1、2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,【知識(shí)提煉】 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,【即時(shí)小測(cè)】 1.判斷 (1)求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可以直接套用公式 () (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和不可以為0.() (3)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=an+b(a0，a1)，則數(shù)列an一定是等比數(shù)列.(),【解析】(1)不正確.只有當(dāng)公比不等于1時(shí)，才可以用這個(gè)公式求和. (2)不正確.當(dāng)公比等于-1，n為偶數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和為0.,(3)不正確.根據(jù)和與項(xiàng)的關(guān)系，當(dāng)n2時(shí)，an=an-an-1 =an-1(a-1)，因?yàn)閍不等于0和1，所以從第二項(xiàng)起an一定為等比數(shù)列，若b=-1，則該數(shù)列an為等比數(shù)列，否

2、則不是. 答案：(1)(2)(3),2.等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1=8，公比q= ，那么它的前5項(xiàng)的和S5的值是() 【解析】選A.,3.等比數(shù)列1，x，x2，x3，（x0）的前n項(xiàng)和Sn為 (),【解析】選C.當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+1+1=n， 當(dāng)x1時(shí)，Sn=1+x+x2+xn= .,4.等比數(shù)列an中，若a1=1，ak=243，公比q=3，則Sk=_. 【解析】Sk= =364. 答案：364,5.若一個(gè)等比數(shù)列an的前4項(xiàng)的和為 ，公比為 ， 則其首項(xiàng)a1為_(kāi). 【解析】由題知 所以a1=1. 答案：1,【知識(shí)探究】 知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 觀察圖形，回答下列問(wèn)題：,問(wèn)題1：你會(huì)計(jì)

3、算1+2+22+23+263嗎？等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中涉及哪些量？如何計(jì)算？ 問(wèn)題2：如何從函數(shù)觀點(diǎn)研究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式？,【總結(jié)提升】 1.對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的三點(diǎn)說(shuō)明 (1)求和公式中是qn，通項(xiàng)公式中是qn-1，不要混淆. (2)應(yīng)用求和公式時(shí)注意公比q的取值，必要時(shí)應(yīng)討論q1和q=1的情況. (3)利用方程思想在a1，q，n，Sn和a1，an，q，Sn中，各已知三個(gè)量可求第四個(gè)量.,2.函數(shù)觀點(diǎn)下的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 (1)若數(shù)列an是非常數(shù)列的等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和 公式為：Sn=-Aqn+A(A0，q0，q1，nN*). (2)注意到指數(shù)式的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)，且A

4、=,(3)當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列S1，S2，S3，Sn，的圖象是函數(shù)y=-Aqx+A圖象上一群孤立的點(diǎn). 當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列S1，S2，S3，Sn，的圖象是正比例函數(shù)y=a1x圖象上一群孤立的點(diǎn).,知識(shí)點(diǎn)2 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：,問(wèn)題1：若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sm+n，Sn與Sm(m，nN*)有什么關(guān)系？ 問(wèn)題2：若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比數(shù)列嗎？,【總結(jié)提升】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的三個(gè)常用性質(zhì) (1)數(shù)列an為公比不為-1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和， 則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，仍構(gòu)成等比數(shù)列. (

5、2)若an是公比為q的等比數(shù)列，則Sn+m=Sn+qnSm(n， mN*).,(3)若an是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列 的偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和，則 在其前2n項(xiàng)中， =q； 在其前2n+1項(xiàng)中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+-a2n+a2n+1,【題型探究】 類型一 利用公式求等比數(shù)列前n項(xiàng)和 【典例】(2015四川高考)設(shè)數(shù)列an(n=1，2，3，) 的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.,【解題探究】本例中如何得到數(shù)列an的遞推公式？ 若數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列

6、 是等比數(shù)列嗎？ 提示：直接利用前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系推出數(shù)列an 的遞推公式.數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列 也是等 比數(shù)列.,【解析】(1)當(dāng)n2時(shí)，有an=Sn-Sn-1=2an-a1-(2an-1-a1)， 則an=2an-1(n2)， =2(n2). 則an是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. 又由題意得2a2+2=a1+a3， 即22a1+2=a1+4a1，解得a1=2，則an=2n(nN*).,(2)由題意得 (nN*)， 由等比數(shù)列求和公式得,【延伸探究】 1.(變換條件)若將典例中條件“Sn=2an-a1，且a1，a2+1， a3成等差數(shù)列”改為“數(shù)列an是公比為q(q1)

7、的等比 數(shù)列，a1=1”，其他條件不變，試用Sn表示Tn.,【解析】因?yàn)镾n= 所以Tn=,2.(改變問(wèn)法)典例條件不變，計(jì)算a1a2+a2a3+a3a4 +anan+1. 【解析】因?yàn)閍n=2n，所以anan+1=2n2n+1=22n+1， 所以a1a2+a2a3+a3a4+anan+1 =23+25+22n+1,3.(變換條件、改變問(wèn)法)若把典例中條件改為 “an= 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn. 【解析】由an= 可知數(shù)列an的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以4為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，,當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，,所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和為,【方法

8、技巧】等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算 (1)應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，首先要對(duì)公比q=1或q1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論.,(2)當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列是常數(shù)列，所以Sn=na1； 當(dāng)q1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)公式. 當(dāng)已知a1，q與n時(shí)，用Sn= 比較方便； 當(dāng)已知a1，q與an時(shí)，用Sn= 比較方便.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn. 【解析】設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題設(shè)得 當(dāng)a1=3，q=2時(shí)，an=32n-1，Sn=3(2n-1)； 當(dāng)a1=2，q=3時(shí)，an=23n-1，Sn=3n-1.,【延伸探

9、究】 1.(變換條件)若將本題條件“a2=6，6a1+a3=30”改為 “a1+a3=10，a4+a6= ”，則結(jié)果如何？,【解析】設(shè)公比為q， 由已知得 即 得q3= ，即q= ， 將q= 代入得，a1=8，,所以,2.(變換條件、改變問(wèn)法)若將本題條件“a2=6， 6a1+a3=30”改為“4a3-a6=0”，試計(jì)算 . 【解析】由4a3-a6=0得q3=4， 所以,類型二 利用公式構(gòu)建方程(組)求關(guān)鍵量 【典例】1.(2015全國(guó)卷)數(shù)列an中a1=2，an+1=2an， Sn為的前n項(xiàng)和，若Sn=126，則n=_. 2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=S9，求數(shù)列 an的

10、公比q的值.,【解題探究】1.典例1中，數(shù)列an是等比數(shù)列嗎？求n的基本思路是什么？ 提示：由an+1=2an確定數(shù)列an為首項(xiàng)a1=2，公比q=2的等比數(shù)列.根據(jù)Sn=126列方程求n.,2.典例2中，是否可以直接利用公式Sn= 根據(jù)條件S3+S6=S9轉(zhuǎn)化為關(guān)于q的方程求解？ 提示：不可以.應(yīng)分q=1和q1兩種情況討論.,【解析】 1.因?yàn)?=2，所以數(shù)列an是首項(xiàng)a1=2，公比q=2的 等比數(shù)列，Sn= =126，即2n+1=128，解得n=6. 答案：6,2.若q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1， 顯然滿足S3+S6=S9，所以q=1符合題意； 若q1，則有 解得q=-

11、1，所以所求公比q=1.,【延伸探究】典例2條件“S3+S6=S9”改為“S2=7，S6=91”，其他條件不變，結(jié)果如何？,【解析】因?yàn)镾2=7，S6=91，易知q1， 所以 所以 所以q4+q2-12=0，所以q2=3，q= .,【方法技巧】等比數(shù)列前n項(xiàng)和運(yùn)算的技巧 (1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來(lái)解答. (2)對(duì)于基本量的計(jì)算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時(shí)會(huì)用到整體代換.,【變式訓(xùn)練】等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+an=66，a2a

12、n-1=128，Sn=126，求n和公比q的值. 【解析】方法一：在等比數(shù)列an中， a1an=a2an-1=128. 又a1+an=66，所以,解得 或 所以q1. 由an=a1qn-1和,方法二：當(dāng)q=1時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合適，由題意可得 由可得qn-1= 代入，得,化簡(jiǎn)得a12-66a1+128=0， 解得a1=2或a1=64. 當(dāng)a1=2時(shí)，得qn-1=32， 將a1=2和qn-1=32代入，得 =126，解得q=2. 又qn-1=32，即2n-1=32=25，所以n=6.,同理，當(dāng)a1=64時(shí)，可解得q= ，n=6. 綜上所述，n的值為6，q=2或 .,【補(bǔ)償訓(xùn)練】等比數(shù)列an的首項(xiàng)a10

13、，公比q0，前n項(xiàng)和Sn=80，其中最大的一項(xiàng)為54，前2n項(xiàng)和S2n= 6 560，求a1和q.,【解析】由Sn=80，S2n=6 560知q1. 所以 所以qn=81，因?yàn)閝0，所以q1，又a10.,所以該數(shù)列為遞增數(shù)列.所以前n項(xiàng)中最大的項(xiàng)為an， 所以an=a1qn-1=54，又qn=81，所以3a1=2q， 將qn=81代入得a1=q-1，所以a1=2，q=3.,類型三 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 【典例】1.(2015衡水高二檢測(cè))各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2，S3n=14，則S4n等于() A.80B.30C.26D.16,2.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，

14、已知a4=8，且Sn+1=pSn+1，則實(shí)數(shù)p的值為() A.1B.2C.D.4 3.一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).,【解題探究】1.典例1中，可以利用哪個(gè)關(guān)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題？ 提示：利用等比數(shù)列中Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n仍成等比數(shù)列的性質(zhì)解方程求值. 2.典例2中，Sn+1與Sn有什么關(guān)系？ 提示：Sn+1=a1+qSn.,3.典例3中，S偶與S奇有什么關(guān)系？ 提示：S偶=S奇q.,【解析】1.選B.由等比數(shù)列性質(zhì)得， Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n仍成等比數(shù)列，

15、則(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)， 所以(S2n-2)2=2(14-S2n).又S2n0，得S2n=6， 又(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n)， 所以(14-6)2=(6-2)(S4n-14).解得S4n=30.,2.選B.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q， 則Sn+1=a1+qSn，又因?yàn)镾n+1=pSn+1， 所以a1+qSn=pSn+1， 即(a1-1)+(q-p)Sn=0對(duì)任意nN*成立， 所以a1=1，p=q， 又因?yàn)閍4=8，所以1p3=8，故p=2.,3.因?yàn)镾偶=a2+a4+a2n =a1q+a3q+a2n-1q =(a1+a3+a2n-1)q=S奇q

16、， 所以 又Sn=85+170=255，,所以2n=256， 所以n=8.故公比q=2，項(xiàng)數(shù)為8.,【延伸探究】若將典例3中“奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170”改為“所有項(xiàng)之和是奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍”，其他條件不變，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【解析】由題意得S奇+S偶=3S奇， 所以S奇+qS奇=3S奇， 解得q=2，又a1=1， 所以an=12n-1=2n-1.,【方法技巧】等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用技巧 (1)在涉及奇數(shù)項(xiàng)和S奇與偶數(shù)項(xiàng)和S偶時(shí)，常考慮其差 或比進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算.若項(xiàng)數(shù)為2n，則 =q(S奇0)； 若項(xiàng)數(shù)為2n+1，則 =q(S偶0).,(2)涉及Sn，S2n，S3n，的關(guān)系或S

17、n與Sm的關(guān)系考慮應(yīng) 用以下兩個(gè)性質(zhì) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn(且Sn0)，則Sn，S2n-Sn， S3n-S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn(q-1). 等比數(shù)列an的公比為q，則Sn+m=Sn+qnSm.,(3)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)是在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的基礎(chǔ)上推得的，因而利用有關(guān)性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，但利用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式仍是解答等比數(shù)列問(wèn)題的最基本的方法.,【變式訓(xùn)練】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1= ，前n項(xiàng)和為Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 【解題指南】解答本題的關(guān)鍵是應(yīng)用S30-S20=q10(S20-S

18、10)簡(jiǎn)化運(yùn)算.,【解析】由已知得210(S30-S20)=S20-S10， 即210q10(S20-S10)=S20-S10. 因?yàn)閍n0，所以S20-S100，所以210q10=1， 所以q= .從而an=( )n(nN*).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知等比數(shù)列an中，a1+a2+a3=40，a4+a5+a6=20，則前9項(xiàng)之和為_(kāi). 【解析】S3=a1+a2+a3=40，S6-S3=a4+a5+a6=20， 所以S9-S6=10，所以S9=(S9-S6)+(S6-S3)+S3 =10+20+40=70. 答案：70,2.等比數(shù)列an前8項(xiàng)的和為24，前16項(xiàng)的和為36，則前24項(xiàng)的和為_(kāi). 【解題指南】利用數(shù)列前8項(xiàng)、第2個(gè)8項(xiàng)、第3個(gè)8項(xiàng)的和成等比數(shù)列求解.,【解析】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列an中，連續(xù)n項(xiàng)的和仍組成等比數(shù)列(這連續(xù)n項(xiàng)和必須非零才能成立)， 所以S8，S16-S8，S24-S16成等比數(shù)列. 所以(S16-S8)2=S8(S24-S16)，所以S24=42. 答案：42,巧思妙解 用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征解題 【典例】(2015深圳高二檢測(cè))已知等比數(shù)列an的前n