1、10.5 麥克斯韋速率分布定律,氣體中個別分子的速率和方向完全是偶然的，大量分子的整體在一定的條件下速率分布遵從一定的統(tǒng)計規(guī)律。,一、實驗,分子速率分布圖,表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,為速率在 區(qū)間的分子數(shù)。,3,二、速率分布函數(shù),定義分布函數(shù),一定量的理想氣體，分子總數(shù)為N 。在一定的平衡態(tài)下，速率分布在區(qū)間 v v+v 內(nèi)的分子數(shù)為N, 則N /N 表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率 (或百分比 ) 。,4,表示在溫度為T 的平衡狀態(tài)下, 速率在 v 附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比。,速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比:,5,歸一化條件,速率位于 內(nèi)分

2、子數(shù),由,得,6,速率位于 區(qū)間的分子數(shù),速率位于 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比,7,三、麥克斯韋氣體速率分布定律,麥克斯韋根據(jù)氣體在平衡態(tài)下,分子熱運動具有各向同性的特點,運用統(tǒng)計理論提出：,速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比:,上式反映了理想氣體在熱平衡條件下, 各速率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律。,即,其中,稱為麥克斯韋速率分布函數(shù)。,分子速率在 v 附近,單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律。,歸一化條件,9,(3) 對v 求微分：,為極大值,由麥克斯韋速率分布函數(shù),四、麥克斯韋速率分布曲線,(1) 當(dāng)v 0 時,(2) 當(dāng)v 時,得,10,曲線中有一極大值,

3、 對應(yīng)速率 vp 稱為最概然速率 (最可幾速率)，表示在vp附近，單位速率間隔內(nèi)的相對分子數(shù)最多。分子分布在vp附近的概率最大。,對一定量的理想氣體,11,T2 T1。溫度越高，大部分分子速率加大,vp右移，曲線變扁.,T 和 對速率分布的影響,vp 隨 T 升高而增大，隨 增大而減小。,。 大，vp 減小，左移，曲線變陡。,12,五、三種統(tǒng)計速率,1. 最概然速率,2. 平均速率,13,或由溫度公式,3. 方均根速率,得,14,三種統(tǒng)計速率比較,15,氫氣分子,氧氣分子,例1計算在 27oC時，氫氣和氧氣分子的方均根速率。,解,16,例2已知分子數(shù)N ,分子質(zhì)量 ,分布函數(shù) f (v). 求

4、: (1) 速率在 vp 間的分子數(shù); (2) 速率在vp 間所有分子動能之和.,(1),(2),17,例3如圖示兩條 f (v) v 曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線, 從圖上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最可幾速率。,H2,O2,18,10.6 溫度的微觀本質(zhì),理想氣體物態(tài)方程,若分子總數(shù)為 N,玻爾茲曼常數(shù),則,或,19,處于平衡態(tài)的理想氣體，分子的平均平動動能與氣體的溫度成正比。,溫度的微觀本質(zhì),得,20,(3) 在同一溫度下，各種氣體分子平均平動動能均相等。,(1) 溫度是分子平均平動動能的量度。 ( ),(2) 溫度是大量分子的集體表現(xiàn)，對個別分子無意義。,討論,（反

5、映熱運動的劇烈程度）,微觀量的統(tǒng)計平均值,宏觀可測量量,21,例1 有一容積為 10 cm3 的電子管，當(dāng)溫度為 300 K時用真空泵抽成高真空，使管內(nèi)壓強為 510-6 mmHg。求 (1) 此時管內(nèi)氣體分子的數(shù)目； (2) 這些分子的總平動動能。,解,(1) 由理想氣體狀態(tài)方程得,(2) 每個分子平均平動動能,N 個分子總平動動能為,22,（A）溫度相同、壓強相同。 （B）溫度、壓強都不同。 （C）溫度相同,但氦氣的壓強大于氮氣的壓強。 （D）溫度相同,但氦氣的壓強小于氮氣的壓強。,解:,例2 一瓶氦氣和一瓶氮氣密度相同,分子平均平動動能相同,而且它們都處于平衡狀態(tài),則它們,23,例3 理

6、想氣體體積為V ，壓強為 p ，溫度為 T ，一個分子 的質(zhì)量為 ， k 為玻爾茲曼常量, R 為摩爾氣體常量，則該理想氣體的分子數(shù)為：,解:,24,10.7 能量按自由度均分定理,已知溫度公式,理想氣體分為單原子分子，雙原子分子，多原子分子氣體。氣體分子除平動外，還有轉(zhuǎn)動和分子內(nèi)原子之間的振動。,一、自由度的概念,25,分子在各方向的運動概率均等,分子的平均平動動能有三個獨立的速度二次項，且都相等。,分子能量中獨立的速度和坐標(biāo)的二次方項數(shù)目叫做分子能量自由度的數(shù)目，簡稱自由度，用符號 i 表示。,26,t 平動自由度；,r 轉(zhuǎn)動自由度。,v 振動自由度。,自由度數(shù)目,1. 單原子分子 ( 看

7、作質(zhì)點),t = 3. i = 3,單原子分子平均能量,27,既有平動，又有轉(zhuǎn)動。,平動可看作質(zhì)心的平動。,2. 剛性雙單原子分子,兩個被看作質(zhì)點的原子被一質(zhì)量不計的剛性桿相連。,平動三個方向,28,分子平均平動動能,轉(zhuǎn)動也有三個方向,但繞自身轉(zhuǎn)動的 J 很小，其轉(zhuǎn)動動能可忽略，只剩兩個。,平均轉(zhuǎn)動動能,29,平均能量,t = 3 , r = 2，i = 5。,除了剛性雙原子分子的平動和轉(zhuǎn)動外, 還可看作是一維諧振子, 還有一項振動動能和一項振動勢能。,3. 非剛性雙原子分子,平動三個方向,30,轉(zhuǎn)動二個方向,振動二個方向,非剛性雙原子分子平均能量, 是折合質(zhì)量,t = 3 , r = 2,

8、v = 2. i = 7,31,剛性分子能量自由度,32,二、能量按自由度均分定理,氣體處于平衡態(tài)時,分子任何一個自由度的平均能量都相等, 均為,1. 是統(tǒng)計規(guī)律，只適用于大量分子組成的系統(tǒng)。,2. 是氣體分子無規(guī)則熱運動的結(jié)果。,3. 經(jīng)典統(tǒng)計物理可給出嚴(yán)格證明。,分子的平均能量,討論,33,三、理想氣體的內(nèi)能,1mol理想氣體的內(nèi)能,質(zhì)量為m 的理想氣體,理想氣體的內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，與熱力學(xué)溫度成正比。,34,內(nèi)能變化,比較，得,四、氣體的摩爾熱容,由,而,35,摩爾熱容比,得,36,例1 在容積為2.010-3m-3的容器中，有內(nèi)能為6.75102J 的剛性雙原子分子理想氣體。,求:,1. 氣體的壓強;,2. 若分子的總數(shù)為5.41023個,氣體的溫度和分子的平均平動動能為多少?,解:,1. 由理想氣體的內(nèi)能和物態(tài)方程,得,37,2. 分子數(shù)密度,氣體溫度,分子的平均平動動能,38,例2 設(shè)氫氣和氦氣的壓強,體積和溫度相等,求它們的,質(zhì)量比:,和內(nèi)能比:,解：,由理想氣體物態(tài)方程,得,質(zhì)量比:,P、V、T 相等,內(nèi)能比:,內(nèi)能公式,39,例3體積為200升的鋼瓶中盛有氧氣，使用一段時間后，測瓶中氣體壓強為2atm。,求: 此時氧氣的內(nèi)能。,解:,體積不變。,內(nèi)能,利用理想氣體物態(tài)方程,得,氧