1、2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì) 第1課時(shí)拋物線的簡單幾何性質(zhì),【閱讀教材】 根據(jù)下面的知識結(jié)構(gòu)圖閱讀教材，并識記雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，初步掌握雙曲線的性質(zhì),【知識鏈接】 1.二次函數(shù)的值域：二次函數(shù)的值域即拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍，由圖象可知二次函數(shù)的值域取決于開口方向和頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) 2.拋物線的概念：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 3.待定系數(shù)法求拋物線方程：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個(gè)系數(shù)p，利用拋物線的幾何性質(zhì)可以得到關(guān)于p的方程，解方程可求得p，進(jìn)而求出拋物線的方程,主題：拋物線的幾何性質(zhì) 【自主認(rèn)知】 1.觀察下列圖形，探究以下問題：,(1)觀察焦點(diǎn)在x

2、軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？ 提示：拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個(gè)頂點(diǎn)，有兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；拋物線只有一條曲線，一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，無中心.,(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y2=2px(p0)如何確定橫坐標(biāo)x的范圍？ 提示：由拋物線y2=2px(p0)有 所以x0. 所以拋物線的范圍為x0.拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.,2.觀察下面表格，探究以下問題：,(1)拋物線是中心對稱圖形嗎？它有漸近線嗎？ 提示：拋物線

3、不是中心對稱圖形，也沒有漸近線. (2)觀察表中拋物線圖象上點(diǎn)與焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離的聯(lián)系，結(jié)合拋物線離心率的概念探究拋物線離心率的大小. 提示：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率，通過拋物線的定義及圖形特點(diǎn)易得拋物線的離心率為1.,(3)觀察圖象，分析拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及對稱性分別是什么？ 提示：所有拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式都有頂點(diǎn)(0，0).焦點(diǎn)在x軸上時(shí)拋物線圖象關(guān)于x軸對稱，焦點(diǎn)在y軸上時(shí)拋物線圖象關(guān)于y軸對稱.,根據(jù)以上探究過程，試著完成下列填空： 拋物線的簡單幾何性質(zhì),x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,x,y,O(0,0),1,【合作探究】 1.在

4、同一坐標(biāo)系中作出拋物線y2=4x，y2=2x，y2=x，y2= 的圖形.觀察并回答拋物線的開口大小由什么決定？,提示：作出圖形如圖所示，根據(jù)圖形比較可知，開口大小由p決定，p越大，開口越開闊，p越小則開口越小.,2.過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線被拋物線截得的線段的長度是多少？ 提示：2p，畫拋物線時(shí)往往參考這條線段，以防止開口畫得過大或過小.,【過關(guān)小練】 1.正三角形一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則滿足此條件的正三角形共有() A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.4個(gè) 【解析】選C.由拋物線的對稱性可知，另兩個(gè)頂點(diǎn)一組在焦點(diǎn)的下方，

5、一組在焦點(diǎn)的上方，共有兩組.,2.已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF| |BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為( ) 【解析】選C.根據(jù)拋物線的定義與梯形中位線定理，得線段AB的中點(diǎn) 到y(tǒng)軸的距離為,【歸納總結(jié)】 1.對拋物線中參數(shù)的兩點(diǎn)說明 (1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的開口大小與開口方向與a有關(guān)，開口的大小僅由|a|的大小決定. (2)“p”的值是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠(yuǎn)大于零，要特別注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，不能出現(xiàn)錯(cuò)誤.,2.拋物線幾何性質(zhì)的特征 (1)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它可以無限延伸，但它沒有漸近

6、線. (2)拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心. (3)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線. (4)拋物線的離心率是確定的為1.,【拓展延伸】拋物線的通徑及與拋物線的焦點(diǎn)弦相關(guān)的兩個(gè)相切 (1)通徑：過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交所得弦叫做焦點(diǎn)弦.設(shè)過拋物線 y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F作垂直于對稱軸的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)， 則線段AB稱為拋物線的“通徑”，由A( ，p)，B( ，-p)可知通徑 的長|AB|等于2p. (2)兩個(gè)相切：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. 過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓 與焦點(diǎn)弦相切.,類型一：拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用 【典例1】(1

7、)(2015陜西高考)已知拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1)，則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1),(2)(2014山東高考)已知雙曲線 的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為2c，且|FA|=c，則雙曲線的漸近線方程為_.,【解題指南】(1)利用拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1，1)， 求得 即可求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo) (2)利用雙曲線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為突破口求出a,b之間的關(guān)系， 進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.,【解析】(1)選B.因?yàn)閽佄锞€y2=2p

8、x(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1，1)， 所以 所以該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0) (2)由題意知 拋物線準(zhǔn)線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 即(c,-b)代入雙曲線 方程為 得 所以 所以漸近線方程為y=x. 答案：y=x,【規(guī)律總結(jié)】把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線簡單幾何性質(zhì) (1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù). (2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間、準(zhǔn)線垂直于對稱軸. (3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1. 提醒：根據(jù)拋物線的方程確定拋物線的性質(zhì)，要注意首先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，避免因思維定式

9、誤為焦點(diǎn)在x軸上的拋物線作答.,【鞏固訓(xùn)練】已知拋物線y2=8x， (1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對稱軸、變量x的范圍. (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|=|OB|，若焦點(diǎn)F是OAB的重心，求OAB的周長. 【解題指南】(1)利用拋物線對應(yīng)性質(zhì)的公式求解.(2)利用拋物線的對稱性即重心的性質(zhì)求解.,【解析】(1)拋物線y2=8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對稱軸、變量x的范圍分別為(0，0)，(2，0)，x=-2，x軸，x0. (2)如圖所示.由|OA|OB|可知ABx軸， 垂足為點(diǎn)M，又焦點(diǎn)F是OAB的重心， 則 因?yàn)镕(2,0)，所以 所以M(3,0)，故

10、設(shè)A(3，m). 代入y28x得m224，,所以 所以 所以|OA|OB| 所以O(shè)AB的周長為,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015孝感高二檢測)在拋物線y216x上到頂點(diǎn)與到焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為( ),【解析】選D.拋物線y216x的頂點(diǎn)O(0,0)，焦點(diǎn)F(4,0)， 設(shè)P(x，y)符合題意，則有 所以符合題意的點(diǎn)為,類型二：根據(jù)拋物線的性質(zhì)求方程 【典例2】(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是() A.x2=3y B.y2=6x C.x2=12y D.x2=6y,(2)已知雙曲線C1： 的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近

11、線的距離為2，則拋物線C2的方程為_,【解題指南】(1)利用待定系數(shù)法求解. (2)求出雙曲線的漸近線后，利用拋物線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，求參數(shù)p.,【解析】(1)選C.依題意知拋物線方程為x2=2py(p0)，又 所以p=6，2p=12，故方程為x2=12y. (2)因?yàn)殡p曲線C1： 的離心率為2，所以 所以 所以雙曲線的漸近線方程為 所以拋物線C2：x22py(p0)的焦點(diǎn) 到雙曲線的漸近線的距 離為 所以p8.所以所求的拋物線方程為x216y. 答案：x216y,【規(guī)律總結(jié)】待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟 (1)定位置：根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)等條件確定焦點(diǎn)的位置或開口方向. (2)設(shè)

12、方程：根據(jù)確定的焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)的方程，若未能確定則要分情況討論. (3)列方程：利用準(zhǔn)線、焦點(diǎn)等條件列出關(guān)于p的方程，確定p的值. (4)寫出方程：根據(jù)求出的p值，代入設(shè)出的方程，確定拋物線方程.,【鞏固訓(xùn)練】已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,【解析】由題意，設(shè)拋物線方程為y2=ax(a0). 焦點(diǎn) 直線l： 所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 所以AB=|a|， 因?yàn)镺AB的面積為4， 所以 所以 所以拋物線的方程為,【補(bǔ)償訓(xùn)練】拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線 (a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，并與

13、雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲 線的一個(gè)交點(diǎn)為 求拋物線與雙曲線方程,【解析】由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線 的左焦點(diǎn)，所以p2c， 設(shè)拋物線方程為y24cx. 因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn) 所以 所以c1， 故拋物線方程為y24x.又雙曲線 過點(diǎn) 所以 又a2b2c21，所以 所以 或a29(舍)所以 故雙曲線方程為,類型三：焦點(diǎn)弦問題 【典例3】(2015九江高二檢測)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1+x2=6，則線段AB的長為 () A.8 B.10 C.6 D.4 【解題指南】利用拋物線的定義，把|AB|=|AF|+|

14、BF|轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的和來求解.,【解析】選A.由拋物線的方程得 所以根據(jù)拋物線的定義可得|AB|=|AF|+|BF|=,【延伸探究】 1.(變換條件)本典例中，若A,B是傾斜角為60的直線與拋物線的交點(diǎn)，則|AB|等于多少？ 【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是(1,0)，所以AB的方程為 與拋物線方程聯(lián)立消去y得3x210 x+3=0，所以 從而|AB|=x1+x2+p=,2.(改變問法)本典例中，證明以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，該結(jié)論能否推廣到任意拋物線？,【解析】因?yàn)锳B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 所以以AB為直徑的圓的 圓心到準(zhǔn)線x=1的距離為4，而AB的長度為8，所以以AB為直徑的

15、圓 的半徑為4，故該圓與準(zhǔn)線相切.可以推廣 ，證明如下： 設(shè)拋物線方程為y22px， 過焦點(diǎn)的弦為AB，中點(diǎn)為M，準(zhǔn)線為l， A1,B1分別為A,B在準(zhǔn)線l上的射影，則|AA1|AF|，|BB1|BF|，于 是M到l的距離 半徑，故 相切,【規(guī)律總結(jié)】 1.拋物線焦點(diǎn)弦問題的解法 (1)由于拋物線的焦點(diǎn)弦過焦點(diǎn)，因此與焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題要注意結(jié)合拋物線的定義求解. (2)焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題要把過焦點(diǎn)的直線方程與拋物線方程聯(lián)立，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解.,(3)求焦點(diǎn)弦的長度可以利用兩點(diǎn)間的距離公式，也可以利用弦長公 式，但由于弦過焦點(diǎn)，結(jié)合拋物線的定義得出焦點(diǎn)弦長為x1+x2+p， 同時(shí)由弦長x1

16、+x2+p =2p知，通徑是所有弦中最短的弦.,2.拋物線的焦點(diǎn)弦的常見結(jié)論 (1)若AB是拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)，且 A(x1,y1)，B(x2,y2)，則 (2)若AB是拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為， 則AB=,3.焦點(diǎn)弦公式 拋物線y2=2px(p0)，|AB|=p+(x1+x2) 拋物線y2=-2px(p0)，|AB|=p-(x1+x2) 拋物線x2=2py(p0)，|AB|=p+(y1+y2) 拋物線x2=-2py(p0)，|AB|=p-(y1+y2),【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則A1FB1為() A.45 B.60 C.90 D.120,【解析】選C.設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0). 如圖，因?yàn)閨AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|， 所以AA1F=AFA1，BFB1=FB1B. 又AA1OxB1B， 所以A1FO=FA1A，B1FO=FB1B， 所以A1FB1= AFB=90.,2.設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A,B,C為該拋物線上三點(diǎn)，若 0，則 等于( ) A9 B6 C4 D3 【解析】選B.設(shè)A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1),(x2，y2),(x3，y3) 由題意知F(1,0)