1、立體幾何知識點整理（文科）一 直線和平面的三種位置關系：1. 線面平行 符號表示： 2. 線面相交 符號表示： 3. 線在面內符號表示： 二 平行關系：1. 線線平行： 方法一：用線面平行實現。方法二：用面面平行實現。方法三：用線面垂直實現。 若，則。方法四：用向量方法： 若向量和向量共線且l、m不重合，則。2. 線面平行：方法一：用線線平行實現。方法二：用面面平行實現。方法三：用平面法向量實現。若為平面的一個法向量，且,則。3. 面面平行：方法一：用線線平行實現。方法二：用線面平行實現。三垂直關系： 1. 線面垂直： 方法一：用線線垂直實現。方法二：用面面垂直實現。2. 面面垂直： 方法一：

2、用線面垂直實現。方法二：計算所成二面角為直角。3. 線線垂直： 方法一：用線面垂直實現。方法二：三垂線定理及其逆定理。方法三：用向量方法： 若向量和向量的數量積為0，則。三 夾角問題。(一) 異面直線所成的角：(1) 范圍：(2)求法：方法一：定義法。步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。步驟2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：(計算結果可能是其補角)方法二：向量法。轉化為向量的夾角(計算結果可能是其補角)：(二) 線面角(1)定義：直線l上任取一點P（交點除外），作PO于O,連結AO，則AO為斜線PA在面內的射影，(圖中)為直線l與面所成的角。(2)范圍： 當時，或當時，(3)求法

3、：方法一：定義法。步驟1：作出線面角，并證明。步驟2：解三角形，求出線面角。(三) 二面角及其平面角(1)定義：在棱l上取一點P，兩個半平面內分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角l的平面角。(2)范圍： (3)求法：方法一：定義法。步驟1：作出二面角的平面角(三垂線定理)，并證明。步驟2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步驟1：如圖，若平面POA同時垂直于平面，則交線(射線)AP和AO的夾角就是二面角。步驟2：解三角形，求出二面角。方法三：坐標法(計算結果可能與二面角互補)。步驟一：計算步驟二：判斷與的關系，可能相等或者互補。四 距離問題。1點面距。方法一：幾

4、何法。步驟1：過點P作PO于O，線段PO即為所求。步驟2：計算線段PO的長度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點法)2線面距、面面距均可轉化為點面距。3異面直線之間的距離方法一：轉化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，且，則異面直線m和n之間的距離可轉化為直線m與平面之間的距離。方法二：直接計算公垂線段的長度。方法三：公式法。如圖，AD是異面直線m和n的公垂線段，則異面直線m和n之間的距離為：ABCD五 空間向量(一) 空間向量基本定理若向量為空間中不共面的三個向量，則對空間中任意一個向量，都存在唯一的有序實數對，使得。(二) 三點共線，四點共面問題1. A，B，C三點共線，且當時，

5、A是線段BC的 A，B，C三點共線2. A，B，C，D四點共面，且當時，A是BCD的 A，B，C，D四點共面(三)空間向量的坐標運算1. 已知空間中A、B兩點的坐標分別為：， 則： ; 2. 若空間中的向量，則 六 常見幾何體的特征及運算(一) 長方體1. 長方體的對角線相等且互相平分。2. 若長方體的一條對角線與相鄰的三條棱所成的角分別為，則若長方體的一條對角線與相鄰的三個面所成的角分別為，則3.若長方體的長寬高分別為a、b、c，則體對角線長為 ，表面積為 ，體積為 。(二) 正棱錐：底面是正多邊形且頂點在底面的射影在底面中心。(三) 正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。(四) 正多面體：每個面

6、有相同邊數的正多邊形，且每個頂點為端點有相同棱數的凸多面體。(只有五種正多面體)(五) 棱錐的性質：平行于底面的的截面與底面相似，且面積比等于頂點到截面的距離與棱錐的高的平方比。正棱錐的性質：各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形。(六) 體積： (七) 球1.定義：到定點的距離等于定長的點的集合叫球面。2. 設球半徑為R，小圓的半徑為r，小圓圓心為O1，球心O到小圓的距離為d，則它們三者之間的數量關系是 。3. 球面距離：經過球面上兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度。4.球的表面積公式： 體積公式： 高考題典例考點1 點到平面的距離例1如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點（）求證：平面；（

7、）求二面角的大小；（）求點到平面的距離解答過程（）取中點，連結為正三角形，ABCDOF正三棱柱中，平面平面，平面連結，在正方形中，分別為的中點， ， 在正方形中， 平面（）設與交于點，在平面中，作于，連結，由（）得平面 ， 為二面角的平面角在中，由等面積法可求得，又， 所以二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設點到平面的距離為由，得， 點到平面的距離為考點2 異面直線的距離例2 已知三棱錐，底面是邊長為的正三角形，棱的長為2，且垂直于底面.分別為的中點，求CD與SE間的距離.解答過程： 如圖所示，取BD的中點F，連結EF，SF，CF，為的中位線，面,到平面的距離即為兩異面直線間的

8、距離.又線面之間的距離可轉化為線上一點C到平面的距離，設其為h，由題意知，,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點，在Rt中，在Rt中，又 由于，即，解得 故CD與SE間的距離為.考點3 直線到平面的距離例3 如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點，求BD到平面的距離.BACDOGH思路啟迪：把線面距離轉化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解.解答過程：解析一平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求點O平面的距離,，平面,又平面 平面，兩個平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解析二 平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求點B

9、平面的距離.設點B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則 , 即BD到平面的距離等于.小結：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關鍵是選準恰當的點，轉化為點面距離.本例解析一是根據選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.考點4 異面直線所成的角例4如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角的直二面角是的中點（I）求證：平面平面；（II）求異面直線與所成角的大小解答過程：（I）由題意，是二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足為，連結（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為小結

10、： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現兩條異面直線間的關系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點5 直線和平面所成的角例5. 四棱錐中，底面為平行四邊形，側面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小解答過程：（）作，垂足為，連結，由側面底面，得底面DBCAS因為，所以，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得（）由（）知，依題設，

11、故，由，得 ， 的面積連結，得的面積設到平面的距離為，由于，得，解得設與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為小結：求直線與平面所成的角時，應注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關系；（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：構造作出斜線與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角，計算常用解三角形的方法求角，結論點明直線和平面所成的角的值.考點6 二面角例6如圖，已知直二面角，ABCQP，直線和平面所成的角為（I）證明（II）求二面角的大小ABCQPOH過程指引：（I）在平面內過點作于點，連結因為，所以，又因為，所以而，所以，從而，又，所以平面因為平面，故（II）由（I）知，又，所以過點

12、作于點，連結，由三垂線定理知，故是二面角的平面角由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設，則，在中，所以，于是在中，故二面角的大小為小結：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內的兩條平行直線找出棱，補形構造幾何體發(fā)現棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小.考點7 利用空間向量求空間距離和角例7 如圖，已知是棱長為的正方體，點在上，點在上，且（1）求證：四點共面； （2）