1、專題十一二次函數(shù)與幾何圖形綜合題與線段有關(guān)的問題【例1】(2016梅州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx2bxc過a，b，c三點，點a的坐標(biāo)是(3，0)，點c的坐標(biāo)是(0，3)，動點p在拋物線上(1)b_2_，c_3_，點b的坐標(biāo)為_(1，0)_；(直接填寫結(jié)果)(2)是否存在點p，使得acp是以ac為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點p的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)過動點p作pe垂直y軸于點e，交直線ac于點d，過點d作x軸的垂線，垂足為f，連接ef，當(dāng)線段ef的長度最短時，求出點p的坐標(biāo)分析：(2)分別過點c，a作ac的垂線，交拋物線于p1，p2兩點，求出交點坐標(biāo)

2、即可；(3)連接od，證四邊形oedf為矩形得到odef，由垂線段最短求出點d的縱坐標(biāo)，從而得到點p的縱坐標(biāo)，即可求出點p的坐標(biāo)解：(2)存在理由：如圖1，當(dāng)acp190，易求直線ac的解析式為yx3，直線cp1的解析式為yx3，將yx3與yx22x3聯(lián)立解得x11，x20(舍去)，點p1的坐標(biāo)為(1，4)；當(dāng)p2ac90時，易求直線ap2的解析式為yx3，將yx3與yx22x3聯(lián)立解得x12，x23(舍去)，點p2的坐標(biāo)為(2，5)綜上所述，p的坐標(biāo)是(1，4)或(2，5)(3)如圖2，連接od，由題意可知，四邊形ofde是矩形，則odef.根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)odac時，od最短，即ef

3、最短由(1)可知，在rtaoc中，ocoa3，odac，d是ac的中點又dfoc，dfoc，點p的縱坐標(biāo)是，令x22x3，解得x.當(dāng)ef最短時，點p的坐標(biāo)是(，)或(，)與面積有關(guān)的問題【例2】(2016永州)已知拋物線yax2bx3經(jīng)過(1，0)，(3，0)兩點，與y軸交于點c，直線ykx與拋物線交于a，b兩點(1)寫出點c的坐標(biāo)并求出此拋物線的解析式；(2)當(dāng)原點o為線段ab的中點時，求k的值及a，b兩點的坐標(biāo)；(3)是否存在實數(shù)k使得abc的面積為？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由分析：(2)將ykx代入拋物線解析式得到關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可得xaxb2k，由點

4、o為線段ab的中點可得xaxb0，由此求出k值，代入一元二次方程求出xa，xb，即可求出點a，b的坐標(biāo)；(3)假設(shè)存在，利用三角形的面積公式及(2)中根與系數(shù)的關(guān)系，可得出關(guān)于k的一元二次方程，根據(jù)此方程解的情況判斷k是否存在解：(1)(0，3)，yx22x3(2)將ykx代入yx22x3中得kxx22x3，整理得x2(2k)x30，xaxb2k，xaxb3.原點o為線段ab的中點，xaxb2k0，k2.當(dāng)k2時，x230，解得xa，xb，ya2xa2，yb2xb2.故k的值為2，點a的坐標(biāo)為(，2)，點b的坐標(biāo)為(，2)(3)假設(shè)存在由(2)可知xaxb2k，xaxb3，sabcoc|xax

5、b|3，(2k)24(3)10，即(2k)220.(2k)20，方程無解，故假設(shè)不成立，即不存在實數(shù)k使得abc的面積為與三角形全等、相似有關(guān)的問題【例3】(2016黔東南州)如圖，直線yx3與x軸、y軸分別相交于點b，c，經(jīng)過b，c兩點的拋物線yax2bxc與x軸的另一個交點為a，頂點為p，且對稱軸為直線x2.(1)求該拋物線的解析式；(2)連接pb，pc，求pbc的面積；(3)連接ac，在x軸上是否存在一點q，使得以點p，b，q為頂點的三角形與abc相似？若存在，求出點q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由分析：(2)利用各點坐標(biāo)求出三邊長，得出pbc是直角三角形，即可求出面積；(3)分情況討論：

6、當(dāng)，pbqabc45時，根據(jù)比例關(guān)系式得出bq的長，即可得出點q的坐標(biāo)；當(dāng)，qbpabc45時，同理可求出點q的坐標(biāo)；當(dāng)點q在點b右側(cè)時，可得出pbqbac，因此此種情況不成立，綜上所述即可得出符合條件的點q的坐標(biāo)解：(1)yx24x3(2)yx24x3(x2)21，p(2，1)，又b(3，0)，c(0，3)，pc2，pb，bc3，pb2bc2pc2，pbc是直角三角形，且pbc90，spbcpbbc33(3)如圖，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點m，在rtpbm中，pmmb1，pbm45，pb.由點b(3，0)，c(0，3)易得oboc3，在等腰直角三角形obc中，abc45，由勾股定理得bc3.

7、假設(shè)在x軸上存在點q，使得以點p，b，q為頂點的三角形與abc相似當(dāng)，pbqabc45時，pbqabc，即，解得bq3，又bo3，點q與點o重合，q1的坐標(biāo)是(0，0)；當(dāng)，qbpabc45時，qbpabc，即，解得qb，ob3，oqobqb3，q2的坐標(biāo)是(，0)；當(dāng)q在b點右側(cè)，則pbq18045135，bac135，故pbqbac，則點q不可能在b點右側(cè)的x軸上綜上所述，點q的坐標(biāo)為(0，0)或(，0)特殊三角形問題【例4】(2016漳州)如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于點a和點b(3，0)，與y軸交于點c(0，3)(1)求拋物線的解析式；(2)若點m是在x軸下方拋物線上的動點，過點m

8、作mny軸交直線bc于點n，求線段mn的最大值；(3)在(2)的條件下，當(dāng)mn取得最大值時，在拋物線的對稱軸l上是否存在點p，使pbn是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點p的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由分析：(2)設(shè)出點m的坐標(biāo)，結(jié)合點m的坐標(biāo)和直線bc的解析式可得點n的坐標(biāo)，由此得出線段mn的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，由點m在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值；(3)假設(shè)存在，設(shè)出點p的坐標(biāo)，結(jié)合(2)的結(jié)論可求出點n的坐標(biāo)，從而利用兩點間的距離公式求出線段pn，pb，bn的長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n值，從而得出點p的坐標(biāo)解：(1)yx24x3(2)設(shè)

9、點m的坐標(biāo)為(m，m24m3)，易求直線bc的解析式為yx3.mny軸，點n的坐標(biāo)為(m，m3)拋物線的解析式為yx24x3(x2)21，拋物線的對稱軸為x2，與x軸另一交點a為(1，0)，1m3.mnm3(m24m3)m23m(m)2，當(dāng)m時，線段mn取最大值，最大值為(3)假設(shè)p點存在設(shè)點p的坐標(biāo)為(2，n)當(dāng)m時，點n的坐標(biāo)為(，)，pb，pn，bn.pbn為等腰三角形分三種情況：當(dāng)pbpn時，即，解得n，此時點p的坐標(biāo)為(2，)；當(dāng)pbbn時，即，解得n，此時點p的坐標(biāo)為(2，)或(2，)；當(dāng)pnbn時，即，解得n，此時點p的坐標(biāo)為(2，)或(2，)綜上可知，點p的坐標(biāo)為(2，)，(2

10、，)，(2，)，(2，)或(2，)特殊四邊形問題【例5】(2016畢節(jié))如圖，已知拋物線yx2bx與直線y2x4交于a(a，8)，b兩點，點p是拋物線上a，b之間的一個動點，過點p分別作x軸、y軸的平行線與直線ab交于點c，e.(1)求拋物線的解析式；(2)若c為ab的中點，求pc的長；(3)如圖，以pc，pe為邊構(gòu)造矩形pcde，設(shè)點d的坐標(biāo)為(m，n)，請求出m，n之間的關(guān)系式分析：(2)聯(lián)立拋物線和直線解析式求出b點坐標(biāo)，從而求出c點坐標(biāo)，結(jié)合條件可知p點縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求p點橫坐標(biāo)，從而可求pc的長；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)分別用m，n表示出點c，p的坐標(biāo)，根據(jù)decp，可得到m

11、，n的關(guān)系式解：(1)yx22x(2)聯(lián)立拋物線和直線解析式可得解得b點坐標(biāo)為(2，0)，a(2，8)，b(2，0)，c為ab中點，c點坐標(biāo)為(0，4)，又pcx軸，p點縱坐標(biāo)為4，p點在拋物線上，令4x22x，解得x1或x1，又p點在a，b之間的拋物線上，x1不合題意，舍去，p點坐標(biāo)為(1，4)，pc101(3)d(m，n)，且四邊形pcde為矩形，c點橫坐標(biāo)為m，e點縱坐標(biāo)為n，c，e都在直線y2x4上，c(m，2m4)，e(，n)，pcx軸，pey軸，p點縱坐標(biāo)為2m4，橫坐標(biāo)為，即點p的坐標(biāo)為(，2m4)p點在拋物線上，2m4()22()，整理可得n24n8m160，mn2n2 1(導(dǎo)

12、學(xué)號59042313)(2016遵義)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，rtabc的三個頂點分別是a(8，3)，b(4，0)，c(4，3)，abc.拋物線yx2bxc經(jīng)過點c，且對稱軸為x，并與y軸交于點g.(1)求拋物線的解析式及點g的坐標(biāo)；(2)將rtabc沿x軸向右平移m個單位，使b點移到點e，然后將三角形繞點e順時針旋轉(zhuǎn)得到def，若點f恰好落在拋物線上求m的值；連接cg交x軸于點h，連接fg交x軸于點q，過b作bpfg，交cg于點p，求證：phgh.解：(1)yx2x，點g(0，)(2)過f作fmy軸，交de于點m，交y軸于點n，由題意可知ac4，bc3，則ab5，fm，rtabc沿x軸向右

13、平移m個單位，使b點移到點e，e(4m，0)，oemn4m，fn(4m)m，在rtfme中，由勾股定理得em，f(m，)，點f在拋物線上，(m)2(m)，即5m28m360，解得m12(舍去)，m2，則m的值為易求得fg的解析式為yx，cg解析式為yx，令x0，得x1，則q(1，0)，令x0，得x1.5，則h(1.5，0)，bh41.52.5，hq1.512.5，bhqh，bpfg，pbhgqh，bphqgh，bphqgh(aas)，phgh2(導(dǎo)學(xué)號59042314)(2016棗莊)如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，且拋物線經(jīng)過a(1，0)，c(0，3)兩點，與x軸交

14、于點b.(1)若直線ymxn經(jīng)過b，c兩點，求直線bc和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x1上找一點m，使點m到點a的距離與到點c的距離之和最小，求出點m的坐標(biāo)；(3)設(shè)點p為拋物線的對稱軸x1上的一個動點，求使bpc為直角三角形的點p的坐標(biāo)解：(1)yx22x3，yx3(2)設(shè)直線bc與對稱軸x1的交點為m，則此時mamc的值最小把x1代入yx3得y2，m(1，2)(3)設(shè)p(1，t)，又b(3，0)，c(0，3)，bc218，pb2(13)2t24t2，pc2(1)2(t3)2t26t10，若點b為直角頂點，則bc2pb2pc2，即184t2t26t10，解得t2；若點c為直角頂點，

15、則bc2pc2pb2，即18t26t104t2，解得t4；若點p為直角頂點，則pb2pc2bc2，即4t2t26t1018，解得t1，t2.綜上所述p的坐標(biāo)為(1，2)或(1，4)或(1，) 或(1，)3(導(dǎo)學(xué)號59042315)(2016安順)如圖，拋物線經(jīng)過a(1，0)，b(5，0)，c(0，)三點(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點p，使papc的值最小，求點p的坐標(biāo)；(3)點m為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點n，使以a，c，m，n四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點n的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)yx22x(2)拋物線的解析式為yx22x，其對稱軸

16、為直線x2，如圖1，連接bc，papcbc且為最小值b(5，0)，c(0，)，可求直線bc的解析式為yx，當(dāng)x2時，y1，p(2，)(3)存在如圖2，當(dāng)點n在x軸下方時，拋物線的對稱軸為直線x2，c(0，)，cn1x軸，則y，x4，n1(4，)；當(dāng)點n在x軸上方時，過點n2作n2dx軸于點d，可證an2dm2co(asa)，n2doc，即n2點的縱坐標(biāo)為，令x22x，解得x2或x2，n2(2，)，n3(2，)綜上所述，符合條件的點n的坐標(biāo)為(4，)，(2，)或(2，)1(導(dǎo)學(xué)號59042316)(2016深圳)如圖，拋物線yax22x3與x軸交于a，b兩點，且b(1，0)(1)求拋物線的解析式

17、和點a的坐標(biāo)；(2)如圖，點p是直線yx上的動點，當(dāng)直線yx平分apb時，求點p的坐標(biāo)；(3)如圖，已知直線yx分別與x軸、y軸交于c，f兩點，點q是直線cf下方的拋物線上的一個動點，過點q作y軸的平行線，交直線cf于點d，點e在線段cd的延長線上，連接qe.問：以qd為腰的等腰qde的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由解：(1)yx22x3，a(3，0)(2)若yx平分apb，則apobpo，如圖1，若p點在x軸上方，pa與y軸交于點b，由于點p在直線yx上，可知pobpob45，可證bpobpo(asa)，bobo1，易求直線ap解析式為yx1，聯(lián)立解得p點

18、坐標(biāo)為(，)；若p點在x軸下方時，同理可得bopbop，bpobpo，又bpo在apo的內(nèi)部，apobpo，即此時沒有滿足條件的p點綜上可知p點坐標(biāo)為(，)(3)如圖2，作qhce于點h，可求c(，0)，f(0，)，tanofc，dqy軸，qdhgfdofc，tanhdq，設(shè)dqt，可求dht，hqt，qde是以dq為腰的等腰三角形，若dqde，則sdeqdehqttt2；若dqqe，則sdeqdehq2dhhqttt2，t2t2，當(dāng)dqqe時，deq的面積最大設(shè)q點坐標(biāo)為(x，x22x3)，則d(x，x)，q點在直線cf的下方，dqtx(x22x3)x2x，當(dāng)x時，tmax3，(sdeq)m

19、axt2，即以qd為腰的等腰三角形的面積最大值為2(導(dǎo)學(xué)號59042317)(2016山西)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yax2bx8與x軸交于a，b兩點，與y軸交于點c，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點o，與拋物線的一個交點為d，與拋物線的對稱軸交于點e，連接ce，已知點a，d的坐標(biāo)分別為(2，0)，(6，8)(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并分別求出點b和點e的坐標(biāo)；(2)試探究拋物線上是否存在點f，使foefce？若存在，請直接寫出點f的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若點p是y軸負(fù)半軸上的一個動點，設(shè)其坐標(biāo)為(0，m)，直線pb與直線l交于點q，試探究：當(dāng)m為何值時，opq是等腰三角形解：(1

20、)易求拋物線解析式為yx23x8，yx23x8(x3)2，拋物線對稱軸為直線x3，又拋物線與x軸交于a，b兩點，點a坐標(biāo)(2，0)，點b坐標(biāo)(8，0)易求直線l的解析式為yx，點e為直線l與拋物線的對稱軸的交點，點e的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為34，點e坐標(biāo)(3，4)(2)拋物線上存在點f使得foefce，此時點f縱坐標(biāo)為4，x23x84，x26x80，解得x3，點f坐標(biāo)為(3，4)或(3，4)(3)如圖1，當(dāng)opoq時，opq是等腰三角形，點e坐標(biāo)(3，4)，oe5，過點e作直線mepb，交y軸于點m，交x軸于點h，則，omoe5，點m坐標(biāo)(0，5)，可求直線me解析式為yx5，令y0，得x50，解得x15，點h坐標(biāo)為(15，0)，mhpb，即，m；如圖2，當(dāng)qoqp時，poq是等腰三角形，當(dāng)x0時，yx23x88，點c坐標(biāo)(0，8)，ce5，oece，12，qoqp，13，23，cepb，可求直線ce解析式為yx8，令y0，得x80，x6，點n坐標(biāo)(6，0)，cnpb，m.綜上所述，當(dāng)m或時，opq是等腰三角形3(導(dǎo)學(xué)號59042318)(2016聊城)如圖，已知拋