1、第2課時 等比數(shù)列習題課,類型一錯位相減法求數(shù)列的和 1.求和： . 2.(2013湖南高考)設Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a10， 2an-a1=S1Sn，nN*. (1)求a1，a2，并求數(shù)列an的通項公式. (2)求數(shù)列nan的前n項和.,【解題指南】1.令Sn= 兩邊同乘以 ，錯位相減轉化為等比數(shù)列的前n項和求解. 2.(1)利用遞推關系 求數(shù)列的通項公式. (2)根據(jù)第(1)問的結果利用錯位相減法求數(shù)列前n項和.,【解析】1.令Sn= 則 由-得： 所以Sn=3 答案：,2.(1)令n=1，得2a1-a1=a12，因為a10，所以a1=1， 令n=2，得2a2-1=S2=1+a2，

2、解得a2=2. 當n2時，由2an-1=Sn，2an-1-1=Sn-1，兩式相減，整理得an=2an-1，于是數(shù)列an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列， 所以an=2n-1.當n=1時，滿足，故an=2n-1.,(2)由(1)知nan=n2n-1，記其前n項和為Tn，于是Tn=1+22+322+n2n-1 2Tn=12+222+323+n2n -得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n =2n-1-n2n. 所以Tn=1+(n-1)2n.,【規(guī)律總結】用“錯位相減法”求數(shù)列前n項和的類型及方法 (1)類型：如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d；數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q，則求數(shù)列anbn的前n項和

3、就可以運用錯位相減法.,(2)方法：設Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn， 當q=1時，bn是常數(shù)列， Sn=b1(a1+a2+a3+an)= 當q1時，則qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn =a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1，,所以(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+bn(an-an-1)-anbn+1 =a1b1+d -anbn+1， 所以Sn=,【變式訓練】(2015重慶高二檢測)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，a1=1，a3=3，b2=4，b5=32. (1)求數(shù)列an，bn的通項公式. (2)設數(shù)列cn

4、中，cn=anbn，求數(shù)列cn的前n項和Sn.,【解析】(1)由已知得：d= =1，所以an=1+(n-1)=n. q3= =8，q=2，所以bn=b2qn-2=2n. (2)cn=n2n.所以Sn=12+222+323+n2n. 兩邊乘以2得：2Sn=122+223+324+n2n+1. 將以上等式相減得：-Sn=12+22+23+2n-n2n+1 =2n+1-2-n2n+1. 所以Sn=(n-1)2n+1+2.,類型二可化為等比數(shù)列的求和問題 1.在首項為5，公差為3的等差數(shù)列an中，依次抽取第2項、 第4項、第8項，第2n項，按原來的順序組成一個新 的數(shù)列bn，則數(shù)列bn的前n項和為.

5、2.(2014新課標全國卷)已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=3an+1. (1)證明an+ 是等比數(shù)列，并求an的通項公式. (2)證明：,【解題指南】1.根據(jù)等差數(shù)列an的通項公式，求出數(shù)列bn 的通項公式，然后求和. 2.(1)將an+1=3an+1進行配湊，得“an+1+ ”與“an+ ”的關 系，得證，然后求得an的通項公式. (2)求得 的通項公式，然后證得不等式.,【自主解答】1.由題意可知，an=3n+2， 所以bn=a2n=32n+2，因此bn的前n項和 Tn=b1+b2+bn =(32+2)+(322+2)+(32n+2) =3(2+22+2n)+2n =3 +2n=62

6、n+2n-6. 答案：62n+2n-6,2.(1)因為a1=1，an+1=3an+1，nN*. 所以an+1+ =3an+1+ =3(an+ ). 所以an+ 是首項為a1+ = ，公比為3的等比數(shù)列. 所以an+ = ，所以an=,(2) =1，當n1時， 所以 所以,【延伸探究】題2中，將條件“an+1=3an+1”換為“an+1=3an+3n+1”. (1)證明 是等差數(shù)列，并求an的通項公式. (2)求an的前n項和.,【解析】(1)因為an+1=3an+3n+1， 所以 ，即 所以 是首項為 ，公差為1的等差數(shù)列， 所以 = +(n-1)1，即an=(3n-2)3n-1.,(2)記a

7、n的前n項和為Sn， 則Sn=130+431+732+1033+(3n-2)3n-1， 3Sn=131+432+733+1034+(3n-5)3n-1+(3n-2)3n. 兩式相減得 -2Sn=1+3(31+32+33+3n-1)-(3n-2)3n =1+3 -(3n-2)3n， 所以Sn= (6n-7)3n+ .,【規(guī)律總結】非等差、等比數(shù)列求和問題的求解方法 (1)當數(shù)列an既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列時，在求數(shù)列an的前n項和時，可通過轉化的思想，將數(shù)列的求和問題轉化為等差或等比數(shù)列求和問題解決，常用的方法有分組求和、裂項求和等. (2)非等差、等比數(shù)列求通項問題，可對an所滿足的關系式

8、進行變形，轉化為等差或等比數(shù)列，借助于求和公式得出數(shù)列的通項公式.,【拓展延伸】裂項求和的兩種常見類型 類型一：分式型，如 裂成兩項差的形式； 類型二：根式型，如 裂成兩項之差 的形式.,類型三等比數(shù)列及前n項和的綜合應用 1.已知an是等比數(shù)列，a2=2，a5= ，則a1a2+a2a3+anan+1 =() A.16(1-4-n)B.16(1-2-n) C. (1-4-n)D. (1-2-n) 2.(2013湖南高考)設Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn=(-1)nan- ，nN*，則(1)a3=. (2)S1+S2+S100=.,【解題指南】1.由a2，a5求出公比，再根據(jù)anan+1也為等比

9、 數(shù)列，求和. 2.(1)令n=1，求出a1，再令n=3即可得到答案. (2)通過an=Sn-Sn-1=(-1)nan- -(-1)n-1an-1+ 整理可發(fā)現(xiàn)當n為偶數(shù)時有an-an-1= ，于是代入第(2)問的 展開式即可得到答案.,【自主解答】1.選C.由a5=a2q3得q3= 所以q= 而數(shù)列anan+1也為等比數(shù)列， 首項a1a2=8，公比q2= 所以a1a2+a2a3+anan+1=,2.(1)由Sn=(-1)nan- ，nN*， 當n=1時，有a1=(-1)1a1- ，得a1= 當n2時，an=Sn-Sn-1=(-1)nan- -(-1)n-1an-1+ 即an=(-1)nan+

10、(-1)nan-1+ . 若n為偶數(shù)，則an-1=- (n2). 所以an= (n為正奇數(shù))； 若n為奇數(shù)，則an-1=-2an+ =(-2) 所以an= (n為正偶數(shù)).所以a3=,(2)因為an= (n為正奇數(shù))， 所以-a1= 又an= (n為正偶數(shù))，所以a2= 則-a1+a2=2 則-a3+a4=2 -a99+a100=2,所以，S1+S2+S3+S4+S99+S100 =(-a1+a2)+(-a3+a4)+(-a99+a100)- 答案：,【規(guī)律總結】與Sn有關問題的求解步驟 (1)分析題設條件. (2)分清是an與an+1的關系，還是an與Sn的關系. (3)轉化為等差數(shù)列或等比

11、數(shù)列，特別注意an=Sn-Sn-1(n2，n為正整數(shù))在an與Sn的關系中的應用. (4)整理求解.,【變式訓練】(2013新課標全國卷)若數(shù)列an的前n項和 Sn= 則an的通項公式是an=.,【解題指南】先利用S1=a1求出a1的值，再利用Sn-Sn-1=an(n2) 求出通項公式an. 【解析】由S1= =a1，解得a1=1，又Sn= 所以Sn- Sn-1= an-1=an，得 =-2，所以數(shù)列an是首項為1， 公比為-2的等比數(shù)列.故數(shù)列的通項公式an=(-2)n-1. 答案：(-2)n-1,【拓展類型】等比數(shù)列在實際中的應用 1.某家用電器一件現(xiàn)價2000元，實行分期付款，每期付款數(shù)

12、相同，每期為一月，購買后一個月開始付款，每月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率為0.8%，按復利計算，那么每期應付款元(1.008121.1).,2.某市2015年共有1萬輛燃油型公交車，有關部門計劃于2016 年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比 上一年增加50%，試問： (1)該市在2022年應該投入多少輛電力型公交車？ (2)到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總 量的 ？(lg657=2.82，lg2=0.30，lg3=0.48),【解題指南】1.設出每期應付款數(shù)，根據(jù)每期付款的本利和等于2000元的本利和求解應付款數(shù). 2.(1)根據(jù)題意，從

13、2016年起，每年的電力型公交車數(shù)量構成等比數(shù)列，而2022年電力型公交車數(shù)量為該數(shù)列的第7項. (2)由等比數(shù)列的前n項和，建立不等關系求解.,【解析】1.設每期應付款x元，則第1期付款以及最后一次付款 時所生利息為x(1+0.008)11元；第2期付款以及到最后一次付 款所生利息為x(1+0.008)10元；第12期付款(無利息)為 x元，所以各期付款連同利息之和為：x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+x= 元，于是有 =20001.00812， 解得x= 176(元). 答案：176,2.(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列 an，其中a1=128，q=1.5，則在2022年應該投入的電力型 公交車為a7=a1q6=1281.56=1458(輛). (2)記Sn=a1+a2+an，依據(jù)題意， 得 即Sn5000， 由Sn= 5000，得1.5n,兩邊取常用對數(shù)，則nlg1.5lg ， 即n 7.3，又nN*，因此n8