1、第2課時 基本不等式的應(yīng)用,【知識提煉】 基本不等式與最值 已知x0，y0，則 (1)若x+y=s(和為定值)，則當_時，積xy取得最_ 值_.,x=y,大,(2)若xy=p(積為定值)，則當_時，和x+y取得最_ 值_. 記憶口訣：兩正數(shù)的和定積_，兩正數(shù)的積定和 _.,x=y,小,最大,最小,【即時小測】 1.思考下列問題 (1)利用基本不等式求最值時應(yīng)注意哪幾個條件？ 提示：三個條件是：一正，二定，三相等.,(2)湊配法求最值的基本技巧有哪些？ 提示：配湊系數(shù). 配湊常數(shù). 配湊分子. 配湊分母.,2.已知x+2y=1，則2x+4y的最小值為() A.8B.6C.2D.3 【解析】選C.

2、因為2x0，4y0，所以2x+4y 當且僅當2x=4y，即x=2y.又x+2y=1. 故x= ，y= 時，等號成立.,3.已知xy0，則代數(shù)式 () A.有最小值2B.有最大值-2 C.有最小值-2D.不存在最值 【解析】選B.因為x2+y22|xy|=-2xy，又xy0， 故 -2.,4.已知0x1，則x(3-3x)取最大值時x的值是_. 【解析】因為0x1，所以x(3-3x)=3x(1-x) 當且僅當x=1-x，即x= 時，等號成立. 答案：,5.已知a0，b0，且2a+b=4，則 的最小值為_. 【解析】因為a0，b0，且2a+b=4，所以4=2a+b 2 ，即 當且僅當2a=b， 即a

3、=1，b=2時，取最小值. 答案：,【知識探究】 知識點 基本不等式的應(yīng)用 觀察如圖所示的內(nèi)容，回答下列問題：,問題1：若求和(積)的最值時，一般找哪個量為定值？ 問題2：利用基本不等式求最值時應(yīng)注意哪些方面？,【總結(jié)提升】 1.利用基本不等式求最值時應(yīng)注意的四個方面 (1)代數(shù)式中，各項必須都是正數(shù).例如，x+ ，當x0 時，就不能直接用基本不等式得x+ 2，而應(yīng)該轉(zhuǎn)化 為正數(shù)后再應(yīng)用基本不等式.,(2)代數(shù)式中，含變量的各項的和或積必須是常數(shù).若含變量的各項之和或之積不是常數(shù)(定值)時，必須進行適當?shù)呐錅悾购突蚍e變?yōu)槌?shù)(定值)，方可求出函數(shù)的最大值或最小值.,(3)利用基本不等式求最值

4、時，必須保證“=”能取得.若取不到等號，必須經(jīng)過適當?shù)淖冃?，使之能取到等? (4)多次使用基本不等式時，由于連續(xù)使用基本不等式或者限定了某些量的取值范圍，而導致等號成立的條件不具備，不能直接運用基本不等式，這時應(yīng)進一步轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化成能用不等式求解或用其他方法求解.,2.正確理解基本不等式模型 (1)基本不等式模型為我們提供了利用基本不等式解決 簡單的最值問題的思考方向，若x+y=s(x0，y0，s是 常數(shù))，則 由此得 當且僅當 x=y時取“=”.所以xy取得最大值 .,(2)同理，當xy=p(x0，y0，p是常數(shù))時， 當且僅當x=y時，x+y取得最小值 . 那么，當和為定值時，可以求得

5、積的最大值，當積為 定值時，可以求得和的最小值.,【題型探究】 類型一 利用基本不等式求最值問題 【典例】1.(2015洛陽高二檢測)下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是() A.y=x+B.y=sinx+ C.y=ex+4e-xD.y=log3x+logx81,2.(2015邢臺高二檢測)如果log3m+log3n=4，那么m+n 的最小值是() A.4B.18C.4D.9 3.設(shè)0x ，則函數(shù)y=x(3-2x)的最大值是_.,【解題探究】1.典例1中要求函數(shù)的最值，應(yīng)從哪些方面考慮？ 提示：看是否滿足一正、二定、三相等. 2.典例2中由log3m+log3n=4可得到什么結(jié)論？ 提示：由log3

6、m+log3n=4，可得mn=34.,3.典例3中的函數(shù)y=x(3-2x)如何變形才能利用基本不等式？ 提示：y=x(3-2x)= 2x(3-2x).,【解析】1.選C.選項A，C，D不能保證是正數(shù)之和，選項B中sinx取不到2，只有C項滿足兩項均為正，當且僅當x=ln2時等號成立，故選C. 2.選B.因為log3m+log3n=4，故mn=34且m0，n0. 又因為 mn，所以m+n18. 當且僅當m=n=9時取等號.,3.因為00， 所以y=x(3-2x)= 2x(3-2x) 當且僅當x= 時等號成立， 所以函數(shù)y=x(3-2x)的最大值是 . 答案：,【方法技巧】 1.利用基本不等式求最

7、值的策略,2.利用基本不等式求條件最值的常用方法 (1)“1”的代換：利用已知的條件或?qū)⒁阎獥l件變形得到含“1”的式子，將“1”代入后再利用基本不等式求最值.,(2)構(gòu)造法： 構(gòu)造不等式：利用ab 將式子轉(zhuǎn)化為含ab或a+b的一元二次不等式，將ab，(a+b)作為整體解出范圍； 構(gòu)造定值：結(jié)合已知條件對要求的代數(shù)式變形，構(gòu)造出和或積的定值，再利用基本不等式求最值.,(3)函數(shù)法：若利用基本不等式時等號取不到，則無法利用基本不等式求最值，則可將要求的式子看成一個函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.,【變式訓練】已知a3，求 的最小值. 【解題指南】利用a3的條件及結(jié)構(gòu)式中一為分式，一為整式的特點配湊.

8、,【解析】因為a3，所以a-30， 當且僅當a-3= ，即a=5時等號成立.,類型二 利用基本不等式解決實際應(yīng)用問題 【典例】1.藍天超市一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x=_噸.,2.(2015承德高二檢測)如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過C點，已知AB=3m，AD=2m.,(1)要使矩形AMPN的面積大于32m2，則AN的長度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ (2)當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?,【解題探

9、究】1.典例1中的總運費為多少元？ 提示：由于每次購買x噸，則購買的次數(shù)為 次，每 次運費為4萬元，則總運費為 4萬元. 2.典例2中矩形AMPN的面積如何表示出來？ 提示：設(shè)AN的長為xm(x2)，則由 得 所以,【解析】1.超市一年購買某種貨物400噸，每次都購買 x噸，則需要購買 次，運費為4萬元/次，一年的總 存儲費用為4x萬元，則一年的總運費與總存儲費用之 和為（ 4+4x）萬元.因為 4+4x160，當 即x=20時，一年的總運費與總存儲費用之和最小 答案：20,2.設(shè)AN的長為x m(x2)，則由 得 所以 (1)由S矩形AMPN32，得 32. 又x2，解得28. 所以AN的長

10、度的取值范圍為(2， )(8，+),(2)因為 當且僅當3(x-2)= ，即x=4時，等號成立所以當 AN的長度是4 m時，矩形AMPN的面積最小，最小值為 24 m2.,【方法技巧】利用基本不等式解決實際問題的步驟 解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再利用數(shù)學知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題.用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：,(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù). (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題. (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值. (4)正確寫出答案.,【變式訓練】(

11、2014湖北高考)某項研究表明：在考 慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng) 過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假 設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長 l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F=,(1)當l=6.05時，則最大車流量為_輛/小時. (2)當l=5時，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加_輛/小時.,【解析】(1)當l=6.05時，則 1 900，當且僅當v= ，即v=11(米/秒)時取等號.,(2)當l=5時，則 當且僅當v= ，即v=10(米/秒)時取等號，此時最大 車流量比(1)中的最大車流量增加100輛/小時. 答案：(1)1 900 (

12、2)100,【補償訓練】(2015吉林高二檢測)圍建一個360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示.已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m.設(shè)利用的舊墻長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元).,(1)將y表示為x的函數(shù). (2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.,【解析】(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長為a m， 則y=45x+180(x2)+1802a， 由已知xa=360，得a= . 所以y=225x+ 360(x0),(

13、2)因為x0， 所以 所以y=225x+ -36010 800360=10 440， 當且僅當225x= 時，等號成立 即當x24 m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10 440元,類型三 基本不等式的綜合應(yīng)用 【典例】1.(2015徐州高二檢測)當00，a1)的圖象恒過定點A， 若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m0，n0，則 的最小值為_.,3.(2015青島高二檢測)設(shè)x，y，z為正實數(shù)，滿足 x-2y+3z=0，求 的最小值.,【解題探究】1.典例1中由不等式x(2-x)a恒成立，轉(zhuǎn) 變?yōu)榍髕(2-x)的最大值還是最小值？ 提示：只要求x(2-x)的最大值即可. 2.典例2中

14、定點A的坐標是什么？ 提示：函數(shù)y=loga(x+3)-1(a0，a1)的圖象恒過定點， 即當x+3=1，x=-2時，y=loga1-1=-1，即A(-2，-1).,3.典例3中由x-2y+3z=0可得到什么？ 提示：由x-2y+3z=0，得y=,【解析】1.因為00，所以x(2-x) =1.所以a1. 答案：1，+),2.由題意可得函數(shù)y=loga(x+3)1(a0，a1)的圖象 恒過定點A(2，1)又因為點A在直線mx+ny+1=0上， 所以2m+n=1. 所以 當且 僅當 時等號成立，因為m0，n0，所以n=2m，即 當m= ，n= 時， 有最小值8. 答案：8,3.由x2y+3z=0，

15、得y= ，代入 ， 得 當且僅當x=3z時取等號所以 的最小值為3.,【延伸探究】 1.(改變問法)典例3中條件不變，求 的最大值. 【解析】因為x，y，z為正實數(shù)， 由x-2y+3z=0得x+3z=2y， 所以 當且僅當x=3z時取等號. 故 的最大值為 .,2.(變換條件，改變問法)典例3中條件“x-2y+3z=0”改為“x-xz+3z=0”其他條件不變，求xz的最小值. 【解析】因為x，y，z為正實數(shù)， 由x-xz+3z=0得xz=x+3z 故 xz12， 當且僅當x=3z時取等號， 所以xz的最小值為12.,【方法技巧】最值法解答恒成立問題 將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種

16、處理方法，其一般類型有： (1)f(x)a恒成立af(x)min. (2)f(x)a恒成立af(x)max.,【補償訓練】(2015上饒高二檢測)已知x0，y0， lg2x+lg8y=lg2，則 的最小值為() A.2B.2C.4D.2,【解析】選C.由lg 2x+lg 8y=lg 2得， 2x+3y=2，即x+3y=1， 所以 當且僅當 ，即x=3y時取等號.,規(guī)范解答 利用基本不等式求最值 【典例】(12分)(2015益陽高二檢測)已知3a2+2b2=5，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值.,【審題指導】(1)要求y=(2a2+1)(b2+2)的最值，要利用好已知條件3a2+2b2=5