1、稱 服從自由度為 的 分布，記為,常用統(tǒng)計(jì)分布,Review,稱 服從自由度為 的 分布，記為,常用統(tǒng)計(jì)分布,Review,稱 服從自由度為 的 分布，記為,常用統(tǒng)計(jì)分布,Review,抽樣分布與統(tǒng)計(jì)推斷,設(shè)總體 的均值和方差,是來自總體 的樣本，則,都存在.,證,樣本均值與樣本方差的數(shù)字特征,單正態(tài)總體的抽樣分布,單正態(tài)總體抽樣分布定理,仍服從正態(tài)分布,定理一,本,則,由正態(tài)分布的性質(zhì)知，線性組合,單正態(tài)總體抽樣分布定理,單正態(tài)總體抽樣分布定理,定理三,分別為樣本均值和樣本方差，則有,證,由定理一、定理二有,且 與 獨(dú)立,，由 分布的定義有,例1 設(shè) 為X的一個(gè)樣本,求: 樣本均值的數(shù)學(xué)期望

2、與方差;,單正態(tài)總體的抽樣分布,例1 設(shè) 為X的一個(gè)樣本,求: 樣本均值的數(shù)學(xué)期望與方差;,單正態(tài)總體的抽樣分布,單正態(tài)總體的抽樣分布,例3 在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí), 重要事情之一是研究彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的方差.對(duì)于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置, 彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離服從正態(tài)分布N(,100), 現(xiàn)在進(jìn)行了25次發(fā)射試驗(yàn), 用S2記這25次試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差. 試求S2超過50的概率.,單正態(tài)總體的抽樣分布,單正態(tài)總體的抽樣分布,例4 從正態(tài)總體N(,0.52)中抽取容量為10的樣本X1,X2,.,Xn.若未知, 計(jì)算概率:,單正態(tài)總體的抽樣分布,單正態(tài)總體的抽樣分布,統(tǒng)計(jì)推

3、斷與參數(shù)估計(jì),參數(shù)估計(jì)問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計(jì)總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù). 估計(jì)新生兒的平均體重、估計(jì)廢品率、估計(jì) 平均降雨量等。,在參數(shù)估計(jì)問題中，假定總體分布 形式已知，未知的僅僅是一個(gè)或幾個(gè) 參數(shù).,參數(shù)估計(jì)問題,參數(shù)估計(jì)就是要從樣本出發(fā)去構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為總體中某未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量。包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。 若總體X的分布函數(shù)形式已知，但它的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)未知，則由總體X的一個(gè)樣本估計(jì)總體未知參數(shù)的值的問題就是參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題。 要求由樣本構(gòu)造一個(gè)以較大的概率包含真實(shí)參數(shù)的一個(gè)范圍或區(qū)間，這種帶有概率的區(qū)間稱為置信區(qū)間，通過構(gòu)造一個(gè)置信區(qū)間對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法

4、 稱為區(qū)間估計(jì)。,參數(shù)估計(jì)問題,設(shè)總體X的分布函數(shù)形式已知, 但它的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)為未知, 借助于總體X的一個(gè)樣本來估計(jì)總體未知參數(shù)的問題稱為點(diǎn)估計(jì)問題.,點(diǎn)估計(jì)問題,估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量 如樣本均值，樣本比率、樣本方差等 例如: 樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量 參數(shù)用 表示，估計(jì)量用 表示 估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值 如果樣本均值 X =80，則80就是的估計(jì)值,點(diǎn)估計(jì)問題,點(diǎn)估計(jì)問題,點(diǎn)估計(jì)問題,點(diǎn)估計(jì)沒有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息；同時(shí)，也可以看到, 對(duì)于同一個(gè)參數(shù), 用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不相同。,評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),那么那一個(gè)估計(jì)量好壞的

5、標(biāo)準(zhǔn)是什么?,1.無偏性 (unbiasedness) 設(shè)為總體未知參數(shù)的估計(jì)量 若,則稱是的無偏估計(jì)量，稱具有無偏性。否則，,是有偏估計(jì)量.,偏差=,評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù),無偏估計(jì)的實(shí)際意義: 無系統(tǒng)誤差.,無偏性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)常見而重要的要求 .,評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),注:,是的無偏估計(jì)量,評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),2有效性,或,兩個(gè)以上的 無偏估計(jì)量,具有最小方差,最佳無偏估計(jì)量,評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏點(diǎn)估計(jì) 量，有更小方差的估計(jì)量更有效,評(píng)價(jià)估計(jì)量

6、的標(biāo)準(zhǔn),評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),3相合性（consistency） 如果對(duì)任意小的正數(shù)，有,則稱,是,的一致估計(jì)量，稱,具有一致性，可以證明,均具有一致性。,評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),由于估計(jì)量是樣本的函數(shù), 是統(tǒng)計(jì)量, 故對(duì)不同的樣本值, 得到的參數(shù)值往往不同, 求估計(jì)量的問題是關(guān)鍵問題.,估計(jì)量的求法: (兩種),矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.,估計(jì)量的求法,1、 矩估計(jì)法,其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩 .,理論依據(jù):,它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來的一種估計(jì)方法 .,是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的 .,大數(shù)定律,估計(jì)量的求法,用樣本矩來估

7、計(jì)總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計(jì)總體矩的連續(xù)函數(shù),從而得出參數(shù)估計(jì)，這種估計(jì)法稱為矩估計(jì)法.,記總體k階中心矩為,樣本k階中心矩為,設(shè) X1, X2, , Xn 來自總體X的樣本,記總體k階矩為,樣本k階矩為,矩法估計(jì),矩估計(jì)法的具體步驟:,矩法估計(jì)的操作步驟,例1 設(shè)總體 服從泊松分布 ， 求參數(shù) 的估計(jì)量.,解：設(shè) 是總體 的一個(gè)樣本,由于 ,可得,矩法估計(jì),解,例2,矩法估計(jì),解方程組得到a, b的矩估計(jì)量分別為,矩法估計(jì),解,例3,矩法估計(jì),解,解方程組得到矩估計(jì)量分別為,例4,矩法估計(jì),上例表明:,總體均值與方差的矩估計(jì)量的表達(dá)式，不因不同的總體分布而異.,一般地:,矩法估計(jì),矩法

8、的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有 充分利用分布提供的信息 . 一般場(chǎng)合下, 矩估計(jì)量不具有唯一性 .,矩法估計(jì),2、 最大似然估計(jì)法(MLE),最大似然法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法 .,它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家 高斯在1821年提出的 ,然而，,Gauss,Fisher,這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇 .,費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了 這一方法，并首先研究了這 種方法的一些性質(zhì) .,最大似然原理的直觀想法是：在試驗(yàn)中概率最大 的事件最有可能出現(xiàn)。因此，一個(gè)試驗(yàn)如有若干 個(gè)可能的結(jié)果A,B,若在一次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)， 一般認(rèn)為A出現(xiàn)的概率最大,最大似然估計(jì),似然函數(shù)實(shí)質(zhì)上是樣本的聯(lián)合分布律,于是定義下面的似然函數(shù),最大似然估計(jì),求最大似然估計(jì)量的一般步驟為：,（1）求似然函數(shù),（2）一般地，求出,及似然方程,（3）解似然方程得到最大似然估計(jì)值,（4）最后得到最大似然估計(jì)量,解,似然函數(shù),例1,最大似然估計(jì),這一估計(jì)量與矩估計(jì)量是相