備只要已知它的輸入各流股和有關(guān)決策變量，就能通過(guò)調(diào)用相應(yīng)的單元模塊，解出所有輸出流股。,2,一、序貫?zāi)K法的基礎(chǔ)-單元模塊,物性估算方程、單元模型方程 流股連接方程、設(shè)計(jì)規(guī)定方程,過(guò)程系統(tǒng)描述方程

2、:,通常，單元模塊與過(guò)程單元是一一對(duì)應(yīng)的。 過(guò)程單元的輸入物流變量即為單元模塊的輸入， 而單元模塊的輸出即為過(guò)程單元的輸出物流變量。,單元模塊是依據(jù)相應(yīng)過(guò)程單元的數(shù)學(xué)模型和求解算法編制的子程序。,3,在化工過(guò)程中，通常主要分以下幾種類型的單元操作模型 。,(1) 鈍性流動(dòng)器械：流股混合器和流股分割器; (2) 活性分離器械：精餾塔、吸收塔和萃取塔等; (3) 平衡級(jí)器械：閃蒸器（等溫閃蒸、絕熱閃蒸）等; (4) 壓力變化器械：泵、壓縮機(jī)、膨脹機(jī)、真空泵和節(jié)流閥等; (5) 溫度變化器械：換熱器、再沸器、冷凝器、加熱爐; (6) 化學(xué)反應(yīng)器：轉(zhuǎn)化率反應(yīng)器。化學(xué)計(jì)量反應(yīng)器、化學(xué)平衡反應(yīng)器、動(dòng)力學(xué)反

3、應(yīng)器等; (7) 耦合型器械：反應(yīng)精餾、反應(yīng)吸收等耦合操作過(guò)程; (8) 其他器械：沉淀、結(jié)晶、干燥等操作過(guò)程。,4,過(guò)程單元與單元模塊,5,單元模塊的特點(diǎn)：?jiǎn)蜗蛐?,給定其輸入物流變量及參數(shù)可計(jì)算出相應(yīng)的輸出變量，但不能 進(jìn)行反算，即不能通過(guò)輸出變量計(jì)算輸入變量，也不能通過(guò)輸 入、輸出變量計(jì)算模塊參數(shù)。,6,二、序貫?zāi)K法的基本思想,從系統(tǒng)入口物流開(kāi)始，經(jīng)過(guò)接受該物流變量的單元模塊的計(jì)算， 得到輸出物流變量，這個(gè)輸出的物流變量就是下一個(gè)相鄰單元 的輸入物流變量。依此逐個(gè)計(jì)算過(guò)程系統(tǒng)中的各個(gè)單元，最終 計(jì)算出系統(tǒng)的輸出物流。計(jì)算得出的過(guò)程系統(tǒng)中所有的物流變 量值，即狀態(tài)變量值。,7,三、序貫?zāi)?/p>

4、塊法的基本步驟,3）進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析（系統(tǒng)分解），分割、切斷，使系統(tǒng)得以開(kāi)始 計(jì)算；,1）將系統(tǒng)分解成各個(gè)可獨(dú)立解算的子系統(tǒng)（單元）；,2）建立單元模型；,4）選取適當(dāng)?shù)氖諗靠?，迭代求解系統(tǒng)。,8,當(dāng)所涉系統(tǒng)為無(wú)反饋聯(lián)結(jié)（無(wú)再循環(huán)流）的樹(shù)形結(jié)構(gòu)時(shí)，系統(tǒng)的 模擬計(jì)算順序與過(guò)程單元的排列順序是完全一致的。 具有反饋聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)（不可分割子系統(tǒng)）：需要用到分隔、切斷 以及收斂技術(shù).,決策變量：系統(tǒng)輸入物流變量及單元模塊參數(shù)。 與環(huán)境交換但與物流無(wú)關(guān)的能量流、反應(yīng)程度、分割比及 幾何尺寸等.,注意：求解與過(guò)程系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān).,分隔、切斷在前面的講解中已經(jīng)進(jìn)行，接下來(lái)講解收斂技術(shù)。,9,2.2.2 斷裂物流變

5、量的收斂_P21,通過(guò)斷裂可以將不可分割子系統(tǒng)中的回路物流打開(kāi)，從而可以 利用序貫?zāi)K法對(duì)該過(guò)程進(jìn)行模擬計(jì)算。,這種模擬計(jì)算的開(kāi)始是首先要設(shè)定起始物流變量的猜值，計(jì)算的終點(diǎn)則在于該猜值與計(jì)算值的收斂。,迭代法，是方程數(shù)值解法中最常用的一大類方法的總稱。,10,迭代法共同特點(diǎn)：對(duì)求解變量的數(shù)值進(jìn)行逐步改進(jìn)，使之從 開(kāi)始不能滿足方程的要求，逐漸逼近方程所要求的解，每一 次迭代所提供的信息（表明待解變量的數(shù)值同方程的解尚有 距離的信息），用來(lái)產(chǎn)生下一次改進(jìn)值，迭代方案有多種， 這就形成了不同的迭代方法。,過(guò)程系統(tǒng)經(jīng)過(guò)分隔和再循環(huán)網(wǎng)的斷裂后，對(duì)所有斷裂物流中 的全部變量給定一初值，即可按順序?qū)υ撓到y(tǒng)進(jìn)

6、行模擬計(jì)算， 這就需要選擇有效的迭代方法，使斷裂流股變量達(dá)到收斂值。,11,一、收斂的基本概念,1）隱式表達(dá)式與顯式表達(dá)式,描述化工流程系統(tǒng)的各類方程，一般來(lái)說(shuō)，所表達(dá)的是對(duì)其中 所含變量給以某種約束的等式關(guān)系。等式的表達(dá)形式有2種情況， 即：,隱式表達(dá)式,顯式表達(dá)式,12,2）局部收斂,迭代求解不能保證收斂到真實(shí)解的特性。,特別是在求解多解的非線性方程時(shí)，常常是初始點(diǎn)離哪個(gè)解近， 就將收斂到哪個(gè)解上。,在迭代開(kāi)始時(shí)，需要對(duì)求解變量設(shè)置一個(gè)最初的估計(jì)值，即初始點(diǎn)。,一般來(lái)說(shuō)，初始點(diǎn)應(yīng)離方程的解比較近，只有這樣才能保證求解有成功的可能性。,對(duì)實(shí)際問(wèn)題，常常是只有一個(gè)解具有物理意義，是所需要的解，

7、 如果初始點(diǎn)設(shè)得不當(dāng)，則求出的解，很可能并不是所需要的解。,13,3）全局收斂,對(duì)于迭代求解時(shí)，如待求解的非線性方程無(wú)論只有一個(gè)解還是多個(gè)解，算法均能保證方程的求解收斂在唯一正確的解時(shí)，則稱迭代求解具有全局收斂性。,14,4）收斂判據(jù),用來(lái)判斷迭代計(jì)算收斂精度的目標(biāo)函數(shù)值,在方程的迭代求解過(guò)程中，只要迭代方法正確，則每次迭代總是向方程的解逼近，對(duì)于不同的求解問(wèn)題及不同的迭代方法，收斂速度和收斂精度都是有差別的，因此應(yīng)事先規(guī)定某種判據(jù)，以此來(lái)判斷方程迭代到什么程度就認(rèn)為是收斂了。,15,絕對(duì)量 收斂判據(jù),相對(duì)量 收斂判據(jù),16,5）收斂容差,在方程的迭代求解過(guò)程中，收斂判據(jù)中設(shè)定的前后兩次迭代結(jié)

8、果的差值。為一足夠小的正數(shù)。,來(lái)表示。,一般用,實(shí)踐中，一般根據(jù)工程計(jì)算所要求的精度，或憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行估計(jì)。,合適的容差應(yīng)能使迭代時(shí)間不過(guò)長(zhǎng),又能使計(jì)算結(jié)果具有一定精度。,17,6）收斂速度,X*是方程的解。 當(dāng)n=1,n=2時(shí)稱為線性收斂與二次收斂;n1稱為超線性收斂。,18,二、收斂單元,1）收斂單元模塊：執(zhí)行斷裂物流變量收斂功能的模塊,猜值,計(jì)算值,斷裂物流變量的收斂問(wèn)題， 實(shí)際上是迭代求解非線性 方程組的問(wèn)題：x=y=G(x),G為描述過(guò)程系統(tǒng)的非線性 方程組，沒(méi)有具體的函數(shù)形 式，只是一系列單元模塊計(jì) 算的結(jié)果。,y-x=G(x)-x,19,2）收斂單元作用,比較猜值x與y，若其結(jié)果滿足

9、給定精度要求，則 結(jié)束迭代計(jì)算，否則繼續(xù)該迭代過(guò)程。,A、獲取猜值的初值x0；,B、修正迭代變量：,根據(jù)計(jì)算值y，以一定的方法確定新的猜值x,C、判斷是否達(dá)到收斂：,收斂單元實(shí)質(zhì)：數(shù)值迭代求解非線性方程組的子程序。,20,3）適合于收斂單元的數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)滿足條件,A、對(duì)初值的要求不高,P22例2-2,例: 用直接迭代法求解方程組,初值易得,不易引起迭代的發(fā)散；,初值組數(shù)少。,21,解：,令猜值為x12；x210；x35,22,解：,令猜值為x16；x23.5；x35,23,B、數(shù)值穩(wěn)定性好,24,C、收斂速度快,影響收斂速度的主要有3個(gè)因素： 迭代次數(shù)、函數(shù)G(x)的計(jì)算次數(shù)及矩陣求逆的次數(shù)

10、,序貫?zāi)K法中，G(x)沒(méi)有 具體的函數(shù)形式，每計(jì)算 一次函數(shù)值就相當(dāng)于做一 次流程回路的模擬計(jì)算,每求一次導(dǎo)數(shù)就要做 兩次流程模擬計(jì)算,D、占用計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間少,應(yīng)盡量避免導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和矩陣求逆,25,三、修正迭代變量的計(jì)算方法,牛頓法 、,直接迭代法、,有界Wegstein法、,主特征值法、,Broyden法、,擬牛頓法等,26,一些過(guò)程模擬系統(tǒng)計(jì)算中采用的迭代方法,27,將計(jì)算值yk作為下一輪迭代的猜值xk+1而實(shí)施迭代計(jì)算， 即：xk+1=yk。,又y=G(x)，則迭代公式為：xk+1=G(xk) 這樣，x=y=G(x)即：F(x)=x-G(x)=0,F(xk)=xk-G(xk)=0,xk

11、-F(xk)=xk+1,牛頓迭代式,直接迭代法的雅可比矩陣為單位矩陣,1）直接迭代法,28,直接迭代法的特點(diǎn)：方法簡(jiǎn)單，只需要一組初值，不需計(jì)算導(dǎo)數(shù) 和逆矩陣。 缺點(diǎn)：迭代次數(shù)多，收斂速度慢，且對(duì)初值要求高。,加權(quán)（阻尼）直接迭代法：xk+1=qxk+(1-q)G(xk),改善直接迭代法的收斂行為,q為阻尼因子 q=0：直接迭代； 0=1：無(wú)意義。,29,30,當(dāng)閃蒸溫度分別為以下值時(shí)：,分別用直接迭代法和阻尼直接迭代法計(jì)算汽相和液相產(chǎn)品的流量和組成，阻尼因子分別取值為0.5，0.3，-0.2，-0.3，-0.7，-0.9。,解：,依據(jù)閃蒸條件，設(shè)該閃蒸過(guò)程為理想體系，三個(gè)閃蒸器均為等溫閃蒸過(guò)

12、程，建成相應(yīng)的單元模塊。并將其改繪為如下三級(jí)閃蒸過(guò)程模擬模塊流程。,31,32,圖 2-18 三級(jí)閃蒸過(guò)程的模擬模塊流程,33,34,平衡閃蒸單元模型,物料衡算關(guān)系,組分衡算關(guān)系,熱量衡算關(guān)系,壓力,溫度,相平衡關(guān)系,組分歸一化關(guān)系,35,36,從上例可見(jiàn)，阻尼因子q值的選取具有較大的任意性和經(jīng)驗(yàn)性。1958年Wegstien提出了一種簡(jiǎn)便的方法，可以彌補(bǔ)這種阻尼因子取值困難的弱點(diǎn).,37,2）Wegstien法,A、一維Wegstien法,求解一維方程：x=g(x) (1) Wegstien迭代公式如下：,(2),(3),38,對(duì)于隱式一維代數(shù)方程： （4） 相應(yīng)的迭代公式稱作割線法，其迭代

13、公式可從Wegstein迭代公式導(dǎo)出 從（4）式可得出： （5） 將上式代入（2）式,（6）,39,從（2）和（3）式得到： （7） 上式代入（5）式，則有： （8） 式（8）就是割線法的迭代公式。由此可見(jiàn)，Wegstein法與割線法是相通的.,40,隱式方程具有更大的普遍性，所以割線法常為人們所熟知。 在流程模擬領(lǐng)域中，物流回路多用顯式方程描述的。因而多用Wegstein法。,41,(2),(3),由（2）式可見(jiàn)，一維Wegstein法需要有兩個(gè)初值，其中第一個(gè)初值是設(shè)置的猜值，第二個(gè)初值可根據(jù)第一個(gè)初值按直接迭代法得到。,42,B、有界Wegstien法,阻尼因子q選取不當(dāng)，加權(quán)直接迭代可

14、能導(dǎo)致迭代計(jì)算收斂速度 緩慢，Wegstien法雖然無(wú)需認(rèn)為選定q值，但是也可能因?yàn)閝值 不當(dāng)導(dǎo)致不能收斂。,有界Wegstien法就是憑借經(jīng)驗(yàn)人為地將q值限定在一定范圍內(nèi)， 以改善其收斂行為，即：,Flowtran:qmin=-5,qmax=0,Chess:q=0,q0 OR q10,43,C、多維Wegstien法,多維方程組,需要將,分別應(yīng)用于每一個(gè)分量.,其迭代公式為：,初值為x0，則第二個(gè)初值可由直接迭代得到：x1=G(x0),缺點(diǎn)：直接將一維迭代公式應(yīng)用于多維,在數(shù)學(xué)上是不嚴(yán)格的， 忽略了各變量之間的相互作用。,44,D、嚴(yán)格多維Wegstien法,不是直接將一維迭代公式應(yīng)用于應(yīng)用

15、于每一個(gè)分量，而是 采用向量代替變量，通過(guò)矩陣運(yùn)算進(jìn)行迭代求解。,具體過(guò)程見(jiàn)教材P27頁(yè).,缺點(diǎn):需要多組初值,給計(jì)算過(guò)程帶來(lái)不便.,45,2.2.3 序貫?zāi)K法解設(shè)計(jì)問(wèn)題,一、設(shè)計(jì)問(wèn)題的定義,當(dāng)對(duì)某個(gè)或某些系統(tǒng)變量提出設(shè)計(jì)規(guī)定要求時(shí)，通過(guò)調(diào)整 系統(tǒng)中某些決策變量、過(guò)程參數(shù)或輸入流股變量的數(shù)值、 比例，來(lái)滿足設(shè)計(jì)規(guī)定的要求的系統(tǒng)模擬計(jì)算過(guò)程。,D設(shè)計(jì)規(guī)定向量 H過(guò)程系統(tǒng)方程組 p決策變量與系統(tǒng)參數(shù)向量,46,環(huán)氧乙烷生產(chǎn)流程,惰性氣體含量,控制框,過(guò)程參數(shù),設(shè)計(jì)規(guī)定要求,47,求： 1）過(guò)程系統(tǒng)的輸出狀態(tài)：如X5，X6； 2）系統(tǒng)中其他所有流股信息：X1，X2，X3，X4等 3）與設(shè)計(jì)規(guī)定SP

16、對(duì)應(yīng)的過(guò)程參數(shù)（自由變量）U。,已知： 1）系統(tǒng)輸入X。流股的狀態(tài)變量：y,T,P,F; 2）系統(tǒng)中各子系統(tǒng)（單元）的特性； 3）系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)潢P(guān)系； 4）系統(tǒng)的期望特性，如SP設(shè)計(jì)規(guī)定：SP=X2，3=4% （惰性氣體含量）,目的：獲得給定系統(tǒng)達(dá)到期望目標(biāo)時(shí)的過(guò)程參數(shù)設(shè)置。,48,采用序貫?zāi)K法進(jìn)行模擬時(shí)，單元模塊的計(jì)算是單向不可逆的，因而不能將設(shè)定規(guī)定要求直接指定為決策變量，只能通過(guò)調(diào)整某些決策變量或系統(tǒng)參數(shù)，使計(jì)算結(jié)果滿足設(shè)計(jì)要求。,即在流程中設(shè)置控制模塊，通過(guò)控制模塊，監(jiān)督、調(diào)整及反饋傳遞有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)定的信息，通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)方式改變對(duì)應(yīng)的過(guò)程參數(shù)，最后得到期望的設(shè)計(jì)規(guī)定指標(biāo)。,從

17、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，這實(shí)際是一個(gè)數(shù)學(xué)求根問(wèn)題。,二、設(shè)計(jì)問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程,49,C(p)=H(p)-D=0,設(shè)計(jì)規(guī)定向量,決策變量或 系統(tǒng)參數(shù)變量,過(guò)程系統(tǒng)方程組,序貫?zāi)K法具有計(jì)算方向不可逆的特點(diǎn)，單元模塊的計(jì)算只能按從輸入到輸出的方向進(jìn)行。,調(diào)整反應(yīng)溫度使S5的濃度滿足設(shè)計(jì)規(guī)定,50,51,解設(shè)計(jì)問(wèn)題的具體步驟,1）設(shè)定與設(shè)計(jì)規(guī)定相對(duì)應(yīng)的過(guò)程參數(shù)的初值；,3）沿切斷后計(jì)算次序序貫地計(jì)算有關(guān)單元，直至得到新的切斷變量值；,5）在收斂單元內(nèi)比較新的設(shè)計(jì)值，與設(shè)計(jì)規(guī)定值比較，判斷是否符合設(shè)計(jì)規(guī)定，若不符合，則采用非線性方程數(shù)值解法對(duì)過(guò)程參數(shù)進(jìn)行修正，返回第1）步。,2）對(duì)不可再分塊中環(huán)路進(jìn)行無(wú)多余切斷，設(shè)

18、定切斷變量的初始值，,4）判斷是否收斂，若收斂，則進(jìn)行下一步；若不收斂，則按解模擬問(wèn)題的迭代方法修正切斷變量，返回第2）步；,52,經(jīng)典序貫?zāi)K法 的迭代層次,物性迭代,單元迭代,模擬問(wèn)題迭代,設(shè)計(jì)問(wèn)題迭代,控制模塊的設(shè)置增加了迭代循環(huán)圈。,53,控制模塊的設(shè)置增加了迭代循環(huán)圈，這也導(dǎo)致計(jì)算量的增加。為了提高收斂速度，有兩種解決辦法。,不待內(nèi)層控制框迭代收斂后，即進(jìn)行外層切斷變量的迭代。,辦法一：,如：內(nèi)層迭代2次后，不管其控制框是否已經(jīng)收斂，即轉(zhuǎn)入外層迭代?？梢约涌焓諗克俣?，減少總迭代次數(shù)，且穩(wěn)定性良好。,辦法二：同時(shí)收斂序貫?zāi)K法,采用控制框與切斷流股變量的迭代收斂框同時(shí)收斂的辦法，即聯(lián)立

19、求解切斷流股變量方程與設(shè)計(jì)方程。,54,物性迭代,單元迭代,同時(shí)收斂迭代,同時(shí)收斂迭代的迭代層次,解設(shè)計(jì)問(wèn)題的同時(shí)收斂序貫?zāi)K法計(jì)算步驟,1）設(shè)定切斷變量初值，設(shè)定與設(shè)計(jì) 規(guī)定相對(duì)應(yīng)的過(guò)程參數(shù)的初值；,2）沿切斷后計(jì)算次序序貫地計(jì)算有 關(guān)單元，直至得到新的切斷變量值 和期望設(shè)定值的計(jì)算值；,5）迭代收斂。,3）判斷是否收斂，若收斂，則到 第5）步；若不收斂，到第4）步；,4）用非線性方程組數(shù)值解法同時(shí)修正切斷變量和過(guò)程參數(shù)，返回第2）步；,55,2.2.4 序貫?zāi)K法總結(jié),1、將系統(tǒng)分解成一個(gè)個(gè)可獨(dú)立解算的子系統(tǒng)（單元）； 2、建立單元模塊； 3、進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析（系統(tǒng)分解），即進(jìn)行分割、切斷，使

20、 系統(tǒng)得以開(kāi)始計(jì)算； 4、選取適當(dāng)?shù)氖諗靠?，用迭代的方法求解系統(tǒng)。,例：,1,2,3,4,5,S01,S12,S23,S34,S43,S45,S52,56,1、分隔,結(jié)構(gòu)分析,1可獨(dú)立求算，2、3、4、5則必須聯(lián)立求解。,樹(shù)搜索法找環(huán)路，確定不可再分塊及塊間計(jì)算次序。,2、切斷,對(duì)不可再分塊進(jìn)行無(wú)多余切斷方式，確定塊內(nèi)的計(jì)算次序.,假設(shè)切斷再循環(huán)流（環(huán)路）為S52，S43；,57,1,2,3,4,5,S01,S12,S23,S34,S43,S45,S52,選取適當(dāng)?shù)氖諗靠颍玫姆椒ㄇ蠼庀到y(tǒng),58,適當(dāng)簡(jiǎn)化,分隔,切斷,排序,系統(tǒng)分解（結(jié)構(gòu)分析）,迭代算法，收斂準(zhǔn)則,穩(wěn)態(tài)模擬可執(zhí)行程序,輸出

21、計(jì)算結(jié)果,59,2.3 面向方程法,2.2.1 面向方程法的基本原理,用序貫?zāi)K法進(jìn)行過(guò)程系統(tǒng)模擬計(jì)算時(shí)，由于具有收斂計(jì)算的 循環(huán)圈，故計(jì)算量大大增加。對(duì)于過(guò)程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題和參數(shù) 優(yōu)化問(wèn)題，情況將更為嚴(yán)重，甚至不能用序貫?zāi)K法進(jìn)行求解。,60,基本思想：,將描述過(guò)程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型匯集到一起，形成一非線性方程組 進(jìn)行求解，即：F(x,w)=0,狀態(tài)變量向量,決策變量向量,系統(tǒng)模型方程組，其中包括： 物性方程組； 物料、能量與化學(xué)平衡方程； 過(guò)程單元間的聯(lián)結(jié)方程； 設(shè)計(jì)規(guī)定方程等。,注意:決策變量與狀態(tài)變量在地位上是等同的,可以將設(shè)計(jì)規(guī)定 變量直接指定為決策變量.,61,稀疏方程稀疏性可以用稀疏

22、比來(lái)衡量：,對(duì)于1000階方程組，假設(shè)每個(gè)方程均只有3個(gè)非零系數(shù)，即n=1000,N=3000,則稀疏比=0.3%。 系數(shù)矩陣占用存儲(chǔ)單元為n2=106，而其中只有3000個(gè)單元非零，可見(jiàn)，大量的運(yùn)算是在零元素之間進(jìn)行的。,62,B 高維大型方程組的存儲(chǔ)問(wèn)題;,面向方程法需要解決的問(wèn)題：,D 由于化工狀態(tài)變量具有物理意義，函數(shù)計(jì)算具有可行域的限制，在計(jì)算過(guò)程中易發(fā)生計(jì)算失敗，如何解決？,A 如何建立全過(guò)程的聯(lián)立方程組；,C 如何求解大型非線性方程組，甚至包括偏微分方程？,單元模塊當(dāng)作方程發(fā)生器+連接流方程+設(shè)計(jì)規(guī)定方程,物性方程建立獨(dú)立子程序; 方程組也可進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析（分隔與切斷）,差分方程替

23、代微分方程，在求解（迭代）過(guò)程中不斷更新,加入必要的約束條件，限制變量超出其物理意義的范圍,63,求解超大型稀疏非線性方程組,面向方程法的核心問(wèn)題：,降維求解法 聯(lián)立求解法,64,2.2.2 大型稀疏非線性方程組的降維解法,一、方程組的分解,即對(duì)于n階稀疏方程組，?？烧业絢1個(gè)變量的k1階子方程組，這 個(gè)k1階子方程組可以單獨(dú)進(jìn)行求解，其余的n-k1個(gè)方程中還可以 找到含有k2個(gè)變量的k2階子方程組，這個(gè)子方程組也可單獨(dú)進(jìn)行 求解。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，即可將原方程組分解成一系列可順序求解 的子方程組。,65,事件矩陣/ Bool關(guān)聯(lián)矩陣,變量,函數(shù),66,方程組的分解方法有回路搜索法和矩陣法兩大類。

24、,67,二、回路搜索法,為了用有向圖表示方程組的結(jié)構(gòu)，首先必須對(duì)每個(gè)方程指定一個(gè)變量作為輸出變量。,基礎(chǔ)：有向圖。,68,輸出變量是指可通過(guò)所在方程中的其他變量進(jìn)行求解的變量， 且每個(gè)變量只能被指定一次。,1）輸出變量的指定方法,輸出變量指定方法的步驟：,C 重復(fù)上述過(guò)程，直到矩陣中所有的行和列都被刪除。,A 選取事件矩陣中元素最少的行和列的交點(diǎn)處元素對(duì)應(yīng)的變量，作為優(yōu)先指定的輸出變量；,B 然后刪除該輸出變量對(duì)應(yīng)的行和列；,69,2）畫有向圖,用有向圖表示方程和向量之間的關(guān)系，圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一 個(gè)方程。如果方程fi的輸出變量存在于fj中，則從節(jié)點(diǎn)fi向fj作 一有向邊。,70,有向圖,f4

25、,71,3）回路搜索,(f2 f5),(f2 f5)無(wú)輸出邊，刪去該節(jié)點(diǎn)及所有輸入邊,72,73,它們分別代表原方程組分解后得到的小方程組，其求解按從后到前的順序進(jìn)行。,74,4）不可分解稀疏方程組的斷裂降維解法,該方程組是不可分解方程組，該方程組必須聯(lián)立求解 .,需要通過(guò)斷裂可達(dá)到進(jìn)一步 降維和增大稀疏比的目的.,75,選擇包含變量數(shù)最少的方程中的變量作為斷裂變量 斷裂變量數(shù)=斷裂方程中所包含的變量數(shù)-1; 然后給斷裂變量賦初值;再進(jìn)行迭代計(jì)算直至收斂。,斷裂,斷裂的標(biāo)準(zhǔn)：斷裂的變量數(shù)最少。,例：P33例。,76,斷裂可以使不可分解的稀疏方程組繼續(xù)分解,77,2.2.3 聯(lián)立擬線性方程組法解

26、大型稀疏非線性方程組,非線性方程組線性化，然后聯(lián)立求解線性方程組.,由于線性化引入了誤差，所以需要借助迭代使線性化方程組 的解，逐漸逼近非線性方程組的解。,78,一、線性化方法,對(duì)于N維非線性方程組，用N維線性方程組逼近：F(x)=Ax+B=0,xQL=-A-1B,泰勒展開(kāi),雅可比矩陣,79,80,牛頓迭代具有2階收斂特性，則上式也具有二階收斂特性。,F(x)=Ax+B=0： 線性方程組+非線性方程組，設(shè)其中第j個(gè)方程為非線性方程，即：,線性化形式,具體的線性化可以見(jiàn)P35例2-6。,81,82,此外，還可以得到原方程的另一種線性化方程（即直接迭代式）,兩種方法都可以收斂到解。第一種方法的收斂

27、速度明顯比第二種方法快。這是由于牛頓迭代法具有二次收斂的特點(diǎn)，而直接迭代法只是線性收斂。,83,84,二、稀疏線性方程組的解法,雖然線性化，但是仍然是稀疏矩陣，用常規(guī)方法進(jìn)行求解， 則不經(jīng)濟(jì)，計(jì)算效率較低，為了減少求解時(shí)間和存儲(chǔ)空間， 則常用下列2種方法：,1）只對(duì)非零元素進(jìn)行計(jì)算 2）只存儲(chǔ)非零元素（如壓縮存儲(chǔ)技術(shù)）,85,2個(gè)概念：填充量，主元容限,a)填充量,高斯消去法： 基本思想：線性變換將原線性方程組轉(zhuǎn)化為三角形方程組 （消元：將一個(gè)方程式乘以/除以某個(gè)常數(shù)，然后在方程式 之間作加減運(yùn)算），然后再進(jìn)行分解（回代）,86,填充量,利用高斯消去法進(jìn)行消元時(shí)，會(huì)在原來(lái)零元素處引入非零元素：

28、,新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量，填充時(shí)與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)。,87,在求解大型稀疏矩陣時(shí)，應(yīng)盡可能減少填充，否則會(huì)使計(jì)算效率下降。,注：減少填充與提高數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度有時(shí)候是矛盾的。為了減少填充，需要以a55作為主元，但是如果其絕對(duì)值很小，將會(huì)引入較大誤差，使數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度變差。,88,2)主元容限,在主元消去法中，通常將絕對(duì)值最大的元素作為主元，然后進(jìn) 行消元。其目的是為了提高計(jì)算的精度。,但是如果導(dǎo)致計(jì)算效率大大下降的話，則往往選取一絕對(duì)值不是最大，但不會(huì)引起填充量過(guò)大的元素作為主元。,主元容限0,即當(dāng)矩陣元素的絕對(duì)值大于，該元素就具備了

29、作為主元的資格，若它引入的填充量不是很大，則可定為主元。,為經(jīng)驗(yàn)值，應(yīng)同時(shí)滿足提高計(jì)算精度和減少填充量的要求。,89,3) Bending-Hutchison算法,基于全元消去法的求解稀疏線性方程組的算法。,算法核心：避免填充，同時(shí)保證計(jì)算精度。,所涉及概念:,用過(guò)的：凡是被選作主元的元素有關(guān)的方程和變量。 橫列(rank)：未用過(guò)的方程中所包含的未用過(guò)的變量數(shù)。 縱列(file)：未用過(guò)的變量在未用過(guò)的方程中所出現(xiàn)的次數(shù)。,90,挑選主元素步驟：,D 檢驗(yàn)選出的主元的絕對(duì)值是否大于由用戶給出的主元容限。 如果不大于，則暫時(shí)放在一邊，返回A，否則進(jìn)行下一步；,A 選擇縱列最小的變量，若縱列最小

30、的變量不止一個(gè)，任選其 中一個(gè)；,B 在與此變量相關(guān)的方程中，選擇橫列最小的方程所對(duì)應(yīng)的元素 作為主元；,C 如果橫列最小的方程不止一個(gè)，則選擇絕對(duì)值最大的元素作為 主元；,E 用這樣選出的主元進(jìn)行常規(guī)的高斯消元，然后返回A。,減少填充,保證計(jì)算精度和系數(shù)矩陣非奇異,91,92,列2和列8只含一個(gè)元素，即縱列=1。這兩個(gè)元素分別為方程1和8的主元。這兩列中無(wú)其它元素，不用執(zhí)行消元過(guò)程。,第3，5，7，9列均含兩個(gè)非零元素，即縱列=2。選列3，非零元素存在于方程2和9中，方程2橫列=2，方程9橫列=3，選方程2中的該元素為主元。,消去方程9中第3列的元素，這將導(dǎo)致方程9中的第一列產(chǎn)生一個(gè)非零元素

31、。,反復(fù)進(jìn)行上述過(guò)程，然后進(jìn)行回代過(guò)程。,93,94,回代后得到的變量值,方程的主元素選擇過(guò)程,95,2.2.4 面向方程法總結(jié),由于無(wú)需多層嵌套迭代，直接聯(lián)立求解描述系統(tǒng)的非線性方程組，故特別使用于具有多嵌套循環(huán)的復(fù)雜過(guò)程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,目前還沒(méi)有達(dá)到商品化通用軟件的程度，但其有以下潛在優(yōu)勢(shì)：,A 以空間及應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)換取時(shí)間；（提高收斂速度）,B 由于各方程地位平等，故對(duì)于流程修改、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)改變等適應(yīng)性強(qiáng)；,96,C 由于自動(dòng)初始化設(shè)定初值的算法逐步完善，使其選擇變量的初值比較容易，使聯(lián)立方程法成為可行；,D 方程中變量的地位是平等的，故只要解出一些變量值，就可通過(guò)計(jì)算求得其余變量值；

32、（受自由度限制） 例如，對(duì)于模擬和設(shè)計(jì)型問(wèn)題，只要改變決策變量選擇，就能求解不同性質(zhì)的問(wèn)題，不需要修改系統(tǒng)模型。,97,2.4 聯(lián)立模塊法,2.4.1 聯(lián)立模塊法的原理,序貫?zāi)K法：模塊豐,算法簡(jiǎn),易接受,空間小,維數(shù)低；效率低,嵌套多； 聯(lián)立方程法：發(fā)生器,算法復(fù)雜,難接受,空間大,高維數(shù)；高效率,一層。,98,一、聯(lián)立模塊法的基本策略,利用嚴(yán)格模塊產(chǎn)生相應(yīng)的簡(jiǎn)化模型方程的系數(shù)，然后將所有的 簡(jiǎn)化模型方程匯集到一起進(jìn)行聯(lián)解，得到系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。,由于簡(jiǎn)化模型是嚴(yán)格模塊的近似，所以計(jì)算結(jié)果往往不是問(wèn)題 的解，必須用嚴(yán)格模塊法對(duì)這組解進(jìn)行計(jì)算，修正簡(jiǎn)化模型的 系數(shù)，重復(fù)這一過(guò)程，直到收斂到原

33、問(wèn)題的解。,99,二、聯(lián)立模塊法的基本思想,1)繼承序貫?zāi)K法的模塊結(jié)構(gòu),將化工單元操作簡(jiǎn)化成各種通用 單元模塊,利用現(xiàn)有成果；,2)僅對(duì)分隔后的不可再分塊使用聯(lián)立求解的方法,迭代變量只涉及 不可再分塊中外部變量的一部分,降低了方程的維數(shù),同時(shí)避免了 嵌套迭代,提高了計(jì)算效率；,3)利用在模塊級(jí)上對(duì)單元模塊的攝動(dòng)產(chǎn)生不可再分塊近似線性模型 以及逐次修正的線性化技術(shù),在不可再分塊內(nèi)聯(lián)立求解線性化模型；,4)不可再分塊間連接仍按塊間次序順序計(jì)算,100,三、雙層法聯(lián)立模塊法框圖,流程,分隔,不可再分塊,塊間序貫,攝動(dòng)不可再分塊中的單元模塊,建立不可再分塊的近似線性方程組,求解線性方程組,判斷是否收斂,修正迭代變量,結(jié)果,模塊級(jí),流程級(jí),F,T,101,四、聯(lián)立模塊法的優(yōu)點(diǎn),1)計(jì)算效率高;,2)對(duì)初值要求較低;,3)