1、第二章 平面向量,2.5 平面向量應(yīng)用舉例,2.5.1 平面幾何中的向量方法,1.由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái),因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題. 2.用向量方法解決平面幾何問題的三步曲: 第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題; 第二步,通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系; 第三步,把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.,A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形,(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,-2),B(2

2、,3),C(-2,-1),以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是、.,3.向量法解決幾何問題的兩個(gè)方向: (1)幾何法:選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角),將題中涉及的向量用基底表示,利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算. (2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長(zhǎng)度、垂直、平行、夾角等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.,判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)若ABCD,則直線AB與CD平行.() (2)若ABC是直角三角形,則有ABBC=0.() (3)向量AB,CD的夾角與直線AB,CD的夾角未必相等.() 答案:

3、(1)(2)(3),探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一點(diǎn)共線或平行問題 【例1】 已知在平行四邊形ABCD中,E,F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且AE=FC= AC,試用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,A.垂直B.平行C.相交D.重合,答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究二垂直問題 【例2】 已知正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),求證AFDE.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四

4、,思維辨析,答案:y2=8x(x0),探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究三長(zhǎng)度問題 【例3】,如圖,平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對(duì)角線BD=2.求對(duì)角線AC的長(zhǎng). 分析:本題是求線段長(zhǎng)度的問題,它可以轉(zhuǎn)化為求向量的模來(lái)解決. 解:設(shè)AD=a,AB=b,則BD=a-b,AC=a+b, 而|BD|=|a-b|=a2-2ab+b2=1+4-2ab =5-2ab=2, |AC|2=|a+b|2=a2+2ab+b2 =|a|2+2ab+|b|2=1+4+2ab. 由得2ab=1, |AC|2=6,|AC|=6,即AC=6.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,

5、探究二,探究三,探究四,思維辨析,變式訓(xùn)練3已知ABC中,BAC=60,AB=2,AC=3,則BC的長(zhǎng)為(),答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究四夾角問題 【例4】 已知矩形ABCD中,AB= ,AD=1,E為DC上靠近D的三等分點(diǎn),求EAC的大小.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,變式訓(xùn)練4求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,錯(cuò)因分析

6、:以上三種解法都犯了推理不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腻e(cuò)誤.解法一中,只有在a,b同向共線時(shí),才有ab=|a|b|成立;解法二錯(cuò)在“即(a-c)b=0,而b0,所以a-c=0,得到a=c”,這里由(a-c)b=0只能得出(a-c)b,而不能得到a=c;解法三錯(cuò)在“ab=bc,而b0,所以a=c”,向量具有方向,不能像數(shù)量那樣,在進(jìn)行計(jì)算時(shí)可以約分. 正解:因?yàn)閍b=bc,所以(a-c)b=0,而由向量加法的三角形法則可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)(-a-c)=0,即(a-c)(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故ABC是等邊三角形.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,答案:C,1 2 3 4 5,解析:,點(diǎn)M,A,B三點(diǎn)共線,且M為線段BA靠近B的三等分點(diǎn).,答案:B,1 2 3 4 5,解析:,ab=|a|b|cos 30=,答案:C,1 2 3 4 5,3.在RtABC中,ABC=90,AB=8,BC=6,D為AC中點(diǎn),則cosBDC=(),解析:如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,8),C(6,0),則D(3,4),答案:B,1 2 3 4 5,4.已知A,B是