1、第二講 方程（組）2.1 一元一次方程、分式方程及其應(yīng)用 基礎(chǔ)盤點(diǎn)1.一元一次方程 （1）在一個(gè)整式方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次），這樣的方程叫做 . （2）解一元一次方程的解法：去分母，化方程的系數(shù)為整數(shù)；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；未知數(shù)的系數(shù)化為1.2.分式方程 （1）分母中含有未知數(shù)的方程叫做 . （2）解分式方程步驟：方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，化分式方程為整式方程；解這個(gè)整式方程；檢驗(yàn)，即將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是否為0，若是0，則此解為增根，若不是0，則此解為原方程的根；寫(xiě)出此方程的解.3.一元一次方程及分式方程的應(yīng)用列方程解應(yīng)用題的步驟：審題

2、，設(shè)未知數(shù)；找出相等關(guān)系列方程；解方程；檢驗(yàn)：如果是一元一次方程，則需要看方程的根是否符合題意；如果是分式方程，除了要檢驗(yàn)方程的根是否是原方程的增根外，還看解出來(lái)的根是否符合題意. 考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)1 一元一次方程的解法例1 （2015廣州）解方程：5x3（x4）.解析：去括號(hào)，得5x3x12，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得2x12，解得x6.點(diǎn)評(píng)：解方程移項(xiàng)時(shí)一定要注意符號(hào)的變化.考點(diǎn)2一元一次方程的解 例2 （2015常州）已知x2是關(guān)于x的方程a（x1）ax的解，則a的值是_. 解析：把x2代入方程a（x1）ax，解得a.點(diǎn)評(píng)：方程的解即是滿足方程的未知數(shù)的值，因此將其代入方程可求得方程中字母的值.考

3、點(diǎn)3 一元一次方程的應(yīng)用例3 (2015海南）小明香蔥“天貓”某網(wǎng)站購(gòu)買計(jì)算器，經(jīng)查詢，某品牌a型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)比b型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)多10元，5臺(tái)a型號(hào)的計(jì)算器與7臺(tái)b型號(hào)的計(jì)算器的價(jià)錢相同，問(wèn)：a，b兩種型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)分別是多少？解析：設(shè)a型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)為x元，則b型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)是（x10）元，依題意可得方程5x7（x10），解得x35. 所以351025（元），故a型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)為35元，則b型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)是25元.點(diǎn)評(píng)：列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列方程. 一般情況下，設(shè)未知數(shù)的方法不是唯一的，要尋找最簡(jiǎn)捷的設(shè)法.考點(diǎn)4 解分式方程 例

4、4 （2015嘉興）小明解方程的過(guò)程如圖，請(qǐng)指出他解答過(guò)程中的錯(cuò)誤，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程. 解析：小明的解法有三處錯(cuò)誤，步驟去分母有誤；步驟去括號(hào)有誤；步驟少檢驗(yàn). 正確的解法為：方程兩邊乘以x，得1-（x-2）x， 去括號(hào)，得1-x2x， 移項(xiàng)，得-x-x-1-2， 合并同類項(xiàng)，得-2x-3， 解得x， 經(jīng)檢驗(yàn)x是分式方程的解， 故原分式方程的解為x.點(diǎn)評(píng)：解分式方程的基本思想是化分式方程為整式方程，轉(zhuǎn)化的方法有兩種：一是去分母，二是換元；變形中有可能增大解的范圍，因此分式方程有產(chǎn)生增根的可能，所以檢驗(yàn)是不可忽視的步驟.考點(diǎn)5 分式方程的解 例5 （2015荊州）若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)

5、數(shù)，則m的取值范圍是（ ） a.m-1 b.m1 c.m-1且m1 d.m-1且m1 解析：去分母，得m-12x-2，解得x. 由題意，得0且1，解得m-1且m1.點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將方程中的字母看做是已知數(shù)字，求出方程的解，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是漏掉隱含條件最簡(jiǎn)公分母不為0考點(diǎn)6 增根問(wèn)題 例6 （2015營(yíng)口）若關(guān)于x的分式方式有增根，則m的值是（ ） a.m=-1 b.m=0 c.m3 d.m0或m3 解析：因?yàn)榉匠逃性龈?，所以x-30，解得x3. 原方程去分母整理得m8-3x，將x3代入得m-1.點(diǎn)評(píng)：確定增根時(shí)，注意增根所滿足的兩個(gè)條件：是由分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程的根；使最簡(jiǎn)公分

6、母為零.考點(diǎn)7 分式方程的實(shí)際應(yīng)用 例7 （2015十堰）在我市開(kāi)展“五城聯(lián)創(chuàng)”活動(dòng)中，某工程隊(duì)承擔(dān)了某小區(qū)900米長(zhǎng)的污水管道改造任務(wù)工程隊(duì)在改造完360米管道后，引進(jìn)了新設(shè)備，每天的工作效率比原來(lái)提高了20%，結(jié)果共用27天完成了任務(wù)，問(wèn)引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道多少米？ 解析：設(shè)原來(lái)每天改造管道x米，由題意，得，解得x30，經(jīng)檢驗(yàn)x30是原分式方程的解，（120%）x（120%）3036，故引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道36米.點(diǎn)評(píng)：列分式方程解決情境應(yīng)用題時(shí)，最后一定不要忘記檢驗(yàn). 誤區(qū)點(diǎn)撥1.解一元一次方程漏括號(hào) 例1 解方程. 錯(cuò)解：去分母，得， 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得， 系數(shù)化

7、為1，得. 剖析：顯然，本題第一步出錯(cuò)了. 去分母時(shí)，“”沒(méi)有用括號(hào)括起來(lái)，忽視了分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用. 去掉分?jǐn)?shù)線，應(yīng)該給分子加括號(hào). 正解：去分母，得， 去括號(hào)，得， 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得， 系數(shù)化為1，得.2.解分式方程忘記驗(yàn)根例2 解方程=錯(cuò)解：方程兩邊同時(shí)乘以（1）（1），得2（1）2（1）=3，解得=1，所以原方程的解是=1剖析：解分式方程驗(yàn)根是必要的步驟，這樣才能夠排除增根，防止擴(kuò)大解的范圍正解：（解的過(guò)程同上）檢驗(yàn)：當(dāng)=1時(shí)，21=0，所以=1是原方程的增根，所以原方程無(wú)解3.解分式方程“去分母”漏乘某些項(xiàng)例3 解方程=2錯(cuò)解：方程兩邊同時(shí)乘以（21），得=23，即=5.檢驗(yàn)：當(dāng)=

8、5時(shí)，21=90，所以=5是方程的解剖析：去分母時(shí)，應(yīng)該用最簡(jiǎn)公分母同時(shí)乘以方程兩邊的各個(gè)項(xiàng)，不能夠遺漏某些項(xiàng)正解：方程兩邊同時(shí)乘以（21），得=2（21）3，解得=檢驗(yàn)：當(dāng)=時(shí)，21=10，所以=是方程的解 跟蹤訓(xùn)練 1.（2015杭州）某村原有林地108公頃，旱地54公頃，為保護(hù)環(huán)境，需把一部分改造成林地，使旱地面積占林地面積的20%，設(shè)把x公頃旱地改為林地，則可列方程（ ）a. b.c. d.2.關(guān)于的方程的解為正實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（ ） a.2b.2 c.2 d.23.已知關(guān)于x的分式方程=1有增根，則a=_. 4.（2015畢節(jié)）關(guān)于x的方程x-4x30與有一個(gè)解相同，則a_. 5

9、.（2015揚(yáng)州）揚(yáng)州建城2500年之際，為了繼續(xù)美化城市，計(jì)劃在路旁栽樹(shù)1200棵，由于志愿者的參加，實(shí)際每天栽樹(shù)的棵數(shù)比原計(jì)劃多20%，結(jié)果提前2天完成，求原計(jì)劃每天栽樹(shù)多少棵？ 2.2 二元一次方程組及其應(yīng)用 基礎(chǔ)盤點(diǎn) 1.二元一次方程組的解法： 代入消元法：將方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程，最后求得方程組的解. 加減消元法：通過(guò)將方程組中兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程，最后求得方程組的解. 2.二元一次方程組的應(yīng)用： 列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)出題中的兩個(gè)未知數(shù)；找

10、出題中的兩個(gè)等量關(guān)系；根據(jù)等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；檢驗(yàn)所得結(jié)果的正確性及合理性并寫(xiě)出答案. 考點(diǎn)呈現(xiàn) 考點(diǎn)1 二元一次方程（組）的解 例1 （2015南充）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，則k的值是_.解析：因?yàn)榉匠探M的解x，y互為相反數(shù)，所以xy0，所以可得方程組，解得，代入方程2x3yk中可得k-1. 點(diǎn)評(píng)：本題比較常規(guī)的解法是解已知方程組，得，再由方程組的解互為相反數(shù)得32k-2-k0，解得k-1. 因?yàn)橐阎匠探M中有字母k，導(dǎo)致求解方程組比較麻煩，易于出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以對(duì)于此類問(wèn)題我們提倡使用上面的求解思路. 考點(diǎn)2 構(gòu)造二元一次方程組解

11、題例2 （2015綿陽(yáng)）若，則（ ）a.-1 b.1 c. d.- 解析：因?yàn)?，0，而二者的和為0，所以0，0，于是可得方程組，解得，所以-1.例3 （2015巴中）若單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，則a，b的值分別為（ ）a.a3，b1 b.a-3，b1 c.a3，b-1 d.a-3，b-1 解析：因?yàn)橥愴?xiàng)是指所含字母相同，且相同字母的指數(shù)相等，所以可得方程組，解得，故選a.點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造二元一次方程組解決的依據(jù)很多，比如例1的構(gòu)造依據(jù)是“兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)數(shù)均為0”，這需要大家熟練掌握二次根式、絕對(duì)值或完全平方式等的非負(fù)性；例2的構(gòu)造依據(jù)是同類項(xiàng)的定義，即相同字母的指數(shù)相等.考點(diǎn)3 二元一次方

12、程組的解法例4 (2015河北)利用加減消元法解方程組，下列做法正確的是（ ）a.要消去y，可以將52 b.要消去x，可以將3（-5）c.要消去y，可以將53 d.要消去x，可以將（-5）2 解析：觀察已知方程組，不難發(fā)現(xiàn)：若要消去x，可以將（-5）2，故選項(xiàng)d正確，b錯(cuò)誤；若要消去y，可以將35，故選項(xiàng)a、c均錯(cuò)誤. 應(yīng)選d. 例5 （2015重慶）解二元一次方程組 思路點(diǎn)撥：觀察已知方程組，不難發(fā)現(xiàn)未知數(shù)x的系數(shù)相同，因此可采用加減消元法求解.解法一：由-得5y5，解得y1，代入方程得x3，原方程組的解為.解法二：方程變形為x2y1，將方程代入方程得2y13y6，解得y1，代入方程得x3，

13、所以原方程組的解為.點(diǎn)評(píng)：解二元一次方程組有代入消元法和加減消元法. 一般情況下，當(dāng)可以較容易地把一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)的時(shí)候，用代入消元法；否則，用加減消元法.考點(diǎn)5 二元一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用例7 （2015齊齊哈爾）為了開(kāi)展陽(yáng)光體育活動(dòng)，某班計(jì)劃購(gòu)買毽子和跳繩兩種體育用品，共花費(fèi)35元，毽子單價(jià)3元，跳繩單價(jià)5元，購(gòu)買方案有（ ）a.1種 b.2種 c.3種 d.4種 解析：設(shè)購(gòu)買毽子x個(gè)，跳繩y條，依題意可得方程3x5y35. 因?yàn)閤，y均為正整數(shù)，所以方程的解可能為或，所以購(gòu)買方案有2種，故選b.點(diǎn)評(píng)：本題是借助不定方程的整數(shù)解來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，求解思路通常是：確

14、定其中一個(gè)未知數(shù)的取值范圍，然后列舉出適合條件的所有整數(shù)值，再求出另一個(gè)未知數(shù)的值，一般情況下，這類問(wèn)題的答案不唯一. 誤區(qū)點(diǎn)撥化簡(jiǎn)方程過(guò)程疏忽導(dǎo)致錯(cuò)誤例解方程組錯(cuò)解1：由4得2（）（）1.剖析： 去分母時(shí)漏乘了不含分母的項(xiàng).錯(cuò)解2：由4得2（）4.剖析： 去分母時(shí)忽視了分?jǐn)?shù)線括號(hào)的作用.錯(cuò)解3：由得8.剖析： 用乘法分配律去括號(hào)時(shí)，符號(hào)判斷錯(cuò)誤.正解： 由4得2（）（）4，化簡(jiǎn)得，整理得；由得，整理得. 由得，把代入得，故原方程組的解是 跟蹤訓(xùn)練1.二元一次方程組的解是（ ）a. b. c. d.2.若方程組的解x、y相等，則k的值為（ ）a.2 b.-2 c. d.-3.（2015黑龍江）

15、為推進(jìn)課改，王老師把班級(jí)里40名學(xué)生分成若干小組，每小組只能是5人或6人，則有幾種分組方案（ ）a.4 b.3 c.2 d.17.(2015天門)清明節(jié)期間，七（1）班全體同學(xué)分成若干小組到革命傳統(tǒng)教育基地緬懷先烈. 若每小組7人，則余下3人；若每小組8人，則少5人，由此可知該班共有_名同學(xué).8.已知二元一次方程：（1）x+y=4，（2）2x-y=2，（3）x-2y=1請(qǐng)從這三個(gè)方程中選擇你喜歡的兩個(gè)方程，組成一個(gè)方程組，并求出這個(gè)方程組的解 2.3 一元二次方程及其應(yīng)用 基礎(chǔ)盤點(diǎn)1.主要概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做 .如果一個(gè)數(shù)能使一元二次方程的左右兩邊相等，那

16、么這個(gè)數(shù)就稱為這個(gè)方程的根（解）.2.重要結(jié)論 （1）如果方程能化成或（0）的形式，則可用直接開(kāi)平方法解此方程，得，或. （2）一元二次方程（0）的求根公式為：. （3）對(duì)于一元二次方程（0），當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，；當(dāng)0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根. （4）如果一元二次方程（0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，那么，. 考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)1 一元二次方程的解 例1 （2015柳州）若x1是一元二次方程x22xm0的一個(gè)根，則m的值為_(kāi).解析：依題意將x1代入方程，得12m0，解得m-3.點(diǎn)評(píng)：此類試題的基本解法就是將根代入方程，同時(shí)要注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0.考點(diǎn)2

17、 一元二次方程的解法 例2 （1）（2015泉州）方程x22的解是_.解析：因?yàn)椋ǎ?2，所以方程x22的解是x1或x2-. （2）（2015濱州）用配方法解一元二次方程x2-6x-100時(shí)，下列變形正確的是（ ） a.（x3）21 b.（x-3）21 c.（x3）219 d.（x-3）219解析：移項(xiàng)，原方程變形為x2-6x10，方程兩邊加上9得x2-6x919，即（x-3）219.（3）（2015盤錦）方程（x2）（x3）x2的解是_.解析：移項(xiàng)，得（x2）（x3）（x2）0，提公因式，得（x2）（x4）0，所以x20或x40，解得2，4.（4） (2015大連）解方程：. 解析：因?yàn)閍1

18、，b6，c4，所以52，代入求根公式可得，所以，.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)已知方程特點(diǎn)選擇正確的方法解方程，注意在利用因式分解法解方程時(shí)，當(dāng)?shù)忍?hào)兩邊有相同的含有未知數(shù)的因式時(shí)，不能隨便約去這個(gè)因式，會(huì)導(dǎo)致方程失根，出現(xiàn)錯(cuò)誤，要通過(guò)移項(xiàng)，提取公因式的方法來(lái)求解.考點(diǎn)3 根的判別式例3 (2015福州）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值.解析：因?yàn)橛袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以0，解得，.點(diǎn)評(píng)：利用根的判別式可以來(lái)確定一元二次方程中未知數(shù)的系數(shù)或取值范圍.考點(diǎn)4 根與系數(shù)的關(guān)系例4 （2015大慶）已知實(shí)數(shù)a，b是方程的兩根，求的值.解析：因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b是方程的兩根，所以ab1，ab1，所以3. 點(diǎn)評(píng)：使用

19、根與系數(shù)的關(guān)系解題之前要保證方程的根的判別式大于等于零，即方程的根存在.考點(diǎn)5 一元二次方程的應(yīng)用 例5 （2015連云港）在某市組織的大型商業(yè)演出活動(dòng)中，對(duì)團(tuán)體購(gòu)買門票實(shí)行優(yōu)惠，決定在原定票價(jià)基礎(chǔ)上每張降價(jià)80元，這樣按原定票價(jià)需花費(fèi)6000元購(gòu)買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費(fèi)了4800元. （1）求每張門票的原定票價(jià)； （2）根據(jù)實(shí)際情況，活動(dòng)組織單位定對(duì)于個(gè)人購(gòu)票也采取優(yōu)惠政策，原定票價(jià)經(jīng)過(guò)連續(xù)二次降價(jià)后降為324元，求平均每次降價(jià)的百分率.解析：（1）設(shè)每張門票的原定票價(jià)為x元，則現(xiàn)在每張門票的票價(jià)為（x-80）元，根據(jù)題意，得，解得x400.經(jīng)檢驗(yàn)x400是原方程的根，故每張門票的原定票價(jià)為

20、400元； （2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為y，根據(jù)題意，得400（1-y）2324，解得y10.1，y21.9（不合題意，舍去），故平均每次降價(jià)10%. 點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題屬于平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，其解答模型為. 誤區(qū)點(diǎn)撥1.忽視方程同解原理，造成漏解例1 方程（x1）（x2）2（x2）的根是_.錯(cuò)解：由原方程，得x12，解得x3.剖析：錯(cuò)解錯(cuò)在方程兩邊同時(shí)除以（x2），違背了方程的同解原理，從而產(chǎn)生了漏解.正解：由原方程得（x1）（x2）2（x2）0，整理得（x2）（x3）0，所以方程的解是2，3. 2.忽視檢驗(yàn)，導(dǎo)致錯(cuò)誤例2 當(dāng)k取何正整數(shù)時(shí)，方程和方程有一整數(shù)公共根.錯(cuò)解：設(shè)方程公共根為m，則有和

21、，因?yàn)?（2）得（k3）m6，m、k為整數(shù)，所以（k3）必為6的約數(shù)，所以k31、2、3、6，解得k3、0、1、2、4、5、6、9. 因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k1、2、4、5、6、9.剖析：結(jié)論看似合理，但經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)k1、2、4時(shí)，方程無(wú)解，不符合要求；當(dāng)k9時(shí)，方程無(wú)整數(shù)根，所以k只有取5、6時(shí)符合要求.3.忽視分類討論例3 m為何值時(shí)關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根.錯(cuò)解：由方程有實(shí)數(shù)根可知0，解得，即當(dāng)且m0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.剖析：由于題設(shè)條件未對(duì)方程次數(shù)做任何規(guī)定，所以原方程可以是一元二次方程也可以是一元一次方程，所以錯(cuò)解忽視了對(duì)方程次數(shù)的分類討論.正解：（1）當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)，解法同錯(cuò)解； （2）當(dāng)方程為一元一次方程時(shí)，m0，此時(shí)方程為x20，即方程有實(shí)數(shù)根. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根. 跟蹤訓(xùn)練 1.（2015金華）一元二次方程x24x-3=0的兩根為x1，x2，則x1x2的值是（ ） a.4 b.-4 c.3 d.-3 2.（2015佛山）如圖，將一塊正方形空地劃出部分